12. Если твердое тело опирается на другие тела в одной или нескольких точках, то в этих точках возникают реакции $\boldsymbol{\Phi}$; на основании замечаний п. 4 мы получим условия равновесия, если выразим, что система, составленная из активных сил $\boldsymbol{F}$ и реакций $\boldsymbol{\Phi}$, эквивалентна нулю.

На каждую из этих реакций можно распространить свойства, с которыми мы познакомились в случае одной материальной точки (см. гл. IX, п. 8). При этом мы должны опираться на один постулат, который подсказывается самой природой вещей и подтверждается ежедневным опытом, а именно: мы должны считать, что любая опора $P$ способна обеспечить равновесие, развивая реакцию Ф, заранее неопределенную (и, возможнө, равную нулю). Величина этой реакции зависит от действующих сил, но может быть какой угодно, а линия действия всегда остается внутри или на внешней полости конуса трения и совпадает с внешней нормалью (к телу, на котором находится опора), если опора липена трения или рассматриваетея как свободная от трения (когда трение очень мало). На основании такого свойства реакции Ф мы всегда можем получить количественные условия равновесия, т. е. условия, которым должны удовлетворять силы $\boldsymbol{F}$ для того, чтобы вместе с реакциями $\Phi$ они могли составить систему, эквивалентную нулю.

Если оставаться при общих предположениях, то мы ничего уже больше не сможем прибавить к тому, что было сказано выше.

Перейдем поэтому к конкретным случаям, имеюцим больной практический интерес.
13. Установим предварительно справедливость очень простого и в то же время очень важного правила, заключающегося в том, что в вопросах статики, отвлекаясь от трения, ми всегда дейспвуем в сторону большей надежности.

Этим мы хотим сказать, что выводы, полученные при рассмотрении равновесия без учета трения в опорах, тем более справедливы, когда трение на самом деле имеется, и потому вполне приложимы к действительности (где в большей или меньшей степени всегда действует трение).

Убедиться в этом можно непосредетвенно. Достаточно обратить внимание на то, что если реакци, уравновешивающие силы $\boldsymbol{F}$ нормальны к поверхностям опор, то они необходимо должны лежать внутри соответствующих нолостей конусов трения, как бы эти конусы ни были узки.

Таким образом, когда мы отвлегаемся от трения, то этим мы накладываем на активные силы лишние условия, благодаря чему в некотором смысле гарантируется устойчивость: имеется основание предцолагать, что даже в том случае, когда эти лищние условия не будут строго выполняться, то равновесие все же будет существовать, если только речь идет о системе сил $\Sigma^{\prime}$, которая не отличается значительно от системы сил $\Sigma$, удовлетворлющих указанным условиям. Это следует из того, что, вообще говоря, систему $\Sigma^{\prime}$ можно уравновесить реакцями, приложенными в точках опоры и весьма близкими к реакциям, уравновещивающим систему $\Sigma$, т. е. лежащими во внешних полостях конусов трения, что как раз и является необходимым и достаточным для равновесия.

Однако важно отметить, что могут встретиться не только такие случаи, в которых трение способствует равновесию, но и тагие, когда равновесие возможно только при наличии трения. Таков, например, случай лестницы, оширающейся своими концами на пол и на вертикальную стенку, который мы будем подробно рассматривать в пI. 17-18. Если бы трения вовсе не было, то равновесие было бы невозможно, как бы иало ни была наклонена лестница к вертикали: опоры не препятствовали бы ей двигаться под действием силы тяжести, скользя вдоль пола и вдоль стены. Поэтому необходимо обязательно принимать во внимание трение, когда мы замечаем, что, пренебрегая им, мы слишком удаляемся от дөйствительности, вводя искусственные ограничения или прямо оставляя в стороне практически интересные формы равновесия.

