4. Как в случаях, разобранных в предыдущих главах, так и в аналитической статике чаще всего приходится рассматривать связи, вид которых, как бы ни был он сложен, не изменяется со временем, что, впрочем, отвечает самой природе статических задач, в которых речь идет об определении сил, способных удерживать тела в покое.

По этой причине, а также и ,ля того, чтобы следовать историческому ходу развития статики, мы изложим здесь приножение принципа виртуальных работ к аналитической статике, обращаясь к материальным системам, связи которых не зависят от времени; следует, однако, заметить, что выводы, к которым мы таким образом придем, останутся в силе во всех случаях, если только речь идет о системах без трения.

Из предположения о независлмости связей от времени можно легко вывести два следствия, относящихся к действительным перемещениям спстемы:
а) Действительное перемещение движущейся материальной системы со связями, не зависячими от времени, за всяжий бесконечно малый промежуток времени dt всегда можно рассматривать как виртуальное перемещение.
б) Сумма работ реапций на всяком действительном (бесконечно малом) перемещении системы равна нулю.

Следствие „а\” известно уже кз кинематики (ср. гл. VI, п. 14), так что остается только доказать следствие \”б“. Далее, если действительное перемещение (которое на основании следетвия „а“ можно рассматривать как виртуальное) является обратимым, то утверждение „б\” входит в принцип виртуальных работ.
1) Первые указания на принцип виртуальных работ можно встретнть уже у Аристотеля. Столетняя работа над этим принципом, проводимая на наиболеө замечательных конкретных задачах статики такими учеными, как Стевин, Галилей, Декарт, Иван Бернулли, завершилась в синтезе Лагранжа, поставившим во главу всей статики сиетем, лишенных трения, свой знаменитый принии вир туальны скоростей, который по существу выражает, только лишь для случая равновесия, свойство реацций, высказанное втексте, и совпадает, даже и по форме, с так называемым общим соотношением статики (см. §2). Допущение, сделанное в тексте, что указанное там свойство реакций имеет место во всяком случае (а не только при равновесии), оправдывается другими постулатами механики, как мы увидим в гл. V, т. II. Дыя ознакомления е историческим поисхождением принципа виртуальных работ рекомендуем обратиться к лекциям G. Collonnetti, I fondamenti della Statica, Турин, 1927.

Если действительное перемещение, рассматриваемое как виртуальное, оказывается необратимым, то следствие \”б\” можно доказать индуктивным способом, обращаясь, как в п. 3 , к нешосредственному ,анализу типичных слүчаев и допуская непрерьвность реакций, которая, если предположить непрерывными прямо приложенные силы, что имеет место в большей части стучаев, равносильна допущению непрерывности ускорений точек движущейся системы (ср. гл. II, п. 4), как это следует из основного уравнения $m \boldsymbol{a}=\boldsymbol{F}+\boldsymbol{R}$.

Действительно, обратимся к случаю одной материальной точки, вынужденной оставаться на некоторой поверхности $\sigma$ (не изменяющейся с течением времени). Действительное перемещение надо считать (как виртуальное) необратимым только тогда, когда точка отрывается от поверхности в облєсть, в которую связь не препятствует ей двигаться. Если точка $P$ оставляет поверхность $\sigma$ в момент $t_{0}$, то в моменты $t$, непосредственно следующие за $t_{0}$, реакция, очевидно, будет равна нулю. Так как это будет иметь место при каком угодно $t>t_{0}$, как бы ни был момент $t$ близок к $t_{0}$, то мы заключаем, при допущении непрерывности реакции $\boldsymbol{R}$, что она равна нулю, также и в момент $t_{0}$ начала перемещения, так что работа реакции для рассматриваемого перемещения, конечно, будет равна нулю.

