1. Представим себе, что единица длины выбрана произвольно и мы условились принимать за единицу масеы массу куба дестиллированной воды (при $4^{\circ} \mathrm{C}$ и т. д.) с ребром, равным единице длины. Как надо выбрать единицу времени для того, чтобы постоянная всемирного тяготения была равна единице?
Omвет. Заметив, что в единицах CGS $f=6,7 \cdot 10^{-8}$ можно предетавить в виде $\frac{1}{3862^{2}}$, мы тотчас же найдем, что искомая единица врөмени равна 3862 сек., т. е. немногим больше одного часа (натуральжий час, предложенный французским физиком Липпманном).
2. Потенциал однородного отрезка $A B$ в какой-нибудь точке $P$ (внешней для отрезка) можно написать в виде
\[
\vee \ln \frac{P A+N A}{P B+N B},
\]
где $
u$ означает (линейную) плотность и $N$-проекцию точки $P$ на $A B$. Іредполагая, что отрезок направлен от $B$ к $A$, и учитывая надлежащие знаки $N A$ и $N B$, проверить, что значение потенциала не изменится, если мы обменяем местами $A$ и $B$ (и обратим сообразно с этим направление отрезка).
3. Показать, что притяжение $a$, дөйствующее со стороны дуги окружности на ее центр, тождественно прнтяжению материальной точки, помещенной в средней точке дуги. Масса материальной точки должна относиться к массе дуги так же, как длина дуги к длине соответствующей хордн. Следовательно, имеем формулу
\[
a=\frac{2 f \times \sin \alpha}{R},
\]
где: v-линөйная плотность дуги;
$2 \alpha$ – центральный угол (в радианах), соответствующий дуге;
$R$ – радиус дуги.
Для полуокружности, в частности, будем иметь
\[
a=\frac{2 f \vee}{R} .
\]
4. При значениях букв, указанных в упражнении 2, рассмотреть окружность с центром в $P$ и радиусом $P N$ и дугу $C$ (содержащую точку $N$ ), отсөкаемую на этой окружности отрезками $P A$ и $P \mathscr{B}$. Притяжение отрезка $A B$ в точке $P$ тождественно притяжению дуги $C$ (предполагаемой также однородной и с плотностыю $у$ как у отрезка). Отсюда следует (предыдущее упражнение), что притяжение в точке $P$ бесконечной прямой (которая получается в виде предельного случая, если представим себе, что точки $A$ и $B$ удаляются в бесконечность в противоположные стороны) направлено по $I^{\prime} N$ и равно $2 f \vee P N$. См., например, T a rleton, An introduction to the mathematical theory of attraction, т. I (Лондон, 1899), етр. 7.
5. Показать, что притяжение (чисто осевое) одиородным круговым днском точки на его оси (перпендикулярной к плоскости диска и проведенной через центр) выражается в виде
\[
a=2 \pi f \vee\left\{1-\frac{z}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}}\right\},
\]
где: $R$ – радиус диска;
$
u$ – плотность (поверхностная);
$z$-расстояние от притягиваемой точки до диска (ср. п. 27).
6. Из предыдущего упражнения следует, что притяжение однородного кругового диска в точках оси, очень близких к самому диску (величиной $z$ можно пренебречь по сравнөнию с $R$ ), равно $2 \pi f$.
Отсюда независимо от п. 27 можно получить притяжение плоской площади $\sigma$, имеющей какую угодно фориу и плотность.
Рассмотрим точку $P$, лежащую вне плоскости площади $\sigma$ и очөвь близкую к б. Пусть $O$ есть ее пғоекция (лежащая внутри площади). Пусть, далее, $Q$ есть какая-нибудь точка площади, отличнал ом $O$, и $d \sigma$ – окружающий ее элемент. Притяжение әлементом $d \sigma$ точки $P$ имеет линией действия пряму $10 \mathrm{PQ}$, которая составляет с плоскостью площади с тем меньший угол, чем ближе точка $P$ к плоскости. IIроекция элементарного притяжения иа перпендикуляр х плоскости стремится поэтому к нулю, когда $P$ приближается к $O$. Это заключение, верное в предположении, что точка $Q$ отлична от $O$, теряет силу, когда $Q$ совпадает с $O$, т. е. когда рассматривается әлемент $d \sigma_{0}$ притягивающей плоскости, составляющий нөпосредственную окрестность точки 0 .