Обратимся теперь к некоторым важным случаям, когда можно пренебречь трением, благодаря чему исследование очень упрощается. есть твердое тело, опирающееся несколькими точками $P$ на горизонтальную плоскость. Если число точек опоры конечно, то мы будем называть опорным многоуюольником такой выпуклый многоугольник, имеющий все свои вершины в точках $P$, что ни одна из опор не остается вне его (метду тем как опорные точви внутри него могут существовать). Если число точек опоры задано, то могут представиться различные случаи в отношении числа сторон периметра, в зависимости от конфигурации системы точек $P$. Это видно уже в простом случае четырех опор (фиг. 32), если исключить случай, когда три из них лежат на одной прямой.

Понятие опорного многоугольника легко распространяется на общий случай, когда имеется бесконечно большое число точек опоры, причем точки опоры могут составлять части линий или даже части плоскости. Необходимо только иметь в виду, что опорный многоугольник может быть ограничен частью прямолинейными отрезками, частью дугами кривых линий. Но всегда должно удовлетворяться условие, что каждая его вершина является опорой.

Каков бы ни был опорный многоугольник, во всякой точке $P$ будет действовать некоторая реакция $\Phi$, и если мы допустим идеальное предположение об отсутствии трения, то все эти реакции будут перпендикулярны к плоскости опоры, т. е. будут вертикальны и направлены вверх, так что в своей совокупности они составят систему параллельных и одинаково направленных сил. Какова бы ни была величина отдельных реакций, система их векторно эквивалентна их результирующей (гл. I, п. 56), приложенной в некоторой точке $Q$ (центре реакций), которая является внутренней (или, по меньшей мере, не внепней) относительно всякой замкнутой выпуклой линии, содержащей все точки $P$ (гл. X, п. 11), и, в частности, относительно опорного многоугольника.
Фиг. 32.
Если твердое тело находится в равновесии, то результирующая реакций должна уравновещиваться системой активных сил, которые здесь сводятся к весам отдельных материальных точек тела $S$; система весов отдельных матерпальных точег тела эквивалентна полному весу $\boldsymbol{p}$, приложенному в центре тяжести $G$. Результирующая реакций в статических условиях должна быть прямо противоположна весу $\boldsymbol{p}$, приложенному в центре тяжести $G$; поэтому заключаем, что вертикаль, проходяцая через центр тяжести тела (линия действия $\boldsymbol{p}$ ), должна протодить и через центр $Q$ реакций, т. е. для равновесия тяэелого твердого тела на плоской горизонтальной опоре неободимо, чтоӧы проекция центра тяжести на эту плоскость была внутренней (или, по меньшей мере, не внешней) для опорного многоугольника.
15. Только что доказанное необходимое условие равновесия является также и достаточныи.

Для доказательства рассмотрим сначала случай только трех точек опоры $P_{1}, P_{2}, P_{3}$ и для определенности предположим, что они не лежат на одной прямой (фиг. 33), хотя рассуждение будет иметь силу, с надлежащими изменениями, также и в исключенном здесь случае.

Предположим, что проекция $Q$ центра тяжести $G$ твердого тела на плоскость опоры является внутренней (или, по крайней мере, не внешней) для треугольника $P_{1} P_{2} P_{3}$. Для того чтобы доказать, что в этом случае твердое тело находится в равновески, нокажем, что можно определить (и даже однозначно) три реакции, вертикальные и направленные вверх, $\boldsymbol{\Phi}_{1}, \boldsymbol{\Phi}_{2}, \boldsymbol{\Phi}_{3}$, которые, будучи приложены в точках $P_{1}, P_{2}, P_{3}$, в состолнии уравновесить вес твердого тела $\boldsymbol{p}$, приложенный в $G$, или, что одно и то же, в $Q$.

