4. Твердое тело $S$ может блть подчинено не только внутренним свявям неизменяемости, но и внешним связям, осуществляемым, например, посредством соприкосновения с другими твердыми телами или посредством сферических или цилиндрических шарниров, делающих неподвижной точку или прямую тела, и т. д. В каждом из этих случаев, если мы хотим применить к твердому телу $S$, находящемуся под действием заданной системы сил, основные условия, необходимые и достаточные для равновесия, то к внешним силам нужно причислить также п реакции связей, наложенных на тело; поэтому внешние силы, как это уже указывалось в п. 2 предыдуцей главы, будут разбиватьея на две категории:
1) активные, или прямо приложенные, силы, которне будем обозначать вообще через $\boldsymbol{F}$;
2) реакии связей, которые мы будем обозначать через $\mathbf{\Phi}$.
Улловия равновесия (1) или (1′) содержат в себе как силы $\boldsymbol{F}$, так и силы $\boldsymbol{\Phi}$. Однако известными являютея только активные силы $\boldsymbol{F}$ и способ осуществления внешних связей, но не соответствующие реакции $\boldsymbol{\Phi}$, которые входят в запачу в виде вспомогательных неизвестных.

Поэтому во всяком конкретном случае нужно прежде всего выяснить по заданным силам, возможно ли равновесие, т. е. нужно определить условия равновесия, выраженные носредством только известных элементов; затем нукно определить также и неизвестные реакции $\boldsymbol{\Phi}$ или, по крайней мере, установить соотношения межцу реакциями и приложенными силами $\boldsymbol{F}$. Исследование, относящеесл к реакциям, может быть опущено, если для изучаемой задачи достаточно определить новедение агтивных сил при равновесии.
5. ТВердоЕ тело с одной закРеПленноЙ точкой. Пусть точка $O$ твердого тела $S$ закреплена. Прииером такого тела является рычаг или вообще тяжелое тело, подвешенное на крюке посредством колечка $O$, неизменно связанного г телом. Если считать колечго и крюк точками, то можно сказать, что неподвижность точки $O$ тела будет обеспечена, каковы бы ни были силы, действующие на тело, лишь бы они не могли разорвать колечко, или сломать крюк, или вызвать у них заметные деформации.

Если к телу $S$ приложены известные заданные силы $\boldsymbol{F}$, то для того, чтобы учесть все внешние силы, действующие на $S$, мы должны шрисоединить к силам $\boldsymbol{F}$ реацию $\boldsymbol{\Phi}$, возникающую в точке $O$ благодаря действию устроӥства, обеспечивающего неподвижность тела. Если обозначим через $\boldsymbol{R}$ п $\boldsymbol{M}$ результирующую силу и результирующий момент относительно точки $O$ одних только активных сил $\boldsymbol{F}$, то неөбходимые и достаточные условия для равновесия твердого тела (так как момент реакции о относительно $O$ равен нулі) примут вид
\[
\begin{array}{c}
\boldsymbol{R}+\boldsymbol{\Phi}=0, \\
\boldsymbol{M}=0 .
\end{array}
\]

Последнее из этих уравнений показывает, что при равновесии тела результирующий момент актизных сил относительно неподвижной точки равен нулю, или, другими словами, совокупность активных сил векторно эквивалентна одной силе $\boldsymbol{R}$, приложенной в точке $O$ (гл. I, п. 39 ).

Легко видеть, что условие (3) достаточно для равновесия; это доказывается на основании теоремы і. 2, согласно которой для равновесия достаточно, чтобы уравновешивалась система сил, векторно эквивалентная действительной системе (которая в настоящем случае состоит из сил $\boldsymbol{F}$, силы $\Phi$ и из внутренних сил $\boldsymbol{f}$ ).

Примем в качестве системы, эквивалентной силам $\boldsymbol{F}$ и $\boldsymbol{f}$ (эти последние в их совокупности эквивалентны нулю), силу $\boldsymbol{R}$, приложенную в неподвижной точке $O$. Точка $O$ будет находиться тогда под действием равнодействующей $\boldsymbol{R}+\boldsymbol{\Phi}$ сил $\boldsymbol{R}$ и $\boldsymbol{\Phi}$, а так как эта точка, по предположению, неподвижна, то уравнение (2) должно удовлетворяться и, следовательно, тело $S$ должно находиться в равновесии.

Обыкновенно говорят более коротко: если условие (3) удовлетворяется, то система активньх сил эквивалентна одной силе, приложенной в неподвижной точке $O$; эта сила уравновешиватся реакцией в неподвижной точке.

