Метод множителей Јагранжа. Вычислөне реакций
30. Для того чтобы иметь наиболее общие условия, рассмотрим материальную систему $S$ из $N$ точек $P_{i}(i=1,2, \ldots, N)$, на которую наложены двусторонние и односторонние связи, как геометричөские, так и кинематические. Мы знаем (гл. VI, I. 24), что если система $S$ отнесена к системе осей $O x y z$, то виртуальные перемещения $\delta P_{i}$ системы для какой тгодно конфигурации и момента времени должны удовлетворять следующим $r$ уравнениям, соответствующим двусторонним связям, и $s$ неравенствам (включающим и равенства), соответствующим опносторонним связям:
\[
\begin{array}{ll}
\sum_{i=1}^{N} \boldsymbol{a}_{k i} \cdot \delta P_{i}=0 & (k=1,2, \ldots, r), \\
\sum_{i=1}^{N} \boldsymbol{a}_{j i} \cdot \delta P_{i} \leqslant 0 & (j=1,2, \ldots, s),
\end{array}
\]

где $\boldsymbol{a}_{k i}, \boldsymbol{\alpha}_{j i}$ обозначают $(r+s) N$ определенных (чисто позиционных) векторов. Јевые части этих $(r+s)$ соотношений после выполнения вычислений будут линейными однородными функциями от проекций $\delta x_{i}, \delta y_{i}, \delta z_{i}$ перемещений $\delta P_{i}$ всех $N$ точек системы. Обозначим для простоты левые части соотношений (15), (16) соответственно через $B_{k}, U_{j}$; обозначая через $a_{k i}^{\prime}, a_{k i}^{\prime \prime}$, $a_{k i}^{\prime \prime \prime}$ к $\alpha_{j i}^{\prime}$, $\alpha_{j i}^{\prime \prime}$, $\alpha_{j i}^{\prime \prime}$ соответственно проекции векторов $\boldsymbol{a}_{k i}$ и $\boldsymbol{a}_{j i}$ на оси $О x y z$, получим
\[
\left.\begin{array}{c}
B_{k}=\sum_{i=1}^{N}\left(a_{k i}^{\prime} \delta x_{i}+a_{k i}^{\prime \prime} \delta y_{i}+a_{k i}^{\prime \prime \prime} \delta z_{i}\right), \\
U_{j}=\sum_{i=1}^{N}\left(\alpha_{j i}^{\prime} \delta x_{i}+\alpha_{j i}^{\prime \prime} \delta y_{i}+\alpha_{j i}^{\prime \prime \prime} \delta z_{i}\right) .
\end{array}\right\}
\]

Соотношения (15), (16) можно поэтому написать в более сжатой форме:
\[
\begin{array}{ll}
B_{k}=0 & (k=1,2, \ldots, r), \\
U_{j} \leqslant 0 & (j=1,2, \ldots, s) .
\end{array}
\]

Если система $S$ подвергается действию системы сил, в которой $\boldsymbol{F}_{\boldsymbol{i}}$ является равнодействующей сил, прямо приложенных ғ точке $P_{i}$, то условия равновесия, благодаря тому, что наличие односторонних связей (16) означает для системы $\dot{S}$ возможность необратимых виртуальных перемещений, будут даны общим соотношением статики, а именно: для равновесия системы $S$ необходимо и достаточно, чтобы для всех перемещений, определяемых соотношениями (15), (16), силы $\boldsymbol{F}_{\boldsymbol{i}}$ удовлетворяли условию
\[
\delta L=\sum_{i=1}^{N} \boldsymbol{F}_{i} \cdot \delta P_{i} \leqslant 0 .
\]

Далее, легко видеть, что ми будем в состоянии обсуждать задачу о равновесии системы $S$, когда будем иметь наиболее общие выражения для $N$ сил $\boldsymbol{F}_{i}$, удовлетворяющих соотношению (18) на всех перемещениях, определяемых соотнощениями (15), (16).

Действительно, получив такие общие выражения, мы сможем определить, является ли данная система сил $\boldsymbol{F}_{\boldsymbol{i}}$ сюособной удержать систему $S$ в равновесии, проверив, войдет ли она в эти общие выражения при надлежащем выборе содержащихся в них произвольных постоянных.
31. Обратимея поэтому к только что сформулированной задаче. Заметим прежде всего, что если среди односторонних связей (16) имеютея только позиционные, то мы можем ограничиться рассмотрением системы только для тех конфигураций, которые являютея предельными для каждой из этих связей (гл. VI, I. 21), так как в противном случае, по грайней мере, одно из условий (16) перестало бы быть действительным и мы имели бы аналогичную задачу с меньшим числом односторонних связей.

