31. Едва ли нужно доказывать, что понятие о моменте инерции и его свойства, установленные дыя дискретных масс, можно непосредственно распространить и на массы, непрерывно распределенные по объему, цоверхности или линии. Достаточно вспомнить соображения, посредством которых аналогичное обобщение было оправдано для центров тяжести (п. 15).
С аналитической точки зрения дело сводится к замене формулы
\[
I=\sum_{i} m_{i} \delta_{i}^{2},
\]

определяющей момент инерции, и, вообще, сумм, распространенных на точки системы $S$, интегралами, распространенными на область $S$ (объем, поверхность или линию), занимаемую системой.

Таким образом, если $d S$ есть любой элемент области, содержащий точку $P, d m$-масса элемента, $\delta$-расстояние точки $P$ от оси $r, \mu$ – нлотность (объемная, поверхностная или линейная) в $P$, то будем иметь формулу
\[
I=\int_{S} \delta^{2} d m=\int_{S} \mu \delta^{2} d S,
\]

которую в случае однородной системы можно написать в виде
\[
I=\mu \int_{S} \delta^{2} d S .
\]
32. ІІямой однороДНЫЙ Параллелщпипед. Центр тяжести $O$ совпадает с точкой пересечения диагоналей (п. 16).

Три плоскости, параллельние граням и проведенные через точку $O$, являются плоскостями еимметрии и, следовательно (п. 27), главными плоскостями централького эллицсоида инерции, так что, согласно общему замечанию п. 25 , дело сводится к вычислению моментов инерции $s_{1}, s_{2}, s_{3}$ относительно этих трех плоскостей.

Обозначив, как обычно, через $\mu$ плотность (по предположению, постоянную) и через $a, b, c$ – длины трех ребер, будем иметь
\[
m=\mu a b c .
\]

Возьмем начало координат в точке $O$ и направим оси параллельно ребрам, вследствие чего уравнения щести граней будут иметь вид
\[
x= \pm \frac{a}{2}, \quad y= \pm \frac{b}{2}, \quad z= \pm \frac{c}{2} .
\]

Выражение для $s_{1}$ мы можем написать в виде
\[
s_{1}=\mu \iiint x^{2} d x d y d z,
\]

где интегрирование по $x, y, z$ будет производиться между пределами
\[
-\frac{a}{2} \text { и }+\frac{a}{2}, \quad-\frac{b}{2} \text { и }+\frac{b}{2}, \quad-\frac{c}{2} \text { и }+\frac{c}{2} .
\]

Так как подинтегральная функция $x^{2}$ не зависит ни от $y$, ни от $\boldsymbol{z}$, то можно интегрировать по этим двум аргументам при любом значении $x$, что дает
\[
s_{1}=\mu b c \int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} x^{2} d x
\]

вепоминая, что масса параллелешипеда равна $\mu а b c$, получим
\[
s_{1}=\mu b c \frac{2}{3} \frac{a^{3}}{8}=m \frac{a^{2}}{12} .
\]

Выполнив круговүю замену букв $a, b, c$, получим, очевидно,
\[
s_{2}=m \frac{b^{2}}{12}, \quad s_{3}=m \frac{c^{2}}{12},
\]

так что главные моменты инерции получат вид
\[
A=m \frac{b^{2}+c^{2}}{12}, \quad B=m \frac{c^{2}+a^{2}}{12}, \quad C=m \frac{a^{2}+b^{2}}{12},
\]

а соответствующие радиусы инерции будут равны
\[
\sqrt{\frac{b^{2}+c^{2}}{12}}, \quad \sqrt{\frac{c^{2}+a^{2}}{12}}, \quad \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{12}} .
\]
33. Однородный щрямоугольник. Центр $O$ прямоугольника совпадает с его центром тяжести. Плогкость прямоугольника и двө плоскости, проведенные через $O$ перпендикулярно к сторонам, очевидно, являются главными плоскостями инеріии, так что главнымй осями инердии будут прямые, параллельные сторонам, и шерпендикуляр к плоскости прямоугольника.

Значения моментов и радиусов инерции можно получить и без прямого вычисления (хотя это вычисление и весьма просто), обращаясь к предыдущему случаю. В самом деле, рассмотрим однородный параллелепипед с ребрами $a, b, c$ и объемной плотностью $\mu$ и предположим, что величиной $c$ можно пренебречь по сравнению с величинами $a, b$, так что паралелешипед можно уподобить материальному прямоугольнику со сторонами $a, b$. Речь будет идти об однородном прямоугольнике; каждому его элементу $d S$ будет соответствовать масса $\mu c d S$, а следовательно, поверхностная (постоянная) плотность $
u$ будет равна $\mu c$.

Очевидно, можно сделать так, чтобы $
u$ сохраняла заданное значение даже- в том случае, когда $c$ стремится $к$ нулю: достаточно представить себе, что обтемная плотность $\mu$ параллелепипеда возрастает при стремлении $c$ к нулю, принимая значения $\mu=
u / c$.