К подобному же выводу мы придем, очевидно, и в случае двух материальных точек $P P^{\prime}$, связанных гибкой и нерастяжимой нитью; при такой связи необратимым будег всякое действительное перемещение, при котором две точки переходят из одной конфигурации с натянутой нитью в другую, бесконечно близкую конфигурацию с ослабленной нитью. Применяя подобные рассуждения к различным типам систем со связями, которые могут встретиться в природе, мы придем, как это уже было при рассмотрении принципа виртуальных работ, к следствию „б“.
5. Рассмотрим теперь произвольную систему материальных точек $P_{i}(i=1,2, \ldots, N)$, подчиненных связям без трения и не зависящим от времени. Будем искать условия равновесия, т. е. условия, необходимые и достаточные, для того чтобы силы $\boldsymbol{F}_{i}$, прямо приложенные к точкам $P_{i}$ системы, были в состоянии удерживать систему в поюое. Если для всякой точки $P_{i}$ вместо связи мы введем соответствующую реакцию $\boldsymbol{R}_{i}$, то отдельные точки системы можно рассматривать как свободные материальные точки, каждая из которых находится под действием силы $\boldsymbol{F}_{i}+\boldsymbol{R}_{i}$, так что всякий раз, когда система находится в равновесии, мы должны будем иметь (гл. VII, II. 11)
\[
\boldsymbol{F}_{i}=-\boldsymbol{R}_{i} \quad(i=1,2, \ldots, N) ;
\]

сумма работ $\delta L=\sum_{i=1}^{N} \boldsymbol{F}_{i} \cdot \delta P_{i}$ активных сил $\boldsymbol{F}_{i}$ на каком угодно виртуальном перемещении $\delta P_{i}$ спстемы будет определяться

\[
\delta L=-\sum_{i=1}^{N} \boldsymbol{R}_{i} \cdot \delta P_{i}=-\delta \Lambda,
\]

где через $\delta \Lambda$, как и в п. 2 , обозначена сумма элементарных работ реакций.

Отсюда на основании принципа виртуальных работ в сго общей формулировке (п. 2) заключаем, что для равновесия системы необходимо, чтобы активные силы на всех виртуальных перемещениях удовлетворяли соотношению
\[
\delta L \leqslant 0 .
\]
6. Iредполагая опять, как в п. 5, что на систему наложены связи без трения, не зависящие (т времени, мы можем утверждать, что условие (1) является также и достаточным для равновесия системы, т. е. если для всякого виртуального перемещения оправдываетея соотношение (1) и система в данный момент находится в равновесии, то она будет оставаться в равновесии до тех пор, пока будет удовлетворяться это соотношение.

Достаточно показать, что если система, предполагаемая вначале покоящейся, начала бы двигаться под действием данной системы сил, то существовало бы, по крайней мере, одно ее виртуальное перемещение, на котором, вопреки соотношению (1), сумма $\delta L$ элементарных работ активных сил оказалась бы положительной. Так как в силу замечания „а“ п. 4 всякое действительное перемещение системы можно рассматривать как виртуальное, то достаточно также показать, что сумиа элементарных работ активных сил будет положительной на действительном перемещении, которое испытывает система в первый элемент времени при переходе ее из состояния покоя в состояние движения.

Для этой цели вспомним прежде всего, что если вводятся реакции связей $\boldsymbol{R}_{i}$, то точки $P_{i}$ системы веду’ себя так, как свободные материальные точки, на каждую из которых действует сила $\boldsymbol{F}_{i}+\boldsymbol{R}_{i}$. Поэтому всякая точка $P_{i}$, которая начинает действительно двигаться из состояния покоя (по предшоложению, существует, по меньшей мере, одна такая точка), испытывает в первый элемент времени $d t$ перемещение $\delta P_{i}$, которое, в силу загона возникающего движения (гл. VII, п. 12), будет иметь направление и сторону соответствующей силы $\boldsymbol{F}_{i}+\boldsymbol{R}_{i}$, так что виртуальная работа $\left(\boldsymbol{F}_{i}+\boldsymbol{R}_{i}\right) \cdot \delta P_{i}$, совершенная этой силой, будет существенно положительной ${ }^{1}$ ).
1) Полөзно добавить некоторые разъяснения о бесконечно малых перемещениях $\delta P_{i}$, которые мы рассматрнваем в тексте. Воспользовавпись тем обетоятөльством, что речь идет о системах со связями, не зависящими от времени, мы приняли за виртуальное перемещение $\delta P_{i}$ действительное элементарное перемещение, которое имеет место за элемент времени $d t$, cле-