Эта краткая формулировка, полное обоснование которой при помощи постулатов содержится в приведенных выще рассуждениях, отвечает нашим непосредственным физическим представлениям и оказывается удобной в приложениях, поэтому ее полезно запомнить.

Таким образом, условие (2) не накладывает никаких ограничений на активнъе силь $\boldsymbol{F}$ и служит только для определения реакции Ф в неподвижной точке О. Условием, необходимым и достаточным для равновесия, является условие (3), т. е. вбращение в нуль результирующето момента всех прямо приложенных сил относительно закрепленной точки. движность оси обеспечивается специальными приспособлениями, которые закрепляют две или большее число её точек; закрепленных точек может быть и бесконечно большое число; они составляют тогда один или несколько отрезков. Физическими моделями твердого тела с загрепленной осью могут служить: крышка ящика, имеющая два шарнира (петли), мельничное колесо, маховое колесо. Пверь или створку окна нельзя, вообще говоря, рассматривать как твердое тело с закрепленной осью; ось в этом случае может скользить вдоль самой себя (в определенную сторону), так как двери или створки окон в большинстве случаев устраиваются так, чтобы их можно было снимать с петель, поднимая в направлении оси.

Пусть $S$-твердое тело, которое может врацаться вокруг неподвижной оси $a$, неизменно связанной с телом. Обозначим через $\boldsymbol{F}$ действующие на тело внешние ажтивные силы. Реакции связей $\boldsymbol{\Phi}$ приложены в точках оси $a$ и потому их моменты относительно этой оси равны нулю. Для равновесия необходимо, чтобы обращался в нуль результирующий момент всех внешних сил относительно какой угодно точки, а потому и относительно какой угодно шрямой и, в частности, относительно этой оси; поэтому, обозначая через $M_{a}$ результирующий момент сил $\boldsymbol{F}$ относительно оси $a$, заключаем, что необходимое условие для равновесия имеет внд
\[
M_{a}=0 .
\]
7. Только что полученный результат можно обратить, т. е. можно доказать, что условие (4) является также и достаточным для равнонесия. Но для этой цели необходимо сделать некоторые предварительные замечания о векторах.

Если векторы системы $\Sigma$ все приложены в точках пекоторй прямой $a$, то момент каждого из них о’тносительно этой прямой равен нулю, а потому будет равен нулю также и результирующий момент $M_{a}$ системи У относительно этой прямой. Другими словами, если за центр приведения берется произвольная точка $O$ на прямой $a$, то результирующий момент $\boldsymbol{M}$ системы $\Sigma$ относвтельно $O$ будет перпендикулярен к $a$.

Ђдесь важно обратить внимание на то, что это является единственной особеннөстью систем векторов, приложенных в точках какой-нибудь прямой, т. е. если, задав прямую $a$, мы возьмем два произвольных вектора $\boldsymbol{R}$ и $\boldsymbol{M}$ (фиг. 31) при единственном условии, что второй должен быть перпендикулярен г $a$, то найдется бесконечно большое число (эквивалентных между собой) систем векторов, приложенных в точках прямой $a$, имеющих при произвольном центре приведения $O$ на прямой $a$ результирующим вегтором $\boldsymbol{R}$ и результирующим моментом $\boldsymbol{M}$.
Начнем с догазательства того, что существует бескнечно много таких систем, состоящих только из двух векторов, приложенных соответственно в точке $O$ и в другой точке $O^{\prime}$, выбранной произвольно на заданной прямой $a$. Проведем через точку $O$ плоскость $\pi$, Фиг. 31. мой $a$. Проведем через точку $O$ плоскость $\pi$, вектору $\boldsymbol{M}$ и поэтому содержащую прямую $a$, пернендикушлрную к вектору $\boldsymbol{M}$ и поэтому содержащую прямую $a$, которая предполагается перпендикулярной к этому вектору, и рассмотрим в плоскости $\pi$ два вектора – $\boldsymbol{v}^{\prime}$ п $\boldsymbol{v}^{\prime}$, однозначно опреде ляющиеся тем, что они должны быть приложены соответственно в точках $O$ и $O^{\prime}$ в направлении, перпендикулярном к $a$, и составлять пару с моментом $\boldsymbol{M}$ (гл. I, п. 47). Система, составленная из векторов $\boldsymbol{R}$ и $-\boldsymbol{v}^{\prime}$, приложенных в $O$, и из вектора $\boldsymbol{v}^{\prime}$, приложенного в $O^{\prime}$, имеет, очевидно, относительно $O$ результирующий вектор $\boldsymbol{R}$ и результирующий момент $\boldsymbol{M}$; таким образом, если положим $\boldsymbol{v}=\boldsymbol{R}-\boldsymbol{v}^{\prime}$, то система векторов $\boldsymbol{v}$ и $\boldsymbol{v}^{\prime}$, приложенных соответственно в точках $O$ и $O^{\prime}$, удовлетворяет поставленным условиям.

