23. Закону изменения моментов инерции относительно оси, проходящей через неподвижную точку и изменяющей свое направление в пространстве, который аналитически выражается равенством (16), можно придать наглядное геометрическое истолкование.

Представим себе, что на каждом луче $\alpha, \beta, \gamma$, выходящем из точки $O$, откладывается от $O$ отрезок
\[
O L=\frac{1}{\sqrt{I}},
\]

где $I$ есть квадратичная функция от $\alpha, \beta, \gamma$, определенная равенством (16).

Если исключим частный случаิй, когда все точки $P_{i}$ системы $S$ щежат на одной прямой, проходяцей через $O$, то момент инерции $I=\sum_{i} m_{i} \delta_{i}^{2}$ не может быть нулем ни для какого направления $\alpha$, $\beta, \gamma$, проведенного через $O$; величина $1 / \sqrt{I}$, соответствующая всккому лучу, будет поэтому числом конечным, а геометрическое место $E$ точек $L$ представит замкнутую поверхность, окружающую точку $O$ и симметричную относлтельно нее, потому что на двух противоположных лучах точки $L$ лежат на одном и том же расстоянии от $O$, как это следует из равенства (20); вспомним (предыдущий пункт), что $I$ не изменяется, когда изменяется знак у $\alpha, \beta, \gamma$. Теперь легко найти и уравнение поверхности. В самом целе, обозначив через $x, y, z$ координаты лобой точки $L$ поверхности, будем иметь
\[
x=O L \cdot \alpha=\frac{\alpha}{\sqrt{I}}, \quad y=O L \cdot 3=\frac{\beta}{\sqrt{I}}, \quad z=O L \cdot \gamma=\frac{\gamma}{\sqrt{I}}
\]

или
\[
\alpha=x \sqrt{I}, \quad \beta=y \sqrt{I}, \quad \gamma=z \sqrt{I} ;
\]

если в формуле (16) вместо $\alpha, \beta, \gamma$ подставим эти значения, то по сокращении на $I$ получим
\[
A x^{2}+B y^{2}+C z^{2}-2 A^{\prime} y z-2 B^{\prime} z x-2 C^{\prime} x y=1 .
\]

Это и есть уравнение поверхности $E$. Отсюда видим, что мы имеем дело с поверхностью второго порядка, а так как мы знаем, кроме того, что поверхность $E$ должна быть замкнутой, то она может быть только эллипсоидом, центр которого єсть точка $O$, как это следует из симметрии поверхности $E$ относительно $O$.
24. Эллицсоид $E$ называется э.илипсоидом инеруии относительно точки $O$. Если эллипсоид инерции дан, то можно найти момент инерции относительно всякой прямой $r$, проходящей через $O$. Действительно, обозначив через $L$ одну из двух точек, в которых $r$ пересекает эллипсоид, мы получим на основании равенства (20)
\[
I=\frac{1}{O L^{2}} \text {. }
\]

Отсюда следует, что из всех осей, проведенных через $O$, та, которой соответствует напменьний момент инерции, является больпой осью, а та, которой соответствует наибольпий момент инерции, – малой осью эллицсоида инерции.

Оси эллипсоида инерции называются главными осями инерчии относительно рассматриваемой точки.

Принимая их за оси кооддинат, уравнение (21) можно, привести к виду
\[
A x^{2}+B y^{2}+C z^{2}=1
\]

произведения инерции $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ равны в этом елучае нулю, или, если принять во внимание вторую группу равенств (17), равны нулю суммы
\[
\sum_{i} m_{i} y_{i} z_{i}, \quad \sum_{i} m_{i} z_{i} x_{i}, \quad \sum_{i} m_{i} x_{i} y_{i}
\]

Величины $A, B, C$, очевидно, сохраняют свой смысл и, следовательно, будут моментами инерџии относительно главных осей, или, как обычно говорят, главными моментами инерции. Соответствующие радиусы инерции
\[
\sqrt{\frac{A}{m}}, \quad \sqrt{\frac{B}{m}}, \quad \sqrt{\frac{C}{m}}
\]

называются главными радиусами инерции.
25. Эллипсоид инерции относительно центра тяжести системы называетея центральным эллипсоидом инерции.