При таком предположении для сил $\boldsymbol{F}_{i}$ легко найти выражения, зависящие от произвольных постоянных и удовлетворяющие, при любом выборе этих постоянных, уеловиям равновесия (15), (16), (18). Действительно, взяв $r+s$ каких угодно цостоянных величин $\lambda_{k}(k=1,2, \ldots, r)$ и $\mu_{j}(j=1,2, \ldots, s)$, положим $\left.{ }^{1}\right)$
\[
\boldsymbol{F}_{i}=-\sum_{k=1}^{r} \lambda_{k} \boldsymbol{a}_{k i}-\sum_{j=1}^{g} \mu_{j} \boldsymbol{a}_{j i}
\]

Сумму работ $\delta L=\sum_{k=1} \boldsymbol{F}_{i} \cdot \delta P_{i}$ этих сил $\boldsymbol{F}_{i}$ на любом перемещении $\delta P_{i}$ можно выразить, призимая во внимание равенства (17), в виде
\[
\delta L=-\sum_{k=1}^{r} \lambda_{k} B_{k}-\sum_{j=1}^{8} \mu_{j} U_{j}
\]

отсюда мы заключаем, что для всех виртуальных перемещений системы $S$, определяемых соотношениями $\left(15^{\prime}\right)$, (16′), силы $\boldsymbol{F}_{i}$, определенные выражением (19), действительно удовлетворяют условию равновесия (18), как бы ни были выбраны постоянные $\lambda_{k}$, но при условии, чтобы постоянчые $\mu_{j}$ все были отрицательными (или нулями).

Таким образом, равенство (19) дает выражения для бесконечно большого числа систем сил, под действием которых рассматриваемая нами система будет находиться н равновесии.

Произвольные коэффициенты $\lambda_{k}$, $\mu_{k}$ (последние подчинены ограничениям $\mu_{j} \leqslant 0$ ) называютея множителями Лагражжа.
1) В әтих обозначениях знак минуе поставлен для того, чтобы сохранить обозначения Лагранжа, которнй, исходя из своего принцига виртуальных скоростей и обращаясь впервые к систематическому использованию неопределенных множителей, пүишел к условиям равновесия, эквивалентным уеловиям (19), но имеющим скалярную форму.

32. В рассуждениях предыдущего пункта остались нерешенными два вопроса:
a) Являются ли существенными в выражениях (19) множители $\lambda_{k}, \mu_{j}$, в том смысле, что при изменении их будут изменяться также и соответствующие уравновешивающиеся системы сил $\boldsymbol{F}_{i}$ ?
б) Дают ли равенства (19) наиболее общую систему сил, способную удержать в равновесии систему $S$, т. е. получитея ли всякая такая система сил из равенств (19) при надлежащем выборе множителей $\lambda_{k}, \mu_{j}$ ?

Покажем, что легко ответить утвердительно на оба эти вопроса, если остановиться на вполне прпемлемом для приложений предположении, что общее число $r_{i}+s$ связей (15), (16) меньше, чем $3 N$, т. е. меньше числа составляющих вариаций $\delta P_{i}$ и что уравнения
\[
B_{k}=0, \quad U_{j}=0 \quad(k=1,2, \ldots, z ; j=1,2, \ldots, s)
\]

независимы между собой.
Это последнее предположение означает, что никакое из уравнений (20) не является следствием остальных, или, другими словами, между левыми частями уравнений (20) не могут существовать тождества сс постоянными коэффициентами вида
\[
\sum_{k=1}^{r} \bar{\lambda}_{k} B_{k}+\sum_{j=1}^{s} \bar{\mu}_{j} U_{j}=0,
\]

если не все множители равны нулю.
Отсюда получается ответ на вопрос „а“. Деиствительно, если одна и та же уравновешивающаяся система сил $\boldsymbol{F}_{i}$ допускает два различных представления (19) (одно с множителями $\lambda_{k}$, $\mu_{k}$, другое с множителями $\lambda_{k}^{\prime}, \mu_{j}^{\prime}$ ), то путем вычитания мы получим $N$ тождеств
\[
\sum_{k=1}^{r}\left(\lambda_{k}-\lambda_{k}^{\prime}\right) \boldsymbol{a}_{k i}+\sum_{j=1}^{s}\left(\mu_{j}-\mu_{j}^{\prime}\right) \boldsymbol{\alpha}_{j i}=0 \quad(i=1,2, \ldots, N),
\]

которые, после умножения на $\delta P_{i}$ и почленного сложения дали бы тождество
\[
\sum_{k=1}^{r}\left(\lambda_{k}-\lambda_{k}^{\prime}\right) B_{k}+\sum_{j=1}^{8}\left(\mu_{j}-\mu_{j}^{\prime}\right) U_{j}=0 ;
\]