Для этого выразим прежде всего, что результирующий момент веса $\boldsymbol{p}$ и трех реакций $\boldsymbol{\Phi}_{i}(i=1,2,3$ ) относительно каждой из сторон треугольника, например относительно $P_{2} P_{3}$, равен нулю. Так как моменты реакций $\boldsymbol{\Phi}_{2}, \bar{\Phi}_{3}$ относительно прямой $P_{2} P_{3}$ равны нулю, а реакция $\Phi_{1}$ параллельна и направлена в сторону, шротивоположную веcу $\boldsymbol{p}$, то достаточно выразить, что равны по абсолютной величине моменты относительно $P_{2} P_{3}$ этих двух последних сил, т. е.
\[
\Phi_{1} h_{1}=p k_{1},
\]

где через $h_{1}, k_{1}$ обозначены расстояния точек $P_{1}$ и $Q$ от стороны $P_{2} P_{3}$ и через $\Phi_{1}$ – величина реакции $\boldsymbol{\Phi}_{1}$. Если обозначим через $\Delta$ площадь треугольника $P_{1} P_{2} P_{3}$, а через $\Delta_{1}, \Delta_{2}, \Delta_{3}$ площади треугольников $Q P_{2} P_{3}, Q P_{3} P_{1}, Q P_{1} P_{2}$, определяемых точкой $Q$, то будек иметь
\[
\frac{\Delta_{1}}{\Delta}=\frac{k_{1}}{h_{1}},
\]

после чего для величины $\Phi_{1}$ реации $\Phi_{1}$ находим выражение
\[
\Phi_{1}=\frac{\Delta_{1}}{\Delta} p
\]
$\Phi_{1}$ обращается в нуль, если $\Delta_{1}=0$, т. е. если $Q$ лежит на стоpoне $P_{2} P_{3}$.
Аналогично будем иметь
\[
\Phi_{2}=\frac{\Delta_{2}}{\Delta} p, \quad \Phi_{3}=\frac{\Delta_{3}}{\Delta} p .
\]

Эти три реакции действительно уравновешввают вес тела $\boldsymbol{p}$, так как результирующая их прямо противоположна $\boldsymbol{p}\left(\Delta_{1}+\Delta_{2}+\Delta_{3}=\Delta\right.$ ), $\mathrm{a}$, с другой стороны, достаточно принять за центр приведения одну из трех вершин треугольника, например $P_{1}$, чтобы убедиться, что и результирующий момент силы $\boldsymbol{p}$ и реакций $\boldsymbol{\Phi}_{i}$ также равен нулю (так как равны нулю три его некомпланарные составляющие: цо двум сторонам $P_{1} P_{2}$ и $P_{1} P_{3}$ в силу условий, которые мы наложили на $\Phi_{1}, \Phi_{2}, \Phi_{3}$, и по вергикали, ввиду того что все силы вертикальны).
16. Если число опор больше грех, то условие, заключающееся в том, что проекция центра тяжести на опорную плоскость не лежит вне опорного многоугольника, тоже всегда обеспечивает равновесие. В этом можно убедиться, предположив, например, все реакции равными нулю, за исключением трех, и обращаясь к предыдущему случаю; достаточно внбрать, что всегда возможно, три соответствующие опоры таким образом, чтобы проекция центра тяжести не была внешней для построенного на них треугольника.

Однапо ясно, что в этом случае (т. е. в случае числа точек опоры, большего трех) распределение реакций не может быть определено на основании чисто статических условий равновесия недеформируемых тел, и эта неопределеность будет тем большей, чем больше имеется точек опоры, Здесь, как и в случае твердого төла, имеющего больше двух закрепленных точек, лежащих на одной прямой (п. 9), для устранения неопределенности необходимо обратиться к новым данным опыта, дополняющим данные, полученные из предельных предположений соверпенной твердости (см. по этому поводу упражнение 26 , стр. 145).
17. СОСТОЯНИЕ РАвНОВЕСИЯ, ЗавИСЯЩЕе ИСКЛЮЧИТЕЛЬНО от ТРЕНИЯ в опорах. Покажем теперь на примере, что иногда, как мы уже отмечали в п. 13, равновесие опертого твердого тела обеспечивается исключительно трением в опорах, так что физически оказываютея возможными условия равновесия, которые исклюлались бы при идеальном предположении об отутствии трения.
Рассмотрим лестницу, опирающуюся на пол наклонно к нему и на вертикальную стену. Число ошор, соответствующих концам цвух стоек лестницы, равно четырем; но вследствие геометрической и материальной симметрии фигуры относительно вертнкальной плоскости, равноотстоящей от стоек, мы можем рассматривать задачу схематически, представляя себе лестницу в виде твердого тажелого стержня, расположенного в вертикальной плоскости и опирающегося в двух точках $P_{1}$ и $P_{2}$ соответственно на горизонтальную прямую $\partial x$ и на вертикальную прямую $O y$ (фиг. 34). Цопустим, что на какую-то ступеньку лестницы поднялся ұеловек. Веса лестницы и человека эквивалентны их результирующей $\boldsymbol{p}$, которую можно представить себе приложенной в цеттре тяжести системы, состоящей из лестницы и человека, или пөренесенной вдоль линии ее действия в точку $P$, в которой вертикаль, проходящая через дентр тяжести, пересекает $P_{1} P_{2}$ (I. 2). Точка $P$, очевидно, будет лежать внутри отрезка $P_{1} P_{2}$.