Складывая выражения для элементарных работ, относящиеся к точкам $P_{i}$, которые действительно движутся, и обозначая, как обычно, через $\delta L$ и $\delta \Lambda$ суммы элементарных работ активных сил и, соответственно, реакций, будем иметь
\[
\delta L+\delta \Lambda>0 .
\]

Так как на основании замечания „б“ п. $4 \delta \Lambda=0$, то предыдущее неравенство принимает вид
\[
\delta L>0,
\]

что противоречит условию (1). Таким образом, доказано, что материальная система, которая находится вначале в покее и подвергается действию активных сил, удовлетворяющих на всяком виртуальном перемещении условию (1), не может придти в движение.
7. Объединяя в общей формулировке оба предложения, одно ойратное другому, установленные в двух последних пунктах при добавочном предположении „б“ п. 4, т. е. допуская непрерывность реаций, мы придем к следующей основной теореме.

Условие, необходимое и достаточное для равновесия материальной системь со связями без трения ( $и$ не зависящими от времени), состоит в том, что сумиа элементарных работ актив. ных сил на всяком виртуальном перемещении должна быть равна нулю или меньше нуля.

Это заключение, как мы видим, не зависит от способов осуществления связей, так как в нем идет речь о виртуальных перемещениях, которые зависят от геометрического и кинематического эффектов связей, но не от тех устройств, при помощи которых осуществляются связи. Это делает более ясными рассуждения п. 12 гл. IX.

дующий за любым начальным моментом $t$; т. е. мы положили $\delta P_{i}=$ $=P_{i}(t+d t)-P_{i}(t)=\frac{1}{2} a_{i} d t^{2}+$ бесконечно малые величины высшего порядка, где третья часть равенства может быть получена на основании рассуждений пп. 62 и 67 гл. I, если применить разложение в ряд Тэйлора к точке $P_{i}(t+d t)$ и принять во внимание, что $d P_{i} / d t=v_{i}=0$. Отсюда ясно, что различные бP $P_{i}$ будут иметь порядок $d t^{2}$. Если $d t$ рассматриваетея как главная бесконечно малая величина, то каждой величиной бр $P_{i}$ можно было бы пренебречь как бесконечно малой порядка выше первого и доказательство было бы лишь кажущимся. Но ничто не мешает принять саму величину $d t^{2}$ за главную бесконечно малую, или, сохраняя $d t$ в качестве главной бесконечно малой, за виртуальные перемещения $\delta P_{i}$ принять не самые разности $P_{i}(t+d t)-P_{i}(t)$, но их отнопения к $d t$. В обоих случаях $\delta P_{i}$, не равные нулю, будут бесконечно малыми одного и того же наименьшего порядка (расеуждение ведется здесь в предположении, что желательно исключить случай, когда не все $a_{i}$ являются нулями).

8. Заметим, что в этой именно форме и был высказан с самого начала принцип виртуальных работ (или, как одно время называли ero, принцип „виртуальных скоростей“).

Здесь уместно остановиться на интуитивном доказательстве принциа виртуальных работ, которое дал Јагранж своей Аналитической механике.