из этого тождества, вопреки предположению, следовали бы равенства
\[
\lambda_{k}=\lambda_{k}^{\prime}, \quad \mu_{j}=\mu_{j}^{\prime} \quad(k=1,2, \ldots, r ; j=1,2, \ldots, s) .
\]

Поэтому заключаем, что равенства (19) дают $\infty$ различных уравновешивающихся систем сил.
33. Переходя $\kappa$ вопросу „б“ предыдущего пункта, заметим прежде всего, что с кинематической точки зрения уравнения (20) определяют толью обратимые виргуальные перемещения системы $S$ (для какой-либо ее предельной конфигурации). Уравнения (20) являются линейными и однородными по отнопению і $3 N$ неизвестным $\delta x_{i}$, $\delta y_{i}, \delta z_{i}$; так как, по предположению, число их меньше $3 N$ и они между собой независимы, то существуют $n=3 N-r \longrightarrow s$ линейно независимых решений этих уравнений, так что общее решение получится посредством линейной комбинации этих $n$ частных решений с $n$ произвольными коэффициентами.

Этому общему решению мы можем придать наглядную и удобную форму, заметив, что каждое из $n$ частных решений, рассмотренных выше, дает $3 N$ проекций векторов $\delta P_{i}(i=1,2, \ldots, N)$, соответствующих какому-нибудь частному обратимому виртуальному перемещению системы $S$; обозначая через
\[
\tau_{1}^{(p)}, \tau_{2}^{(p)}, \ldots, \tau_{N}^{(p)} \quad(p=1,2, \ldots, n)
\]
(бесконечно малые) перемещения, получающиеся для точек $P_{1}$, $P_{2}, \ldots, P_{N}$ из $n$ частных решений, мы можем представить общее решение уравнений (20), т. е. общее виртуальное обратимое перемещение системы $S$ в виде
\[
\delta P_{i}=\sum_{p=1}^{n}{ }_{p} \tau^{(p)} \quad(i=1,2, \ldots, N),
\]

где $
u_{p}$ обозначают $n$ произвольных коэффициентов.
Самая общая система сил $\boldsymbol{F}_{i}$, способная удержать систему $S$ в покое, должна обладать тем свойством, что полная работа ее на каждом из $n$ обратимых перемещений $\tau_{i}^{(p)}$ должна быть равна нулю, так что должны тождественно удовлетворяться $n$ уравнений
\[
\sum_{i=1}^{N} \boldsymbol{F}_{i} \cdot \tau_{i}^{(p)}=0 \quad(p=1,2, \ldots, n) .
\]

Эти уравнения составляют, конечно, только часть условий, определяющих все возможные уравновешивающиеся системы сил (при этом все еще не принимастся в расчет необратимые виртуальные перемещения), но они достаточны, чтобы убедиться, что всякая такая система сил входит в выражения (19) из II. 31.

Действительно, уравнения (22), образующие систему из $n$ линейных однородных уравнений относительно неизвестных проекций $X_{i}, Y_{i}, Z_{i}$ сил $\boldsymbol{F}_{i}$, являются, конечно, линейно независимыми, так как матрица их коэффициентов из $n$ строк и $3 N$ столбцов есть не что иное, как матрица $n$ линейно независимых решений уравнений (20). Поэтому уравнения (22) имеют в свою очередь $3 N-n=r+s$ линейно независимых решений и самое общее решение линейно зависит от $r+s$ существенных произвольных постоянных, как они появляются в выражении
\[
\boldsymbol{F}_{i}=-\sum_{k=1}^{r} \lambda_{k} \boldsymbol{a}_{k i}-\sum_{j=1}^{8} \mu_{j} \boldsymbol{\alpha}_{j i} \quad(i=1,2, \ldots, n),
\]

найденном прямым путем в п. 31.
Отсюда мы заключаем, что выражения (19), как это и было высказано выше, дают (при соблюдении ограничений $\mu_{j} \leqslant 0$, которые отражают еще не рассмотренные условия для сил $\boldsymbol{F}_{i}$ ) наиоолее обиую систему сил, способную удержать систему $S$ в покое.