Мы доказали таким образом, что предельное значение $a_{0}$ (при $P$, стремящемся к.O) нормальной составляющей притяжения всей площади $о$, действующего на $P$, равно притяжению элемента $d \sigma_{
u}$.
Но притяжение элементом $d \sigma_{0}$, очевидно, будет то же самое, хаковы би ни были друие элементы, составллюиие влесте с д $\sigma_{0}$ площадь $\sigma$.
При частном предположении, когда $d \sigma$ представляет собой центральный элемент однородного кругового диска, мы уже знаем значение $a_{0}$. В этом случае, обозначив через $
u_{0}$ значение плотности в точкө $O$, будем иметь
\[
a_{0}=2 \pi f \vee_{0} .
\]
То эе самое соотноиение будвт иметь место и во всяком другом случае.
Установив это, найти результирующую притяжений, действующих между двумя однородными плоскимл пластинками, равными между собой и расположенными в параллельных, очень близких мелду собой плоскостях таким образом, что одна является нормальной проекцией другой.
Oтеет. Результирующая будет нормальна к плоскостям пластинок и равна $2 \pi f \vee^{2} \sigma$ (о- площадь каждой из пластинок, v – плотность).
7. Вычислить притяжение (чисто осевое) со стороны однородного кругового цилиндра ( $\mu$ – плотность, $R$ – радиуе, $h$ – пысота) в точке на его оси.
(Представить себе цилиндр разделенным на элементарные слои, уюодобляемыө днскам, посредством плоскостей, параллельных основаниям, и воспользоваться формулой упражнәния 5.)
отеет. Для внешней точки, отстоящей на $s$ от ближайшего основания:
\[
\begin{aligned}
A & =2 \pi f \mu \cdot \int_{s}^{s+h}\left\{1-\frac{z}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}}\right\} d z= \\
& =2 \pi f \mu\left\{h+\sqrt{R^{2}+s^{2}}-\sqrt{R^{2}+(s+h)^{2}}\right\} .
\end{aligned}
\]
Для определения притяжения во внутренней точке следует прежде всего обратиться к п. 12 и рассуждать, как в п. 23.
Обозначив через $s$ расстояние от ближайшего основания, найдем, считая заположительные притяжения, направленные к более удаленному основанию,
\[
\begin{aligned}
A & =2 \pi f \mu\left[\int_{0}^{h-s}\left\{1-\frac{z}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}}\right\} d z-\int_{0}^{s}\left\{1-\frac{z}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}}\right\} d z\right]= \\
& =2 \pi f \mu(h-2 s)\left\{1-\frac{h}{\sqrt{R^{2}+(h-s)^{2}+\sqrt{R^{2}+s^{2}}}}\right\} .
\end{aligned}
\]
Для одного пз ґвух центров оснований (полюсов) имеем (безразлично из формули (1) или (2), полагая в них $s=0$ )
\[
A=2 \pi f \mu \cdot\left\{h+\sqrt{R^{2}+h^{2}}\right\} .
\]
8. Обозначим через $A^{\prime}$ притяжение, с которым заданная однородная масса, имеющая форму сферы (полной), действует на какую-нибудь точку tе поверхности, через А притяжение той же самой массой, распределенное по объему цилиндра, на его полюс [ср. предыдущие формулы (3)].
IIоказать, что
\[
\frac{A}{A^{\prime}}=\frac{\sqrt[3]{36 \alpha^{2}}}{1+\alpha+\sqrt{1+\alpha^{2}}},
\]
riе $\alpha$ обозначает отнонение $l / R$ высоты цилиндра к его радиусу.