В общем случае, когда хотят вполне описать распределение моментов инерции заданной сиегемы, указывают (помимо полной массы) элементы, определяющие дентральный эллипсоид инерции, т. е. оси и главные моменты (или главные радиусы) инерции относительно центра тяжести. Этим будут определены в сжатой форме моменты инерции относительно любой центральной (т. е. проходящей через центр тяжестиј оси; моменты же инерции относительно оси, не проходящей через центр тяжести, определятся из равенства (15).

В некоторых случаях самая конфигурация системы (п. 13) ноказывает, где находится центр тяжести и как направлены относяциеся к нему главные оси инерции. Шринимая их за оси координат, можно сказать (і. 22), что все сводится к тому, чтобы определить три суммы:
\[
s_{1}=\sum_{i} m_{i} x_{i}^{2}, \quad s_{2}=\sum_{i} m_{i} y_{i}^{2}, \quad s_{3}=\sum_{i} m_{i} z_{i}^{2},
\]

щредставляющие собой моменты инерции системы относительно г.лавных плоскостей центрального эллипсоида инерции.

Шолезно отметить, что если снстема $S$ отнесена к главным осям инерции, проходящим через центр тяжести, то каждая из пести сумм
\[
\sum_{i} m_{i} x_{i}, \quad \sum_{i} m_{i} y_{i}, \quad \sum_{i} m_{i} z_{i}, \quad \sum_{i} m_{i} y_{i} z_{i}, \quad \sum_{i} m_{i} z_{i} x_{i}, \quad \sum_{i} m_{i} x_{i} y_{i}
\]

будет равна нулю; первые три равны нулю потому, что начало координат находится в центре тяжести, а вторые три (предыдущий пункт) – вследствие того, что оси координат являютея главными осями инерции.
26. Главная ось инерции относительно центра тяжести является главной осью инерии тажже и относительно всякой другой своей точки. главных осей инерции. Тогда будем иметь
\[
A^{\prime}=\sum_{i} m_{i} y_{i} z_{i}=0, \quad B^{\prime}=\sum_{i} m_{i} z_{i} x_{i}=0 .
\]

Взяв на $O z$ какую-нибудь точку $O_{1}$, отличную от $O$, положим $O O_{1}=a$ и рассмотрим систему координат $O_{1} x_{1} y_{1} z$, оси которой $x_{1}, y_{1}$ параллельны осям $x, y$ и одинаково направлены с ними. Новыми координатами точки $P_{i}\left(x_{i}, y_{i}, z_{i}\right)$ будут $x_{i}, y_{i}, z_{i}-a$, так что новые произведения инерции будут иметь значения
\[
\left.\begin{array}{l}
A_{1}^{\prime}=\sum_{i} m_{i} y_{i}\left(z_{i}-a\right)=\sum_{i} m_{i} y_{i} z_{i}-a \sum_{i} m_{i} y_{i}, \\
B_{1}^{\prime}=\sum_{i} m_{i}\left(z_{i}-a\right) x_{i}=\sum_{i} m_{i} z_{i} x_{i}-a \sum_{i} m_{i} x_{i} ;
\end{array}\right\}
\]

оба эти произведения инерции обращаютея в нуль, потому что, по предположению, произведения инердии $A^{\prime}, B^{\prime}$ и статические моменты $\sum_{i} m_{i} x_{i}, \sum_{i} m_{i} y_{i}$ равны нулю. Это и означает, что $O z$ является гдавной осью инердии также и относительно любой ее точки $O$.