Это заключение, как уже говорилось в п. 30, кладется в основу определения, является ли заданная система сил уравновешивающейся на нашей материальной системе; достаточно будет проверить, войдет ли она в уравнения (19) при надлежащем выборе множителей $\lambda_{k}$ и $\mu_{j}$ (при существенных условиях $\mu_{j} \leqslant 0$ ). Из замечания в п. 32 следует, что в утвердительном случае эти множители будут определены однозначно. Равенства (19) дадут в конечном счете параметрическое решение соотношения (18) в согласии с соотношениями (15), (16), и если примем во внимание только что сделанное замечание, то можно будет также сказать, что они составляют условия равновесия системы $S$ в параметрической форме.
34. Применим эти условия к некоторым простым частным случаям. Если речь идет только об одной точке $P$, вынужденной двигаться по поверхности (без трения)
\[
f(x, y, z \mid t)=0,
\]

то виртуальные перемещения удовлетворяют единственному условию
\[
\frac{\partial f}{\partial x} \delta x+\frac{\partial f}{\partial y} \delta y+\frac{\partial f}{\partial z} \delta z=0,
\]

так что имеется только одно уравнение вида (15′) (I. 30) и, следовательно, только один вектор $\boldsymbol{a}$, определяемый проекциями $\frac{\partial f}{\partial x}$, $\frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}$. Поэтому параметрическое условие равновесия, если $\boldsymbol{F}$ есть равнодействующая активных сил, будет выражено в векторной форме равенством
\[
\boldsymbol{F}=-\lambda \boldsymbol{a}
\]

или в проегциях на декартовы оси координат равенствами
\[
X+\lambda \frac{\partial f}{\partial x}=0, \quad Y+\lambda \frac{\partial f}{\partial y}=0, \quad Z+\lambda \frac{\partial f}{\partial z}=0 .
\]

Если же, наоборот, точка $P$ подчинена только односторонней евязи
\[
\varphi(x, y, z \mid t) \leqslant 0,
\]

то ми должны иметь
\[
X=-\mu \frac{\partial \varphi}{\partial x}, \quad Y=-\mu \frac{\partial \varphi}{\partial y}, \quad Z=-\mu \frac{\partial \varphi}{\partial z}
\]

при $\mu \leqslant 0$.
Наконег, в случае точњ, внужденной оставаться на кривой без трения
\[
f_{1}(x, y, z \mid t)=0, \quad f_{2}(x, y, z \mid t)=0,
\]

мы будем иметь два уравнения типа (15′), следовательно, два вектора $\boldsymbol{a}$ и два множителя $\lambda$. Условия равновесия будут иметь вид
\[
\begin{array}{c}
X+\lambda_{1} \frac{\partial f_{1}}{\partial x}+\lambda_{2} \frac{\partial f_{2}}{\partial x}=0, \quad Y+\lambda_{1} \frac{\partial f_{1}}{\partial y}+\lambda_{2} \frac{\partial f_{2}}{\partial z}=0, \\
Z+\lambda_{1} \frac{\partial f_{1}}{\partial z}+\lambda_{2} \frac{\partial f_{2}}{\partial z}=0 .
\end{array}
\]
35. Воввратимел временно к праничительним предноложениям, допущенным в п. 32 ч число и гезависимости уравнениї .
\[
B_{k}=0, \quad U_{j}=0 \quad(k=1,2, \ldots, r ; j=1,2, \ldots, s) .
\]

Можно заранее считать, что уравнения $B_{k}=0$, соответетвуюцие двусторонним свлзям, независимы и что их менъне $3 N$; действительно, мы можем не принимать во внимание те уравнения $B_{k}=0$, которые случайно окажуутея следствиями остальных, а число независимых между собой уравнений должно быть меньше $3 N$, если мы хотим, чтобы система допускала, по грайней мере, одно виртуальпое перемещение.

Однако этого нельзя сказать по отношению к уравнениям $U_{j}=0$, которые выражают односторонние свлзи. Чтобы убедиться в этом, обратимел к элементарному примеру. Пусть мы имеем толью одпу материальную точку $P$, вынужденную не выходить из пределов выпуклого многогранного угла с $s$ гранями и с вершиной в точке $O$, и хотим рассмотреть условия равновесия в положении $O$, которое, очевидно, являетея предельным для всех связей.

Величины $U_{j}$ в таком случае являются линейными однородными формами от проекций $\delta x, \delta y$, $z$ любого виртуального перемещения точки $P$. Если мы предположим, что речь идет 0 дейетвительном многогранном угле с числом граней, большим трех, то три (и только три) из форм $U_{j}$ будут независимыми, в то время как ни одна из связей $U_{j} \leqslant 0$ не будет лишней.

Для изучения независимости между собой односторонних свлзей потребовалось бы более глубокое иселедование, которым мы не будем заниматься.
36. Редқции. Как уже отмечалось с самого начала (п. 1) и было показано непосредственно в $\$ 82-6$ (в частности, в случае систем с шолными связями), одно из тавных преилуществ приленения щрицина виртуальных работ в статике заклочаетель в том обстолтельстве, что он позволяет систематически исключать реагции и рассматривать одни только активные силы. Однаго бывают такие случаи, в которых главныё интерес задачи сосредоточен на определении этих реакций, или по крайней мере части их.

