15. Рассмотрим произвольную материальную систему $S$ и предположим, что активные силы, действующие на нее, сводятся к весам отдельных ее элементов.

Если предположим, что ось $z$ вертикальна и направлена вниз, и обозначим через $m_{i}$ массу произвольного элемента $P_{i}$, то сила $\boldsymbol{F}_{i}$, приложенная к $P_{i}$, будет иметь проекциями
\[
0,0 ; m_{i} g \text {. }
\]

Обозначим через $\delta x_{i}, \delta y_{i}, \delta z_{i}$ проекции перемещения $\delta P_{i}$, испытываемого точкой $P_{i}$ при любом виртуальном перемещении системы.

Виртуальная работа активных сил, очевидно, сводитея к выражению
\[
\delta L=\sum_{i} \boldsymbol{F}_{i} \cdot \delta P_{i}=g \sum_{i} m_{i} \delta z_{i},
\]

где сумма распространяется на всә точки $P_{i}$, составляющие систему.
Введем координату центра тяжести $G$ системы
\[
z_{0}=\frac{\sum_{i} m_{i} z_{i}}{m},
\]

где $m$ есть масса системы.
1) Эванджелиета Торричелли родился в Фаенце в 1608 г., умер в Фиренце в 1647 г. После изучения в Романье гуманитарных и естественных наук отправилея в Рим для усовершенствования под руководством Кастелли, ученика $\cdot$ друга Галилея. В 1641 г. он был приглашен Кастелли в Арчетри к өго учителю, уже старому, слепому и больному, где помогал ему подготовлять $\mathrm{k}$ печати еще не опубликованные сочинения. Спустя три месяца Галилей умер, и Торричелли стал его наследником по должности математика герцога тосканского. Торричелли был крупным геометром, но последующим поколениям известен главным образом своими открытиями в механике, среди которых нужно назвать принцип, приведенный в тексте, открытие атмосферного давления, изобретение барометра и формулу истечения тяжелой жидкости из сосуда через отверетие. Эта формула содержится в мемуаре \”De motu gravium naturaliter descendentium \”.

Если $z_{i}$ испытывают приращення $\delta z_{i}$, то $z_{0}$ получит приращение (вертикальное перемещение центра тяжести), определяемое равенством
\[
\delta z_{0}=\frac{\sum_{i} m_{i} \delta z_{i}}{m} .
\]

Выражение виртуальной работы может быть поэтому написано в виде
\[
\delta L=n g \delta z_{0},
\]

так что уеловие равновесия $\delta L \leqslant 0$ сводится к соотношению
\[
\delta z_{0} \leqslant 0,
\]

где равенство имеет силу для обратимых перемещений.
Поэтому для равновесия требуется, чтобы связи допускали для центра тяжести только такие перемещения, для которых будет иметь место соотношение $\delta z_{0} \leqslant 0$, или, что одно и то же, для которых не может оказаться $\delta z_{0}>0$. Мы пришли, таким образом, к следующему результату (принцип Торриче.ли).

Для равновесия тяжелой системы необходимо и достаточ’, чтобъ ее чентр тяжести не опускался ни при каком виртуальном перемещении системы (т. е. чтобы не было положительных приращений координаты $z_{0}$ ).
16. Полезно обратить внимание на то обстоятельство, что высказанный здесь принцип относится только к бесконечно малым виртуальным перемещениям. ІІоэтому из него нельзя заключить, что в положении равновесия высота центра тяжести должна быть в собственном смысле минимальной (т. е. координата $z_{0}$ должна быть максимальной). Рассмотрим этот вопрос точнее, предположив для определенности, что все связи двусторонние. Условие равновесия будет тогда иметь вид $\delta z_{0}=0$.

С другой стороны, как известно из анализа, для того чтобы функция имела макскмум или минимум, требуется не только, чтобы обращалея в нуль ее первый дифференцил (для системы значений, к которой относится максимум или минимум), но чтобы, кроме того, удовлетворялось дополнительное условие, относящееся ко второму дифференциалу. Между тем в случае равновесия тяжелой системы усдовие обращения в нуль первого дифференциала функции $z_{0}\left(\delta z_{0}=0\right)$ удовлетворяется, но ничего не известно о втором дифференциале.

Поэтому равновесие может существовать и без того, чтобы высота центра тяжести была действительно минимумом; в частности она может оказаться максимумом.

Это можно сделать очевидным, например, в случае тяжелой точки, опирающейся на поверхность без трения: из двух положений равновесия $P, Q$, указанных на фиг. 70, первое соответствует, очевидно, максимуму, второе – минимуму высоты дентра тяжести.
17. Заметим, что более ограничивающее условие, заключающееся в том, что юоордината $z_{0}$ должна иметь действительный минимум, т. е. что центр тяжести должен находиться в самом нижнем положении, совместимом со связями, обеспечивает одновременно существование равновесия и его устойчивость. В этом случае, действительно, можно утверждать, что при всяком достаточно малом перемещении системы, совместимом со связями, центр тяжести поднимается. Отсюда следует, что при возвращении к положению равновесия активные силы (которые здесь сводятея к весам отдельных элементов) совершают положительную полную работу.
$У_{\text {словие устойчивости в }}$ в статическом смысле, определенное в п. 18 гл. IX, поэтому удовлетворяется.