Предположим теперь, что $O$ есть произвольная точка системы и что одна из ее главных осей инерции $O z$ проходит через центр тяжести $O_{1}$; равенства (22), которые справедливы также и при этих предшоложениях, показывают, что если мы имеем
\[
A^{\prime}=B^{\prime}=\sum_{i} m_{i} x_{i}=\sum_{i} m_{i} y_{i}=0,
\]

то будут обращаться в нуль также и $A_{1}^{\prime}$ и $B_{1}^{\prime}$. Таким образом, если прямая являетея главной осью инеруии относительно одной из своих точек и проходит через центр тяжести, то она будет также главной осью инерции относительно центра тяжести ( $и$, следовательно, относительно всякой другой своей точки).
27. Если рассматриваемая система $S$ имеет плоскость симметрии (Iг. 13), то достаточно принять ее за плоскость координат, чтобы два из произведений инерции обратились в нуль.

В самом деле, если плоскость симметрии принимается за плоскость $z=0$, то имеем
\[
\sum_{i} m_{i} x_{i} z_{i}=0, \quad \sum_{i} m_{i} y_{i} z_{i}=0,
\]

так как для двух точек, симметричных относительно плоскости $z=0$, величины $m_{i}, x_{i}, y_{i}$ одни и те же, в то время как $z_{i}$ равны по величине, но противоположны по знаку. Поэтому члены суммы попарно сокращаются.

Тажим образом, если система имеет плоскость симметрии, то всякий перпендикуляр $к$ этой плоскости является главной осью инеруии для своего основания.

Кроме того, если система имеет две взаимно перпендикулярные плоскости симметрии, то они ноободимо будут главными плоскостями эллипсоида инерции отновительно какой угодно почки прямой их пересечения.

Действительно, если примем эти плоскости за координатные плоскости, то, очевидно, обратятся в нуль все произведения инерции:

Эта теорема находит применение в случае тел вращения. Всякая меридианная плоскость, очевидно, есть плоскость симметрии, поэтому ось вращения являетея главной осью инерции для всякой ее точки, а соответствующие эллипсоиды инерции все будут эллипсоидами вращения вокруг этой оси.
28. Плоскив оистемы. Если все точки системы лежат в одной плоскости, то момент инерции относительно какой-нибудь оси, перпендикулярной к этой плоскости, равен сумме моментов инерџии относительно двух любых взаимно перпендикулярных осей, лежащих в плоскости и проходящих через точку пересечения этой плоскости с первой осью.

Примем плоскость, в которой лежат точки системы, за плоскость $z=0$, ось, перпендикулярную к плоскости, за ось $z$, а две другие взаимно перпендикулярнье оси – за оси $x$ и $y$. Тогда для всякой точки $m_{i}$ системы имеем $z_{i}=0$, и, следовательно, на основании формулы (18) $s_{3}=0$; поэтому из равенств (19) найдем:
\[
A=s_{1}, \quad B=s_{2}, \quad C=s_{1}+s_{2}=A+B,
\]

что и доказывает наше утверждение.
29. Эллипс инЕРции. В некоторых случаях важно изучить расцределение моментов инерции относительно осей, лежащих в некоторой плоскости $\pi$ и пересекающихся в одной точке $O$. Типичным примером такого случая будет сиетема материальных точек, лежащих в одной плоскости (предыдущий пункт). Изменение моментов инерции относительно осей, лежащих в плоскости $\pi$ системы и проходящих через одну точку $O$, согласно с геометрическим истолкованием, изложенным в п. 23 , определяется эллипсом инериии $e$, который получается при пересеченпи с плоскостью $\pi$ эллипсоида инерции $E$ относительно $O$. Если эллипс $e$ отнесен п его тлавным осям $O \xi, O \eta$ и соответствующие моменты инерции обозначены через $H$ и $K$, то уравнение этого эллипса имеет вид
\[
H \xi^{2}+K \eta^{2}=1 \text {. }
\]

Момент инерции $I_{r}$ относительно какой-нибудь прямой $r$, лежащей в шлоскости $\pi$ и проходящей через точку $O$, если нацравляющие косинусы этой прямой относительно осей системы $O \xi \eta$ равны $\alpha$ и $\beta$, может быть представлен в виде
\[
I_{r}=H \alpha^{2}+K \beta^{2} .
\]