Мы покажем здесь, что метод множителей исчерпывающим образом отвечает этим требованилм.

Обратимея к случал, віолне разобранному и обълсненному г ніг. $32-33$, в котором для всятой системы сил, способной удерживать систему в поке, множители $\lambda_{k}$ и $\mu_{j}$ огределяютел однозначно.

Мы знаем, что в этом предпоножии предетавленио активных сил вз форме
\[
\boldsymbol{F}_{i}=-\sum_{k=1}^{r} \lambda_{k} \boldsymbol{a}_{k i}-\sum_{j=1}^{s} \mu_{j} \boldsymbol{\alpha}_{j i} \quad(i=1,2, \ldots, N)
\]

эквивлентю общему уразнению статики.
Если мы введем все реатции $\boldsymbol{\boldsymbol { R }}_{i}$, появляюиеся в отдельных точках сөвокупности $r+s$ связей, которим подтипена система, то при равновесии для каждой точги $P_{i}$ должно иметь место равенетво
\[
\boldsymbol{R}_{i}=-\boldsymbol{F}_{i} \quad(i=1,2, \ldots, N) .
\]

Поэтому, принимая во внимание уравнения (19), мы поључим цля реакций выражения
\[
\boldsymbol{R}_{i}=\sum_{k=1}^{r} \lambda_{k} \boldsymbol{a}_{k i}+\sum_{j=1}^{s} \mu_{j} \boldsymbol{a}_{j i} \quad(i=1,2, \ldots, N),
\]

представляющие собой разложение паждой отдельной реакции 13 сумму $r+s$ составляощих.

Кажгую из этих составлятощих можно рассматривать как действие, огазываемое на соответствующую точку одной из $r+s$ связей
\[
\begin{array}{ll}
B_{k}=0 & (k=1,2, \ldots, r), \\
U_{j} \leqslant 0 & (j=1,2, \ldots, s) .
\end{array}
\]

Чтобы убедиться в этом, обратим внимание на одну из связей, например на двустороннюю связь $B_{1}=0$, и заметим, что условия равновесия (19) нашей системы можно нашисать также в виде
\[
\boldsymbol{F}_{i}+\lambda_{1} \boldsymbol{a}_{1 i}=-\sum_{k=2}^{r} \lambda_{k} \boldsymbol{a}_{k i}-\sum_{j=1}^{s} \mu_{j} \boldsymbol{a}_{j i} \quad(i=1,2, \ldots, N) .
\]

В этой форме их можно истолквать как условия равновесия новой системы $S_{1}$, нодчиненной исем свлзям системы $S$, за исключением связи $B_{1}=0$, п находящейся нод действием агтивных сил $\boldsymbol{F}_{1}+\lambda_{1} \boldsymbol{a}_{1 i}$. Введенные таким образом $N$ дополнительных сил $\lambda_{1} \boldsymbol{a}_{1 i}$ эквивалентны действиям, оказываемым на точки $P_{i}$ исключенной связыо $B_{1}=0$, и потому предетавляют собой реакции, происходящие от этой связи.

Величина этой частичной реации в любой точке $P_{i}$ определяется выражением $\left|\lambda_{1}\right| a_{1 i}$. Если, в частности, исключенная связь являетея позиционной и голономной
\[
f\left(x_{1}, y_{1}, z_{1} ; \ldots ; \quad x_{N}, y_{N}, z_{N} \mid t\right)=0,
\]

так что уравнение $B_{1}=0$ имеет вид
\[
\sum_{i=1}^{N}\left(\frac{\partial f}{\partial x_{i}} \delta x_{i}+\frac{\partial f}{\partial y_{i}} \delta y_{i}+\frac{\partial f}{\partial z_{i}} \delta z_{i}\right)=0,
\]

то составляющие $\lambda_{1} a_{1 i}^{\prime}, \lambda_{1} a_{1 i}^{\prime \prime}, \lambda_{1} a_{1 i}^{\prime \prime}$ реации этой свлзи в точке $P_{i}$ определяются выражениями
\[
\lambda_{1} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}, \quad \lambda_{1} \frac{\partial f}{\partial y_{i}}, \quad \lambda_{1} \frac{\partial f}{\partial z_{i}} \quad(i=1,2, \ldots, N) ;
\]

поэтому величина реакци связи равна
\[
\left|\lambda_{1}\right| \sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial y_{i}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial z_{i}}\right)^{2}},
\]