Для равновесия необходимо в достаточно, чтобы сила $\boldsymbol{p}$ и обе реакции $\boldsymbol{\Phi}_{1}$ и $\boldsymbol{\Phi}_{2}$, приложенные в точках $P_{1}$ и $P_{2}$, составляли уравновепенную систему или же (гл. I, п. 51) чтобы линии действия трех сил пересекались в однои точке (так как возможность нараллельности здесь исключается) и чтобы, кроме того, результирующая реакций $\boldsymbol{\Phi}_{1}$ и $\boldsymbol{\Phi}_{2}$ была прямо противоположна полному весу $\boldsymbol{p}$.

Есди мы допустим теперь, что опоры в точках $P_{1}$ и $P_{2}$ абсолютно гладкие, то обе реакции $\Phi_{1}$ и $\Phi_{2}$ будут направлены по перпендикулярам в плоскости фигуры соответственно к $O x, O y$, пересекающимся в точке $Q$, через которую не может пройти линия действия полного веса, параллельная прямой $Q P_{1}$ и пересекающая отрезок $P_{1} P_{2}$ во внутренней точке $P$; поэтому предположение об отсутствии трения приводит к парадоксальному заключению, что лестница, опирающаяся на пол и на стену, не может оставаться в равновесии. Аналогично мы увидим, что только одно трение о стену не было бы достаточным для обеспечения равновесия.

Парадокс объясняетея тем обстоятельством, что как раз трение об опоры и делает возможными те состояния равновесия, которые мы наблюдаем на каждом пагу. Для того чтобы сформулировать соответствующие условия равновесия, обратим внимание на трение в точках $P_{1}, P_{2}$ и рассмотрим внешние полости конусов трения, каждая из которых будет пересекаться плоскостью фигуры по двум образующим, симметрично расположенным относительно соответствующей нормали. В этой плоскости получаютея таким образом два улла трения, которые определят некоторый четырехугольник $A B C D$ (фиг. 35) (или треугольник, если лестница составляет с вертикалью угол, меньший угла трения о пол, или с горизонталью угол, меньший угла трения о стену). Условие, необходимое и достаточное для равновесия, заключается в том, чтобы полный вес мог быть уравновепен двуия реаццими, пересекающимися в одной из точек его линии действия (вертикаль через центр тяжести) и лежащими внутри соответствующих углов трения, или, другими словами, условие, необходимое и достаточное для равновесия лестничы, состоит в том, чтобъ вертикаль, проходящая через чентр тяжести, имела, по крайней мере, одну общую точку с четырехугольником (и.ин с треугольником), общим для обоих углов трения.

Если в случае четырехугольннка эта вертикаль проходит через вершину $C$, более близкую к оси $y$, то обе реакци будут определены однозначно, поскольку они должны иметь линиями действия $P_{1} C$ и $P_{2} C$, и их результирующая должна быть прямо противоположной полному весу.

