10. Рассмотрим (цилиндрический) горизонтальный вал, опирающийся двумя своими концами на подшипники, каждый нз которых состоит из цилиндрической впадины немного большего, чем у вала, диаметра, и предположим, что вал вращается равномерно вокруг собственной оси.

Мы покажем сейчас, что в условиях действия сил, которые часто наблюдаются на практике (и которые немного позже будут точно определены), вал при наличии трения опирается на подшишники не в самых нижних точках этих шодшишников, как это могло бы казаться с первого взгляда и как это очевидно происходит при равновесии.

Разберем сначала фиктивныї случай, рассматривая явление в вертикальном плоском сечении. В этом случае мы будем иметь твердый круг (круглый диск) с радиусом $r$, равномерно вращающийся вокруг собственного центра $O$, опираясь точкой $P$ (см. фиг. 77 на стр. 294) на неподвижную окружность (след подшипника). Предположим, что внешние, действительно приложенные силы (все расположенные в названной плоскости) приводятся к следүющим двум парам и двум силам:
1) дөижуцая пара, т. е. пара с моментом $\Gamma_{1}$, параллельным оси вращения (и перпендикулярным к плоскости круга), сторона вращения которого совпадает со стороной вращения вала;
2) пара сопротивления, т. е. пара с момента $\Gamma_{2}$, всегда параллельным оси вращения и направленным в противоположную сторону;
3) весь $\boldsymbol{p}$ (направленный по вертикали вниз);
4) реакция $\boldsymbol{R}$ точки опоры $P$ вала на подшипник.
Предположим еще, что вал, а следовательно, и диск, который мы рассматриваем вместо вала, однородны. Центр тлжести совпадает тогда с центром $O$ диска.

Выясним теперь, каким образом вал может находиться в (равномерном) установившемся вращении вокруг собственной оси. Очевидно, достаточно будет выразить, что по отношению к системе осей, неизменно связанных с валом и, следовательно, равномерно вращающихся вместе с ним, имеет место относительное равновесие самого вала под действием только что перечисленных сил.

Так как речь идет о твердом теле, то необходимо и достаточно, чтобы удовлетворялись основные уравнения; при этом подразумевается, что, согласно ранее изложенному правилу, необходимо принять во внимание также и дентробежные силы отдельных точек тела. В настоящем случае при заданной однородности вала центробежной силе, возникающей в любом элементе $A$, соответствует равная и прямо противоположная центробежная сила, относящаяся к элементу $A^{\prime}$, симметричному $A$ относительно $O$.

Отсюда следует, что совокупность дентробежных сил ничего не вносит в основные уравнения, и поэтому от них можно отвлечься.

Выразим теперь, что результирующая внешних сил обращается в нуль. Так как результирующая каждой из пар (движущей пары и пары сопротивления) равна нүлю, то должна быть равна нулю также и геометрическая сумма веса и реакции $\boldsymbol{R}$, что означает, что вес и реакция должны составлять третью пару (или, в частности, должны быть равны и прямо противоположны).

Для того чтобы пойти далее, необходимо принять во внимание то обстоятельство, что реакция $\boldsymbol{R}$ является как раз одной из тех сил, на поведение которых влияет состояние движения, так что на $\boldsymbol{R}$, в условиях движения, нельзя распространять правила, полученные из опытов над статическим трением (гл. IX). Опираясь на экспериментальный результат, который лүчше и более строго будет объяснен в динамике, мы ограничимся здесь утверждением, что во время движения реацция в каждый момент действует по образующей внешней полости конуса трения (динамического) с вершиной в точке ошоры, имеющего осью нормаль, а именно по той образующей, проекция которой на касательную к траектории направлена в сторону, противоположную стороне движения точки диска, совпадающей в рассматриваемый момент с точкой опоры.

Если мы исключим идеальный случай, когда трение равно нулю, то отсюда будет следовать, что точка опоры не должна совпадать с самой нижней точкой подшипника. Действительно, так как в этом случае вертикаль совпадает с нормалью к поверхности подшипника, она не может быть образующей конуса трения, и потому невозможно, чтобы результирующая веса и реакции была равна нүлю.
Фиг. 77.
Следовательно, мы должны предположить, что точка соприкосновения $P$ несколько смещена из самого нижнего положения. Легко видеть, что величина смецения измеряется углом динамического трения $\varphi$. Пействительно, вертикаль $P V$ (фиг. 77), проведенная через $P$, должна быть образующей конуса трения, что означает, что угол $\widehat{O P V}$ равен углу $\varphi$. Так как, далее, сила трения препятствует движению точки $P$, то точка соприкосновения долж’н сместиться на угол $甲$ в сторону, противоположную вращению.