а направление совпадает с напрьвлением нормали к поверхности, которая будет представлена уравнением (24), если мы положим в нем $t$ равным значению времени в рассматриваемый момент и заставим изменяться только координаты $x_{i}, y_{i}, z_{i}$, а координатам остальных точек системы припшем те значения, которые они имеют в рассматриваемом положении равновесия.
37. Способом, аналогичным тому, который был применен выше для двусторонней связи, мы можем выделить реаццию в любой точке $P_{i}$, происходящую от односторонней связи, например от связи $U_{j} \leqslant 0$, и найдем, что эта реакция равна $\mu_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1 i}$.
Если условие $U_{i} \leqslant 0$ происходит от позиционной связи
\[
\varphi\left(x_{1}, y_{1}, z_{1} ; \ldots ; \quad x_{N}, y_{N}, z_{N} \mid t\right) \leqslant 0,
\]

то ограничение для виртуальных перемещений
\[
\sum_{i=1}^{N}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x_{i}} \delta x_{i}+\frac{\partial \varphi}{\partial y_{i}} \delta y_{i}+\frac{\partial \varphi}{\partial z_{i}} \delta z_{i}\right) \leqslant 0
\]

должно выполняться только для предельной жонфигурации, т. е. для конфигурации, в которой соотношение (25) удовлетворяется, как равенство.

При этом предположении, реакция, происходяцая от связи (25), будет иметь в точке $P_{i}$ проекции
\[
\mu_{1} \frac{\partial \varphi}{\partial x_{i}}, \quad \mu_{1} \frac{\partial \varphi}{\partial y_{i}}, \quad \mu_{1} \frac{\partial \varphi}{\partial z_{i}},
\]

так что, аналогично случаю двусторонней связи, реацця будет направлена по нормали к поверхости, представленной уравнением
\[
\varphi\left(x_{1}, y_{1}, z_{1} ; \ldots ; \quad x_{N}, y_{N}, z_{N} \mid t\right)=0,
\]

куда, каю и в уравнение (24), вместо $t$ подставляется значение времени в рассматриваемый момент и вместо координат раз.личных точек, за исключением точки $P_{i}$ для которой они остаются переменными, значения координат этих точек в конфигурации равновесия.

Так как при равновесии $\mu_{1} \leqslant 0$, то реакция будет направлена в ту сторону от поверхности $\varphi=0$, в которой функция от переменных $x_{i}, y_{i}, z_{i}$ становится отрицательной, т. е. в сторону, допускаемую связью.

Так, например, если две точки $P_{1}, P_{2}$ соединены твердым стержнем или, в более общем случае, гибкой п нерастяжимой нитью длины $l$, то связь выразитея соотнопением
\[
\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}+\left(z_{1}-z_{2}\right)^{2} \leqslant l^{2},
\]

где в случае стержня будет иметь место только знак равенства. В конфигурации равновесия (при натлнутой нити во втором случае, если мы хотим, чтобы в точках $P_{1}, P_{2}$ возникли реакции) реакдия в каждой из двух точек будет эаправлена по прямой $P_{1} P_{2}$ (нормальной к сфере с дентром в другой точке и с радиусом $l$ ), причем в случае нити реакция всегда направлена в сторону другой точки.
38. Выяснив, что векторы $\lambda_{k} \boldsymbol{a}_{k i}, \mu_{j} \boldsymbol{z}_{j i}$ можно рассматривать как реакции, действующие на точку $P_{i}$ со стороны отдельных связей $B_{k}=0$ и $U_{j} \leqslant 0$, мы можем теперь дать наглдное истолювание условиям равновесия в форме (19). Написанные в виде
\[
\boldsymbol{F}_{i}+\sum_{k=1}^{r} \lambda_{k} \boldsymbol{a}_{k i}+\sum_{j=1}^{s} \mu_{j} \boldsymbol{\alpha}_{j i}=0 \quad(i=1,2, \ldots, N),
\]

они выражают, что для равчовесия системь с кажими угодно связями (лишь бы, конечно, связи были без трения) необходимо и достаточчо, чтобы прямо приложенные силы в любой точке уравчовешивались соопвстствующими рсапциями связей.

В этой формулировге можно видеть обобщение того критерия, которым мы неоднократно пользовались в предыдущих главах, изучая различные частные случаи систем. Там мы определли, основываясь на интуиции, характер реакций, которые были в состолний
разить связи. Здесь же поведение реалий характеризуется с одюіі общей точки зрения, на основании принципа виртуальных работ, который сам был установлен гає раз путем синтеза отдельных частных случаев, изученных непосредственно по интуиции.
39. Прежде чем идти далее, вернемся временно к общему выражению (23) реакций, различные члены которого представляют собой, как мы видели в предыдущих пунктах, реакции в любой точке $P_{i}$ системы, происходящие от отдельных двуеторонних и односторонних связей, выражаемых соотношениями вида $\left(15^{\prime}\right)$, (16′). Следует обратить внимание на то, что особенности осуществления связей с аналитической точки зрения отражаются в той частной форме, которал была выбрана для уравнений (15′), (16) ) из бесконечного множества эквивалентных ей форм, и что всякому такому выорору соответствует особое определение отдельных векторов $\boldsymbol{a}_{k i}, \boldsymbol{\alpha}_{j i}$. Мы вйдим, тагим образом, что реакции, которье, сюгласно формуле (23), можно рассматривать как происходящие от отдельных связей, завислт от осуществления связей, в отличие от условий равновесия, которне, наоборот, не завнеят от них (II. 7).