Во всех других случаях равновесия вертикаль, проходящая через центр тяжести, имеет с четырехугольником (или с треугольником) общим целый отрезок, на котором точку пересечения линий действия двух реакций можно выбрать произвольно; поэтому последние не могут быть определены однозначно (ср. предыдущий пункт).
18. На практике интересно знать, при каких условиях можно подняться до самой вершины лестницы, не опасаясь скольжения, или, иначе, при каком наибольшем наклоне лестница остается в равновесии при любом положении на ней человека.
Предположив для простоты, что пол и стена имеют одинаковые коэффициенты трения, легко понять, что лестница, наверное, останется в равновесии, если она образует с вертикалью угал $\alpha$, меньший угла трения $\varphi(f=\operatorname{tg} \varphi)$. Действительно, в таком случае общая плоская область для обокх углов трения есть такой треугольник $P_{2} A B$ (фиг. 36 ), что вертикаль, проведенная через любую точку отрезка $P_{1} P_{2}$, будет иметь с этим треугольником общий отрезок (или, по крайней мере, точку, если речь идет о вертикали точки $P_{2}$ ).

Если, далее, угол $\alpha$ лестницы с вертикалью больше угла $\varphi$ (см. фиг. 35), то точка из общей области двух углов трения, наиболее близкая к стене, будет точкой пересечения $C$ верхней стороны угла трения о стену с левой стороной угла трения о пол, так что для равновесия необходимо и достаточно, чтобы вертикаль, проходящая через центр тяжести, не лежала между точкой $C$ и стеной. Если теперь примем в качестве положительных полуоси $O x$, $O y$ и обозначим через $l$ и $m$ длину и массу лестниды и через $m_{1}$ и $x_{1}$ массу и абсциссу человека, то будем иметь прежде всего
\[
O P_{1}=l \sin \alpha, \quad O P_{2}=l \cos \alpha,
\]

и для абсциссы центра тяжести системы, состоящей из лестницы и человека, получим выражение
\[
\frac{\frac{1}{2} m l \sin \alpha+m_{1} x_{1}}{m+m_{1}},
\]

тогда как точка $C$, как пересечение прямых $P_{2} B, P_{1} D$, определяемых соответственно уравнениями
\[
y-l \cos \alpha=f x, \quad y=-\frac{x-l \sin \alpha}{f},
\]

будет иметь абсциссой
\[
l \frac{\sin \alpha-f \cos \alpha}{1+f^{2}}=l \cos \varphi \sin (\alpha-\varphi) .
\]

Поэтому условие равновесия выражается соотношением
\[
\frac{\frac{1}{2} m l \sin \alpha+m_{1} x_{1}}{m+m_{1}} \geqslant l \cos \varphi \sin (\alpha-\varphi) .
\]

Если мы хотим, чтобы равновесие существовало, каково бы ни было положение человека на лестнице, то необходимо, чтобы предыдущее соотношение удовлетворялось пиқ $x_{1}=0$; тогда оно будет удовлетворяться и для всякого другого значения (положительного) $x_{1}$. Таким образом, должно удовлетворяться соотношение
\[
\frac{m \sin \alpha}{2\left(m+m_{1}\right)} \geqslant \cos \varphi \sin (\alpha-\varphi) .
\]

Разделив обе части его на $1 / 2 \cos \alpha$ и выделив член $\sin 2 \varphi$, найдем
\[
\left\{2 \cos ^{2} \varphi-\frac{m}{m+n_{1}}\right\} \operatorname{tg} \alpha \leqslant \sin 2 \varphi .
\]

Коәффициент при $\operatorname{tg} \alpha$ несомненно положителен, поскольку при $\varphi<\pi / 4$ имеем неравенство $2 \cos ^{2} \varphi>1$, тогда как вычитаемое $m /\left(m+m_{1}\right)$ меньше единицы.

Поэтому обе части неравенства можно разделить на коэффициент при $\operatorname{tg} \alpha$, решая его относительно $\operatorname{tg} \alpha$, а это дает для $\alpha$ искомое неравенство
\[
\operatorname{tg} \alpha \leqslant \frac{\sin 2 \varphi}{2 \cos ^{2} \varphi-\frac{m}{m+m_{1}}} .
\]