Наиболее общая система, состоящая только из двух векторов, приложенных в точках $O$ п $O^{\prime}$ в имеющая относительно $O$ результирующий вектор $\boldsymbol{R}$ и результирующий момент $\boldsymbol{M}$, получится путем присоединения к $\boldsymbol{v}$ и $\boldsymbol{v}^{\prime}$ двух взаимно уравновешивающихея векторов, приложенных в $O$ и $O^{\prime}$, т. е. (гл. І, п. 39) двух прямо противоположных векторов $\boldsymbol{w}$ и – $\boldsymbol{w}^{\prime}$, имеющих линией действия прямую $a$. Изменяя величину $w$ этих двух добавочных векторов, мы и получим бесконечно большсе число систем из двух векторов, удовлетворяющих поставленному условию; очевидно, что произвол выбора значений величины $w$ по существу соответствует возможности произвольного выбора направления на плоскости $\pi$ двух векторов, составляющих пару с моментом $\boldsymbol{M}$.

Ясно, что мы будем иметь єще более значительный произвол, если отбросим условие, что система должна состоять только из двух векторов, так как тогда к системе из двух векторов $\boldsymbol{v}$ и $\boldsymbol{v}^{\prime}$ можно будет присоединить сколько угодно векторов, приложенных в точках прямой и составляющих уравновешенную систему.
8. После этих предварительных замечаний обратимея опять к твердому телу $S$ с закрешленной осью $a$ и покажем, что обращение в нуль результирующего момента $M_{a}$ прямо приложенных сил $\boldsymbol{F}$ относительно оси а является достаточным условием для равновесия; цля этой цели воспользуемся рассуждением, аналогичным рассуждению п. 5.

Если примем условие (4), то, как это следует из предыдущего пункта, существует бесконечно много спстем 亡 векторов, эквивалентных системе агтивных сил $\boldsymbol{F}$ и приложенных к тем точкам црямой $a$, готорые, по предшолсжению, являются запрепленными. То же самое можно сказать и о реакциях, возникающих в этих точках. Под действием такой сиетемы сил (активных сил и реакций, эквивалентных, если не тождественных тем, которые имеются в действительности) тело останется, очевидно, в равновесии (вспомним о том, что было сказано в п. 5 относительно реакции, возникающей в запрепленной точке, і о системе внутренних сил). Опо останется поэтому в равновесии также и под действием данных приложенных сил $\boldsymbol{F}$.

Поэтому имеем теорему: для того чтобы силь $\boldsymbol{F}$, прямо приложенные к твердому телу с заюрепленной осью, уравновешивались, необходимо и достаточно, чтои́ь их результирующий момент относительно этой оси был раєен нулю.
9. В случае твердого тела с одной запрепленной точкой $O$ реакция $\boldsymbol{\Phi}$, возникаюцая в точке $O$ при действии на тело системы сил, находящейся в равновесии, будет определена однозначно основными уравнениями как сила, прямо противоположная результирующей активных сил.