Очень простую иллюстрацию этого замечанил дает эллилсограф, описанный в гл. V п. 15. Если евязь, действующая, по предположению, без трения и вынуждающая точу $P$ опиенвать элынс, лвляетея именно той, которая описана там, то возбуждалотея реакции $\boldsymbol{R}_{A}, \boldsymbol{R}_{B}$, приложенные к кодцам стержня и пормальные соотшетственно к двум направляющим. Но если мы осуществляем ту те самүю свлзь для стержня $A B$, вынуждал две другие его точки $\ddot{P}, Q$ оиисывать без трения соответствующие эллипсы (удалив обе направлющще), то вместо реакций $\left(A, \boldsymbol{R}_{A}\right)$ и $\left(B, \boldsymbol{R}_{B}\right)$ возбуждаюте две реакции $\left(P, \boldsymbol{R}_{P}\right)$ и $\left(Q, \boldsymbol{R}_{Q}\right)$, нормальные к пвум эллинсам. Этот пример показывает, что местное распределение реакций действительно зависит от способа, посредством которого осуществяяютел связи; это означает, если речь идет о неизменяемой системе, что два приложенных вектора ( $\left.P, \boldsymbol{R}_{P}\right),\left(Q, \boldsymbol{R}_{Q}\right)$ составляют систему, эквивалентную системе $\left(A, \boldsymbol{R}_{A}\right),\left(B, \boldsymbol{R}_{B}\right)$.
40. ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ, ПРОИСХОДЯЩИХ От ОТдвльных связвй. Так как векторы $\boldsymbol{a}_{k i}, \boldsymbol{\alpha}_{j i}$ известны по заданию, то вычисление реацций $\lambda_{k} \boldsymbol{a}_{k i}$ или $\mu_{j} \boldsymbol{\alpha}_{j i}$, которые в различных точках $P_{i}$ происходят от определенной связи ( $B_{k}=0$ или соответственно $U_{j} \leqslant 0$ ), сводитсл $к$ определению соответствующих множителей $\lambda_{k}$ или $\mu_{j}$.

Способ, быстро ведущий к тагой целп, вытекает из следующих соображений. Определим, например, реакци $\lambda_{1} \boldsymbol{a}_{1 i}$, происходяцую от двусторонней связи $B_{1}=0$. Таг как, по предиоложению, уравнения
\[
B_{k}=0, \quad U_{j}=0 \quad(k=1,2, \ldots, r ; j=1,2, \ldots, s)
\]

совместны н независимы, то такиии же будут и уравнения
\[
\begin{array}{c}
B_{1}=\varepsilon, \\
B_{k}=0, \quad U_{j}=0 \quad(k=2,3, \ldots, r ; j=1,2, \ldots, s),
\end{array}
\]

где в обозначает произвольную, бесконечно малую скалярную (но не равную нулю) величину. Поэтсму мы можем указать бесконечно малое перемещение $\partial P_{i}$, удовлетворяющее этим уравнениям и представляющее собой, в силу самого своего определения, перемещение системы $S$, совместное со всеми связми, кроме связи $B_{1}=0$, реакцию которой требуется вычислить.

Умножая обе части равенства (19) на $\partial P_{i}$ и суммируя по индексу $i$ от 1 до $N$, мы получим, на основании уравнений (26), (27), уравнение
\[
\sum_{i=1}^{N} \boldsymbol{F}_{i} \cdot \partial P_{i}=\lambda_{1} \varepsilon,
\]

которое непосредитвенно дает значение неизвестного множителя $\lambda_{1}$ п, следовательно, значение каждой из реакций $\lambda_{1} \boldsymbol{a}_{11}$, которые происходят от связи $B_{1}=0$.