Выразим теперь, что результирующий момент относительно точки $O$ всех внешних сил, действующих на вал, равен нулю. Это векторное соотношение сводится к алгебрапческому, так как линией действия всех моментов является ось вала, так что достаточно, чтобы обращался в нуль результирующий момент относительно этой оси. Обозначим через $\Gamma_{1}, \Gamma_{2}$ величины моментов движущей пары и пары сопротивления; момент пары вес-реакция (ввиду того, что линия действия веса проходит через точку $O$, а линия действия реакции есть вертикаль, проходящая через точку $P$ ) по абсолютной величине равен
\[
\gamma=r p \sin \varphi=r p \frac{\operatorname{tg} \varphi}{\sqrt{1+\operatorname{tg}^{2} \varphi}}=r p \frac{f}{\sqrt{1+f^{2}}} ;
\]

его можно считать равным величине $\operatorname{rpf}$ ( $f$ – коэффициент динамического трения), если угол $\varphi$ достаточно мал.

С другой стороны, он напразлен в ту же сторону, что и момент $\boldsymbol{\Gamma}_{2}$, нотому что касательная составляющая реакции оказывает сопротивление движению, а нормальная реакция имеет момент, равный нулю, так как направлена в точку $O$. Поэтому абсолютная величина $\Gamma_{1}$ момента движущей пары должна быть равна сумме абсолютных величин моментов двџх других пар, т. е.
\[
\Gamma_{1}=\Gamma_{2}+\gamma,
\]

где можно считать $\gamma=r p f$.
Равенство (5) в сочетании с геометрическим фактом, что смещение точки опоры измеряется углом трения, составляет искомое ӱсловие относительного равновесия.
11. В реальном случае, в котором опорой являются два подшипника, мы можем представить себе вес $\boldsymbol{p}$ вала разложенным на две равные и вертикальные силы $\boldsymbol{p}_{1}, \boldsymbol{p}_{2}$, приложенные к концам вала.

Если мы предположим, что другие внешние силы попрежнему приводятея к двум парам (движущей и сопротивления) с моментами $\Gamma_{1}$ и $\Gamma_{2}$, имеющими линией действия ось вала, то для относительного равновесия, очевидно, будет достаточно:
1) чтобы сила $\boldsymbol{p}_{1}$ и реакция $\boldsymbol{R}_{1}$ опоры $P_{1}$ составляли пару;
2) аналогично, чтобы составляли пару сила $\boldsymbol{p}_{2}$ п реакция $\boldsymbol{R}_{2}$ опоры $P_{2}$;
3) чтобы обращался в нуль результирующий момент четырех пар (движущей; сопротивления; $\boldsymbol{p}_{1}, \boldsymbol{R}_{1} ; \boldsymbol{p}_{2}, \boldsymbol{R}_{2}$ ) относительно оси вращения.

Если допустить, что угол трения $\varphi$ один п тот же для обоих подшипников, то первые два условия будут удовлетворены прп равенстве углов смещения обеих опор $P_{1}$ п $P_{2}$.

Третье условие, если через $\gamma_{1}$ и $\gamma_{2}$ обозначим моменты (относительно оси вращения) двух пар $\boldsymbol{p}_{1}, \boldsymbol{R}_{1}$ и $\boldsymbol{p}_{2}, \boldsymbol{R}_{2}$, выразится арифметическим равенством
\[
\Gamma_{1}=\Gamma_{2}+\gamma_{1}+\gamma_{2} .
\]

Как и в предыдущем пунктө, мы будем имөть приближенно
\[
\gamma_{1}=r f p_{1}, \quad \gamma_{2}=r f p_{\varepsilon},
\]

где $r$ есть радиус вала. Отсюда следует, что
\[
\Gamma_{1}=\Gamma_{2}+r f p,
\]

где $p$-полный вес вала.
Таким образом, также п для случая, который мы обычно имеем, мы снова находим то же самое условие, что и в предыдущем пункте.