Если же речь идет о твердом теле с закрепленной осью, то относительно реакций, возникающих в закрепленных точках оси, основные уравнения равновесия утверждают только то, что их результирующая сила и результирующий момент (относительно данной точки) должны быть равны и прямо противоположны результирующей силе и результирующему моменту активных сил, но не дают возможности определить эти реакции в отдельных закрепленных точках оси. Таким образом, оснсвные уравнения равновесия приводят к заключению, что в статических условиях действие связей можно заменить какой угодно из систем реакций (эквивалентных между собой), приложенных в закрепленных точках и имеющих результирующую силу и результирующий момент, шрямо противоположные результирующей силе и результирующему моменту активных сил. Такое заключение, очевидно, неудовлетворительно, так как с физической точки, зрения бесспорно, что при равновесии реакци всегда определяются однозначно. Мы приходим, таким образом, к новому случаю статической неопределенности, который можно сравнить со случаем, уже встречавшимся в п. 10 гл. IX; эта неопределенность происходит от того, что в принципах статики твердого тела не принимаются во внимание деформации, вызываемые силами. Это вполне допустимо в первом приближении, так как деформации вообще бывают незначительными, так что следствия, которые вытекают из этого упрощающего предположения, в достаточной степени соответствуют результатам опыта. Но нельзя претендовать на правильное и детальное отображение всех обстоятельств, связанных с рассматриваемым явлением, если мы намеренно пренебрегаем какими-либо существенными элементами этого явления. Поэтому мы не должны удивляться тому, что относительно реакций $\Phi$ мы в состоянии определить лишь свойства, относящиеся к ним в целом (т. е. то, что они имеют результирующую силу и результирующий момент, прямо противоположные результирующей силе и результирующему моменту активных сил $\boldsymbol{F}$ ), и не можем указать их распределение в каждой точке. Это достигается в теории упругости, где как раз учитываются указанные выпе деформации.
10. Рассмотрим отдельно случай, когда на оси $a$ имеются две закрешленные точки $O$ и $O^{\prime}$ (например, две петли двери, когда обе они закреплены; ср. замечание из п. 6). В этом случае будут действовать только две реакции: одна из них, Ф, приложена в $O$, другая, $\boldsymbol{\Phi}^{\prime}$, в $O^{\prime}$. Так как результирующая сила и результирующий момент этих реакций известны (при равновесии они соответственно равны и противоположны результирующей силе и результирующему моменту системы сил $\boldsymbol{F}$ ), то на основании п. 7 заключаем, что неопределенность $\Phi$ и $\boldsymbol{\Phi}^{\prime}$ в этом случае сводится к двум осевым, равным и прямо противоположным составляющим. Если бы, например, было
известно, что реакция $\Phi^{\prime}$ нормальна к закрецленной оск, то обе реакции были бы вполне определенными.

На практике этот случай встречается тогда, когда речь идет об оси, закренленной на одном конце $O$, в то время как другой конец опирается на подшипник.

Теоретически при неизменности расстояния $O O^{\prime}$ точка $O^{\prime}$ тоже будет закреплена. В действительности же указанное приспособление оставляет точке $O^{\prime}$ свободу для продольных удлинений и укорочений, которые могут иметь место благодаря несовершенной твердости оси и вытекающей из нее возможности малых упругих и термических деформаций, и позволяет избежать опасных усилий, которые могли бы появиться, если бы расстояние $O O^{\prime}$ оставалось строго неизменным.

Чтобы понять, почему при этих условиях реакция $\boldsymbol{\Phi}^{\prime}$ в точке $O^{\prime}$ будет нормальна к оси, достаточно уподобить $O^{\prime}$ материальной точке, вынужденной оставаться на отрезке прямой (ось подшипника), и заметить, что при хорощо смазанных оси и подшипнике можно пренебречь трением (гл. IX, I. 16). практике мы будем иметь такой случай, когда обе цапфы (цилинцрические) $O, O^{\prime}$ оси а тела опираются на соответствующие (цилиндрические) подшипники. Если по указанной только что причине (предыдущий пункт) можно пренебречь трением, то реакции $\boldsymbol{\Phi}$ и $\boldsymbol{\Phi}^{\prime}$ в точках $O, O^{\prime}$ твердого тела должны быть перцендикулярными к оси (при этом они могут действовать по всякому нацравлению, нормальному к оси, и иметь любую величину); поэтому проекция их результирующей силы на ось $a$ п результирующий момент относительно этой оси будут равны нулю. Если существует равновесие, то и активные силы $\boldsymbol{F}$, которые в силу основных уравнений равновесия должны составлять вместе с реакциями систему, эквивалентную нулю, будут иметь проекцию результирующей на ось $a$ и результирующий момент относительно этой оси равными нулю. Таким образом, должны удовлетворяться два уравнения:
\[
R_{a}=0, \quad M_{a}=0 .
\]

Обратно, если удовлетворяются оба эти уравнения, то нецосредственно из п. 7 следует (принимая во внимание отсутствие трения и перпендикулярность реакций к оси) однозначное существование двух нормальных реакций $\Phi, \Phi^{\prime}$, уравновещивающих систему активных сил.

Если связи наложены не только на цапфы $O$ и $O^{\prime}$, но танже и на другие изолиреванные точки или на целые отрезки оси, то будут справедливы аналогичные рассуждения с единственной оговоркой, что распределение нормальных реакций (как и в случае закрепленной оси) будет неопределенным.

Таким образом, мы приходим к следующему результату: для равновесия твердого тела, которое может вращаться вокруг некоторой оси и скользить вдоль нее, необходимо и достаточно, чтобы проекция результирующей активных сил на эту ось и результируюший момент их отчосительно этой оси были равны нулю.