Легко убедиться, что реацции определяютсл таким способом однозначно, т. е. они не зависят от выбора частного перемещенгя $\partial P_{i}$ из числа тех, которые определяются уравнениями (26), (27). В самом деле, напболее общее перемещение $D P_{i}$, удовлетворяющее этим уравнениям, получится, в силу известных свойств систем линейных уравнениї, еспи мы присоединим $к$ частному решению $\partial P_{i}$ уравнений (26), (27) общее решение соотзетствующей однородной системы (20), т. е. самое общее обратимое виртульное перемещение $\delta P_{i}$ нашей системы. Вследстиие этого
\[
D P_{i}=\partial P_{i}+\delta P_{i}
\]

п, на основании уравнений (20),
\[
\sum_{i=1}^{N} \boldsymbol{F}_{i} \cdot D P_{i}=\sum_{i=1}^{N} \boldsymbol{F}_{i} \cdot \partial P_{i}
\]

Аналогично можно поступить при определении каждого другого множителя, с единственной оговоркой, что если речь идет об одном из множителей $\mu_{j}$ (соответствующем односторонней связи), то, вследствие того, что условия равновесия будут удовлетворены, он должен получнться отрицательным. (пли равным нулю).
41. Механическое истолкование алгебраического сцособа, которым мы пользовались выше при определении множителя $\lambda_{1}$, очевидно. Рассмотрим, как это уже делалось в п. 36 , систему $S_{1}$, которую мы получим пз данной системы, уничтожая связь $\dot{B}_{1}=0$ и причисляя к активным силам помимо $\boldsymbol{F}_{\boldsymbol{i}}$ реакции $\lambda_{1} \boldsymbol{a}_{1 i}$, пропсходящие от уничтоженной связи. Для такой системы обратимые виртуальные перемещения (для предельной конфигурации) определяютел равенствами (27), так что наиболее общее перемещение $D P_{i}$, определяемое равенствами (26), (27), является обратимым виртуальным перемещением системы $S_{1}$, подчиненным условию не быть совместным с уничтоженной связью, вследствие того, что оно удовлетворяет условию, выраженному уравнением (26).

Если теперь к системе $S_{1}$ (ик системе активных сил $\boldsymbol{F}_{i}+\lambda_{1} \boldsymbol{a}_{1 i}$ ) применим общее уравнение статики, составляя его для перемещения $D P_{i}$, то получим уравнение
\[
\sum_{i=1}^{N}\left(\boldsymbol{F}_{i}+\lambda_{1} \boldsymbol{a}_{1 i}\right) \cdot D P_{i}=0,
\]

которое, если примем во внимание уравнения (26), (27), совпадет с уравнением (28), полученным в предыдущем пункте для определения множителя $\lambda_{1}$. Таким образом, мы пришли к следующему правилу, которое, впрочем, очевидно с механической точки зрения. Для определения реакиий, происходящих от одной заданной связи, при заданных условиях действия сил, достаточно рассмотреть систему, которая получится, если мъ уничтожим эту связь и ж действуюшим активным силам присоединим соответствующие реакции, и применить общее уравнение статики для какого-нибудь виртуального перемещения новой системы, которое было бы несовместимо с оторошенной связью.
42. Применим предыдущее правило к одному простейшему примеру. Пуеть имеютеяг четыре равных твердых стержня, попарно соединенных шарнирами так, что они составляют ромб $A B C D$ (фиг. 74). Пусть этот ромб удерживается в заданной конфигурации пятым твердым стержнем, соединяющим $B$ с $D$, так что угол $\widehat{B A C}$ равен $\theta$. Если система подвешена на крюк в точке $A$ и подвергается действию груза $p$ в точке $C$, то она расположится так, что диагональ $A C$ будет вертикальна.

Iусть требуется определить давление, испытываемое стержнем $B D$, если весом пяти стержней можно пренебречь.

Неизвестное давление, действующее на стержень в точке $B$, на основании принципа равенства действия и противодействия, равно и прямо противоположно реакции, которая там возникает со стороны стержня $B D$; то же самое можно сказать и о давлении в точке $D$, так что дело сводится к вычислению общей величины двух реакций в точках $B$ и $D$.

Для этой цели, в согласии с правилом предыдущего пункта, достаточно рассмотреть стержневой ромб $A B C D$, получающийся из данной системы путем отбрасывания стержня $B D$ и последующего присоединения к действующей силе, весу $p$, двух реакций в точках $B$ и $D$, и применить общее уравнение статики к тому виртуальному перемещению ромба, которое солижает или удаляет две точки $B$ и $D$. Такое перемещение определяется соответствующей вариацией угла $\theta$; поэтому, обозначая через $l$ общую длину четырех стержней ромба, будем иметь.
\[
B D=2 l \sin \theta, \quad A C=2 l \cos \theta .
\]

Общее уравнение статики принимает для этого перемещения вид
\[
R \delta(2 l \sin \theta)+p \delta(2 l \cos \theta)=0 ;
\]

решая его относительно $R$, получим
\[
R=p \operatorname{tg} \theta .
\]