Обратимся $ю$ обычной системе из $N$ точек $P_{i}$, подчиненных связям без трения, не зависящим от времени, и находящихся под действием заданных прямо приложенных сил $\boldsymbol{F}_{i}$; шредположим сначала, что величины $F_{i}$ этих сил соизмеримы между собой, т. е. могут быть выражены в виде
\[
F_{i}=n_{1} \tau, \quad F_{2}=n_{2} \tau, \ldots, \quad F_{N}=n_{N} \tau,
\]

где $n_{1}, n_{2}, \ldots, n_{N}$ обозначают $N$ известных целых чисел. Если величины сил $F_{i}$ несоизмеримы, то всегда можно выбрать их достаточно малыми для того, чтобы сни могли быть представлены в виде (2) с каким-нибудь заданным приближением.
Предположим теперь, что с каждой точкой $P_{i}$ (фиг. 69) связано єесьма малое, абсолютно гладкое колечко и что, коме того, в пространстве закреплены $N$ таких же юолечек $Q_{i}$, соответственно на лиғии действия каждой отдельной силы $\boldsymbol{F}_{i}$ и с той стороны, в которую действует эта сила *).
Привязав к колечку $Q_{i}$ конец гибкой и нерастяжимой нити, заставим эту нить пройти попеременно через колечки $P_{1}$ и $Q_{1}$ $n_{1}$ раз, так что между $P_{1}$ и $Q_{1}$ бүдут натянуты $2 n_{1}$ кусков нити. После этого заставим свободный конед нити, который выходит в последний раз из $Q_{1}$, пройти попеременно $n_{2}$ раз через $P_{2}$ и $Q_{2}$; так будем продолжать до тех пор, пока не бұдем иметь $2 n_{N}$ кусков нити, натянутых между колечками $P_{N}$ и $Q_{N}$, и свободный конец, выходящий из $Q_{N}$. Предполагая нить натянутой по всей ее длине, приложим к свободному ее концу силу, равную $\tau / 2$. Так как нить передает эту силу вдоль всей своей длины нетзменной, то любая точка $P_{i}$, поскольку между $P_{i}$ и $Q_{i}$ натянуты $2 n_{i}$ кусков єити, подвергается
*) Јагранж в своем доказательстве пользуется лля рассматриваехой цели полиспастами, составленными из отдельных блоков. См. Лагранж Ж. Л., Аңалитическая механика, т. I, стр. 42-47, 1950. (Прим. ред.)

действию цолного натяжения величиной $2 n_{i} \cdot \tau / 2=F_{i}$ в направлении ориентированного отрезка $P_{i} Q_{i}$ и в сторону от $P_{i}$ к $Q_{i}$, т. е. в ту же сторону, в которую действует сила $\boldsymbol{F}_{i}$, так что только одна сила $\tau / 2$, приложенная к свободному концу нити, определяет в каждой точке $P_{i}$ системы, благодаря описанному устройству, силу, тождественную заданной силе $\boldsymbol{F}_{i}$.

Тешерь заставим точки системы совершить виртуальные перемещения $\delta P_{i}$; если $\delta l_{i}$ есть проекция вектора $\delta P_{i}$ на ориентированное направление вектора $\overrightarrow{P_{i} Q_{i}}$, то очевидно, что $\delta I_{i}$ с точностью до бесконечно малых высшего порядка дает вариацию расстояния между закрепленным колечком $Q_{i}$ и подвижным колечком $P_{i}$ : именно, мы будем иметь сближение, если $\delta l_{i}>0$, и удаление, если $\delta l_{i}<0$. Другияи словами, мы можем сказать, что каждый кусок нитн, натянутой между $P_{i}$ п $Q_{i}$, укорачивается в алееораииеском смысле на $\delta l_{i}$, так что полное укорочение (алгебраическое), которое на рассматриваемом виртуальном перемещении системы испытывает полная длина нити, заплюченной между закрепленным началом в $Q_{1}$ и концом $Q_{N}$ последнего куска, натянутого между $P_{N}$ и $Q_{N}$, определяется выражением
\[
2 n_{1} \delta l_{1}+2 n_{2} \delta l_{2}+\ldots+2 n_{N} \delta l_{N} .
\]

Можно также сказать, что это выражение, взнтое по абсодютной величине, измеряет кусок нити, который при рассматриваемом виртуальном перемещении системы выходит из кольца $Q_{N}$ или соответственно входит туда, в зависимости от того, положительно или отрицательно это выражение.