Іоказать еще, что:
1) отнопение $A / A^{\prime}$ стремится к нулю как для цилиндра с очень малой вшсотой, так и для цилиндра очень удлиненной формы (т. е. при $\alpha$, стремятцемся к нулю или к $\infty$ );
2) отношение $A / A^{\prime}$ допускает один (и только один) максимум, соответствующий значению $\alpha=1,6404$ (являющемуея корнем уравнения $\alpha^{2}-\frac{9}{4} \alpha+1=0$, больпим единицы);
3) в условиях максимума притяжение $A$ цилиндром очень немного превосходит (меньше чем на $1 \%$ ) притяжение $A^{\prime}$ сферой;
4) имеются два цилиндра, для которых $A$ равно $A^{\prime}$; в одном из них лиаметр в полтора раза больше высоты.
См., например, Tis ser and, Tráité de mécanique céleste, т. 11, Парнж, 1891, стр. 72, где имеется полное доказательство.
9. Вычислить притяжение, вызьваемое однородным телом вращения (или частью такого тела, заключенной между двумя плоскостями, перпендикулярными к оси) в какой-нибудь точке на оси тела.
Предположим, для определенности, что притягиваемая точка $P$ являетея ннешней для тела, и условимся отсчитывать координаты $z$ от точки $P$, выбрав положительное направление на оси $z$ в сторону притягивающего rera.
Пусть $z=s$ и $z=s+h$ будут крайними параллелями и $x=\varphi(z)$ уравнением меридианной кривой.
Достаточно представить себе тело разбитым на элементарные слои между очень близкими друг к другу плоскостями, перпендикулярными к оси, и обратиться к упражнению 5, чтобы тотчас найти
\[
A=2 \pi f \mu\left\{h-\int_{s}^{8+h} \frac{z d z}{\sqrt{\varphi(z)+z^{2}}}\right\},
\]
где $\mu$, как обычно, обозначает плотность.
10. Применить формулу предыдущего упражнения к случаю усеченного конуса, сферического сегмента и сегмента параболоида вращения. Показать, в частности, что:
1) для конуса притяжение в вершине равно
\[
2 \pi f \mu h(1-\cos \gamma),
\]
где $\gamma$ – половина угла при вершине конуса;
2) для сфернческого сегмента будем иметь в полнсе:
\[
A=2 \pi f \mu h\left(1-\frac{2}{3} \sqrt{\frac{\hbar}{2 R}}\right),
\]
где $R$ – радиус сферы, которой принадлежит сегмент;
3) лля сегмента параболоида вращения будем иметь в полюсе
\[
A=2 \pi f \mu\left\{h-\sqrt{h^{2}+2 p h}+p \ln \frac{h+p+\sqrt{h^{2}+2 p h}}{p}\right\},
\]
где $p$ – параметр меридианной параблы $\left(x^{2}=2 p z\right)$.
11. Рассмотреть однородную (твердую) полусферу и точку $P$ ее экватора. Притяженне полусферой точки $P$ лежит вследетвие симметрип в (диаметральной) плоскости, проходящей через $p$, ґентр $O$ п полюе $B$ полусферы. Определить значенне составляющей по $P O$ ш по пормали к экваториальной плоскости.
[Iроинтегрировать соответетвующие составляющие элементарных притяженић, пользулсь полярными коолинатами с полюсом в $P$. Соответетвенно найдем $\frac{2 \pi \mu R}{3}, \frac{4}{3} \mu R$, где через $R$ обозначен раднус полусфери и терез $\mu$-ее плотность. См. Tarleton, цит. место в упражненин 4, стр. 16.]
12. Тело максимального притяжения. Найти форму, которую должно иметь однородное тело вращения данного объема, для того чтобы оно вызывало наибольшее притяжение в полюсе, т. е. п точке, в которой поверхность тела встречаетея с осью врацения. См. Tisserand, џпт. место в упражнении 8 , стр. 77-79.