Докажем теперь следующее замечательное свойство эллипса инерции $e$ : Расстояние от чентра О до каюэй-ниоудь касательной ж эллипсу инерци пропорционально моменту инериии $I_{r}$ относительно прямой, проходящей через О и параллельной рассматриваемой хасательной, $и$ (по абсолютной величине) равно
\[
p=\sqrt{\frac{I_{r}}{H K}} .
\]

Действительно, если обозначим через $\xi_{1}, \eta_{1}$ координаты точки касания, то из уравнения касательной
\[
H \xi_{1} \xi+K \eta_{1} \eta_{1}=1
\]

будет следовать, что направляющие косинусы перпендикуляра на касательную (направленного от 0 к касательной) и длина $p$ этого перпендикуляра определятся выражениями
\[
\frac{H \xi_{1}}{\sqrt{H^{2} \xi_{1}^{2}+K^{2} \eta_{1}^{2}}}, \quad \frac{K \eta_{1}}{\sqrt{H^{2} \xi_{1}^{2}+K^{2} \eta_{1}^{2}}}, \quad p=\frac{1}{\sqrt{H^{2} \xi_{1}^{2}+K^{2} \eta_{1}^{2}}} .
\]

Отсюда следует, что направляющими косинусами прямой $r$, параллельной касательной и проходящей через точку $O$ (ориентированной в том или другом направленни), будут
\[
\alpha=\frac{ \pm K \eta_{1}}{\sqrt{H^{2} \xi_{1}^{2}+K^{2} \eta_{1}^{2}}}= \pm K \eta_{1} p, \quad \beta=\frac{\mp H \xi_{1}}{\sqrt{H^{2} \xi_{1}^{2}+K^{2} \eta_{1}^{2}}}=\mp H \xi_{1} p,
\]

так что равенство (24) примет вид
\[
I_{r}=H K\left(H \xi_{1}^{2}+K \eta_{1}^{2}\right) p^{2}
\]

а так как в силу равенства (23) оно сводится к равенству.
\[
I_{r}=H K p^{2},
\]

то формула (25) тем самым доказана.
30. Из тольюо что установленных свойств следует, что, если для всякой прямой $r$, проходящей через точку $O$, провєдены с той и другой стороны параллельные ей прямые, находящиеся от $O$ на расстоянии $p^{\prime}=\lambda \sqrt{I_{r}}$, где $\lambda$ есть произвольный постоянный коэффициент пропорциональности, то огибающая полученных таким образом прямых будет эллипсом $e^{\prime}$, гомотетичным ${ }^{1}$ ) эллипсу $e^{\prime}$; отношение гомотетии (отношение подобия) между эллипсами $e^{\prime}$ и $e$ будет $p^{\prime} / p$, или, на основании формулы (25), ^ $\sqrt{\overline{H K}}$.

Если, в частности, мы возьмем $\lambda=2 / V \bar{m}$, где $m$ овначает массу системы, то получим такой эллипс $e_{0}$, что расстояние каждой его касательной от параллельной ей прямой $r$, проходящей через центр, будет равно $\sqrt{I_{r} / m}$, т. е. радиусу инерции $\delta_{r}$ системы относительно прямой $r$. Так как отношение гомотетии между эллипсами $e_{0}$ и $e$ равно $\sqrt{H K / m}$, то уравнение эллипса $e_{0}$ будет иметь вид
\[
H \xi^{2}+K \eta^{2}=\frac{H K}{m}
\]

или, если обозначим через $h$ и $k$ радиусы инерции, соответствующие двум осям $O \xi, O \eta$, так что $H=m h^{2}, K=m k^{2}$,
\[
\frac{\xi^{2}}{k^{2}}+\frac{r^{2}}{h^{2}}=1
\]

Следовательно, полуосп эллипса, лежащие на прямых $O \xi$ и $O \eta$, равны соответственно радиусам инерции относительно $O \eta$ и $O \xi$;
1) Определение гомотетии см. Ж. Адамар, Элементарная геометрия, ч. I, стр. 125; ч. II, стр. 121, Учедгив, 1938. (Прим. перев.)

вообще, расстояние от центра до любой касательной дает радиус инерции относительно диаметра, цараллельного рассматриваемой касательной.