Допустим, далее, что система под действием активных сил $\boldsymbol{F}_{i}$ находится в равновесии. Предположив, что силы $\boldsymbol{F}_{i}$ заменены описанным выше устройством, мы увидим, что точки $P_{i}$, вначале находящиеся в покое, останутся в покое также и тогда, когда к свободному концу нити будет приложена сила $\tau / 2$. Это означает, что связи не допускают никаюих перемещений точек $P_{i}$, при которых нить, подчиняясь действию силы $\tau / 2$, выходила бы, хотя бы незначительно, из последнего колечка $Q_{N}$; или, другими словӓм, если имеется равновесие, то для всякого виртуального перемещения системы должно быть
\[
2 n_{1} \delta l_{1}+2 n_{2} \delta l_{2}+\ldots+2 n_{N} \delta l_{N} \leqslant 0 .
\]

Обратно, легко убедиться, что если на всяком виртуальном перемещении удовлетворяется соотношение (3), то система будет нахоциться в равновесии под действием силы $\tau / 2$ или, что одно и то же, под действием заданных сил $F_{i}$. Действительно, если система, предполагаемая вначале находящейся в покое, начала бы под действием силы натяжения $\tau / 2$ двитаться, то, по крайней мере, в первый элемент времени нить следовала бы по силе $\tau / 2$, выходя на некоторый кусок из кольда $Q_{N}$; поэтому существовало бы перемещение, совместимое со связями (действительное перемещение), для которого осуществдялось бы неравенство
\[
2 n_{1} \delta l_{1}+2 n_{2} \delta l_{2}+\ldots+2 n_{N} \delta l_{N}>0
\]

вопреки предгожожению (3).
Таким образом, необходимое п достаточное условие для равновесия выражается соотношением (3), которое, если обе части его умножим на $\tau / 2$ и примем во внимание равенства (2), преобразуетея в соотношение
\[
F_{1} \delta l_{1}+F_{2} \delta l_{2}+\ldots+F_{N} \delta l_{N} \leqslant 0,
\]
т. е. как раз в соотношение (1) из п. 5.
9. В піг. 4-7 было доказано, что для систем со связями без трения и не зависящими от времени условие
\[
\delta L \leqslant 0
\]

необходимо и достаточно для равновесия. Но, как мы уже указывали в самом начале, можно доказать, что оно является необходимым и достаточным условием равновесия также и для систем со связями без трения и каю угодно изменяющимися во времени.

Соотношение (1), взятое в этом общем своем значении, обычно называется общим соотношением статики.

Если система не допускает необратимых виртуальных перемещений, что будет иметь место, если система не имеет односторонних связей, то соотношение (1) вводится к равенству
\[
\delta L=0
\]

и называется ооющи уравнением статики.
10. Из соотношения (1) можно вывести два следствия.
1) Если к системе активных сил $\Sigma$, способных удерживать данную матернальную систему $S$ в равновесии, присоединяется другая система сил $\Sigma^{\prime}$, также способная удерживать $S$ в равновесии, то результирующая система сил $\Sigma+\Sigma^{\prime}$ (т. е. система, составленная из сил систем $\Sigma$ и $\Sigma^{\prime}$ ) также удовлетворяет условиям равновесия.
2) Если материальная система $S_{1}$ отличается от системы $S$ наличием некоторых добавочных связей и если некоторая система сил $\Sigma$ удерживает $S$ в равновесии, то тем более она будет ұдерживать в равновесии систему $S_{1}$. Действнтельно, виртуальные перемещения системы $S_{1}$ все содержатся среди виртуальных перемещений системы $S$; поэтому, если соотношение (1) удовлетворяется для всех виртуальных перемещений системы $S$, то тем более оно будет удовлетворяться для всех виртуальных перемещений системы $S_{1}$ (но не обратно). Если далее все связи двусторонние (или, в более общем случае, когда рассматриваемая конфигурация системы не является предельной), то из соотношения (1′) выводим:

Если система активных сил, приложенных к материальной системе, находится в равновесии, то в равновесии будет находиться и система, составленная из тех же самых сил, но обращенных в противоположные стороны.