единенных шарнирами $P_{2}, P_{3}, P_{4}$, в то еремл как концы $P_{1}$ п $P_{5}$ прикреплены к двум неподвижным точкам; расположенным на одном и том же уровне. Два крайних стержня равны друг другу и весят каждый $p_{1}$; равны между собой также и промежуточные стержни, общий вес которых есть $p_{2}$. При равновесии под действием собственного веса система располагаетея в вертикальной плоскости, симметрично относительно средней вертикали (содержащей шарнир $P_{3}$ ).
Доказать, применяя, например, принцип Торричелли, что если через $a_{1}$, $\alpha_{2}$ обозначены углы наклона к горизолтали $P_{1} P_{5}$ первых двух етержней, то в конфигурации равновесия должно иметь место соотношение
\[
\left(p_{1}+2 p_{2}\right) \operatorname{tg} \alpha_{2}=p_{2} \operatorname{tg} \alpha_{1} .
\]
2. Тело (материальная точка) $P$ веса $p$ опирается на абсолютно гладкую плоскость, наклоненную под углом с к горизонту, и удерживаетсл нитью, проходяцей по жолобу блока и несущей на своем конце груз $q$. Блок находитея выше наклонной плоскости и расположен в вертикальной плоскости, пересекающей первую по тинии наибсльшего наклона, проходящей через $P$.
Вертикаль, проходящая через блок, пересекает линию наибольџего наклона на расстоянии $s$ от $P$; отрезос вертпкли, закліченный между блоком и этим пересеченнем, есть $h$. Погазать, что для равновесия требуется, чтобы противовес $q$ заключале между $p$ и касательной составляющей $p$ II чтобы существовало соотиошение
\[
s^{2}+2 h s \sin \alpha=\frac{\left(p^{2}-q^{2}\right) h^{2} \sin ^{2} \alpha}{q^{2}-p^{2} \sin ^{2} \alpha} .
\]
3. Гибкая и нерастяжимал нить ничтожной массы может скользить вдоль параболического профиля е вертикальной осью (вогнутость обращена вниз). Концы нити находлтся под действием двух грузов весом $q_{1}$ и $q_{2}$. Іоказать, что если $y_{1}$ и $y_{2}$ обозначают ординаты концов нити и $x^{2}=2 p y$ есть уравнение параболы (ось $y$ совпадает с вертикалью, проходящей через вершину), то в положении равновесия будем иметь
\[
\frac{q_{1}^{2}-q_{2}^{2}}{p}=\frac{q_{2}^{2}}{2 y_{1}}-\frac{q_{1}^{2}}{2 y_{2}} .
\]
4. НІесть одинаковых стержней, каждый веса $p$, сочтененных друг с другом, находятся в вертикальной поекости. Один из них $A B$ закреплен в горизонтальном положении; другие расположены симметрично относительно вертикали, проходящей через середину стержня $A B$. Показать, что шестиугольник будет находиться в рагновесии, если к середине $M$ стороны, противоположной $A B$, приложить силу, равную $3 p$ и направленную по вертикали вверх.
5. К двум точкам $P$ и $Q$ прнложены „во равные и прямо противоположные силы $\boldsymbol{\Phi}$ и – $\boldsymbol{\text { . }}$. Обозначим через $\varphi$ проекцию силы $\boldsymbol{\Phi}$ на ось $Q P$ и равную ей проекцию силы – $\mathbf{\Phi}$ на ось $P Q$, или ветичину обонх усилий, принимаемых за положительные, если речь идет о растягивающих усилиях. Показать, что если $\delta$ есть вариация расетояния, соответствующего произвольным элементарным перемещениям о $P$ и $\delta Q$ обеих точек, то сумма длементарных работ сил $\boldsymbol{\Phi}$ и – Ф будет равна фôl (п. 3,6 ).
6. Стержень $A B$ веса $p$ может врацаться вокруг точки $A$ в вертикальной плоскости. Другой стержень $B C$ сочленен е первым в конце $B$ и может вращаться в той же самой вертикальной плоскости вокруг своего конца $\boldsymbol{B}$. Оба етержня однородны. В $C$ приложена горизонтальная сила величины $F$. Показать, что если $\varphi$ и $\psi$ – углы наклона обоих стержней к горизонтальной пряой в плоскости стержней, то при уетановившемея равновесии будем иметь
\[
\operatorname{tg} \vartheta=\frac{p+2 q}{2 F}, \quad \operatorname{tg} \psi=\frac{q}{2 F} .
\]
7. Пусть будут $a$ и $b$ длины сторон параллелограмма, $\varphi-$ один нз внутренних углов, так что квадраты $l^{2}, l^{2}$ диагонылей выражаютел в виде
\[
a^{2}+b^{2} \pm 2 a b \cos \varphi \text {. }
\]
В предположении, что речь идет о парнирно-сочлоненном параллелограмме, $\varphi$ можно принять за лагранжеву координату.
Показать прежде всего, что при любом виртуальном перемещении системы имеем
\[
l 8 l+l^{\prime} 8 l^{\prime}=0 .
\]
Предположим далее, что шарнирно-сочлененный параллетограмм находичея в равновесии, если г концам диагонали длины $l^{\prime}$ приложены две прямо противоположные силы величной $F$, стремящиеся сблизить их, в то время как две другне противоноложные вершины (концы диагонали длины l) соединены гибкой и нератяжимой нитью. Показать (на основе п. 40 п упражнения 5), что усилие 7 , растягивающее нить, определяется равенством
\[
T=\frac{l}{l^{\prime}} r
\]
8. Шестиугольник $A B C D E F$; соствленный из пести однородных и равных стержней, подвешен в-точке А и енметрично расположен относнтельно вертикали, проходящей через эту точку. Он удерживается в равновесии двумя горизонтальными стержнями $B F, C E$ ничтожного веса. Показать (II. 40 и упражнение 5), что первый етержень испытывает давление, в пять раз большее, чем давление, испытываемое вторым стержнем.
9. Многосвязная стержневая система находится в равновесии без приложения внешних сил. Поэтому имеютея только внутренние усилия.
Показать, что если $\varphi$ означает цля какого-нибудь стержня величину (включая и знак) усилия, испытываемого им (упражнение 5), и $l$ – длину стержня, то будем иметь $\sum \varphi l=0$, где сумма распространяется на все стержни системы.
[Каждый узел системы надо рассматривать как свободную точку, находящуюся под действием усилий, пронсходящих от стержней, которые сходятея в этом узле, и представлять еебе, что определенная таким образом система свободных точек испытывает гомотетичное расширение с произвольным центром.]
10. $n$ однородных стержней длины $l$ и веса $p$ сочленены в точке $A$ и находятся в равновесии, будучи расположены симметрично вокруг вертикали, проходящей через точку $A$, и опираясь нижними концами на сферическую поверхность е радиусом $r>l$ и с центром $O$, расположенным вертикально над точкой $A$. $\mathrm{K}$ узлу $A$ подвещен груз веса $q$. Показать, что если а есть угол, образуемый кажлым стержнем с вертикалью, то будем иметь соотношение
\[
l^{2}\left(3 n^{2} p^{2}+4 n p q\right) \cos ^{2} a=\left(r^{2}-l^{2}\right)(n p+2 q)^{2} .
\]