Для намей цели достаточно, впрочем, заметить, что если материальный прямоугольник рассматривается как предел параллелепипеда, то масса прямоугольника должна быть равна массе $m$ параллелепипеда. Если поэтому в формулах, относящихся к параллелешипеду, в которые входят $a, b$, $c$ и $m$, положим $c=0$, то непосредственно получим соответствующие формулы, относящиеся к однородному прямоугольнику.

Поэтому тремя главными моментами инерции относительно средних линий прямоугольника и общего перпендикуляра к ним в точке их пересечения будут
\[
A=m \frac{b^{2}}{12}, \quad B=m \frac{a^{2}}{12}, \quad C=m \frac{a^{2}+b^{2}}{12},
\]

а соответствующими радиусами инерции
\[
\frac{b}{\sqrt{12}}, \frac{a}{\sqrt{12}}, \quad \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}} .
\]

Как мы видим, $C$ совпадает с $A+B$, что и должно иметь место на основании общего замечания п. 28.
34. Однородный эллипсоид. Центр и три главные плоскости эллипсоида совнадают, очевидно, с его центром тяжести и главными плоскостями центрального эллипсоида инерпии.

Если через $a, b, c$ обозначим полуоси данного эллипсоида, через $\mu$-плотность, то объем эллипсопда будет равен ( $4 / 3$ ) $\pi a b c$, а для массы будем иметь выражение
\[
m=\frac{4}{3} \pi \mu a b c .
\]

Уравнение
\[
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{e^{2}}=1
\]

выражает поверхность эллипсоида, отнесенную к главным осям. Таким образом, и здесь все своднтся к вычислению $s_{1}, s_{2}, s_{3}$.

Iрежде всего достаточно определить только одну из этих величин, так как две другие можно получпть из нее круговой перестановкой бугв $a, b, c$.

Рассмотрим, например,
\[
s_{3}=\iiint z^{2} d x d y d z,
\]

где интегрирование должно быть распространено на весь объем эллипсоида.

Для того чтобы выполнить интегрирование наиболеө простым способом, представим себе, что область интегрирования разложена на элементарные слои толщиной $d z$, заключенные между плоскостями, параллельными плосьости $z=0$ (фиг. 18). Фунцция $z^{2}$ под знаком интеграла остается постоянной (по крайней мере, с точностью до бесконечно малых) в каждом слое, и значение тройного интеграла по слою будет, очевидно, равно произведению $z^{2}$ на объем слоя, основанием которого, соответствующим провзвольному значению $z$, является сечение нашего эллищсоида плоскостью, к которой относится это значение $z$. Контуром такого сечения является әллипс, который проектируется на шлоскость $x y$ в истинную величину в виде эллипса с уравнением
\[
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1-\frac{a^{2}}{c^{2}}
\]

или
\[
\frac{x^{2}}{\left(a \sqrt{1-\frac{z^{2}}{c^{2}}}\right)^{2}}+\frac{y^{2}}{\left(b \sqrt{\left.1-\frac{z^{2}}{c^{2}}\right)^{2}}\right.}=1 .
\]

Полуосями этого эллиптического сечения будут
\[
a \sqrt{1-\frac{z^{2}}{c^{2}}}, \quad b \sqrt{1-\frac{z^{2}}{c^{2}}},
\]

так что площадь его равна
\[
\pi a b\left(1-\frac{z^{2}}{c^{2}}\right)
\]

и объем элементарного слоя будет равен поэтому
\[
\pi a b\left(1-\frac{z^{2}}{c^{2}}\right) d z .
\]

Для того чтобы исчерчать всю область интегрирования, достаточно изменять $z$ от – до + . Выражение $s_{3}$ можно поатому написать в виде
\[
s_{3}=\mu \pi a b \int_{-c}^{a} z^{2}\left(1-\frac{z^{2}}{c^{2}}\right) d z .
\]

Проинтегрировав, мы получим
\[
s_{3}=\frac{4}{15} \pi \mu a b c^{3}
\]

или, вводя полную массу $m$,
\[
s_{3}=m \frac{c^{2}}{5} .
\]

Аналогичные значения мы будем иметь и для двух других плоскостей:
\[
s_{1}=m \frac{a^{2}}{5}, \quad s_{2}=m \frac{b^{2}}{5} ;
\]

следовательно, главные моменты инерции определятся равенствами
\[
A=m \frac{b^{2}+c^{2}}{5}, \quad B=m \frac{c^{2}+a^{2}}{5}, \quad C=m \frac{a^{2}+b^{2}}{5},
\]

а соответствующие радиусы инерции будут. іметь вид
\[
\sqrt{\frac{b^{2}+c^{2}}{5}}, \sqrt{\frac{c^{2}+a^{2}}{5}}, \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{5}} .
\]
35. Шдр. Момент инерции $I_{0}$ однородного шара с радиусом $R$ относительно одного из его диаметров получится из любого из найденных выражений для $A, B, C$, если положить в них $a=b=c=R$. Поэтому момент инерции пара определится равенством
\[
I_{0}=\frac{2}{5} m R^{2},
\]

а радиус инерции будет равён
\[
\sqrt{\frac{\overline{2}}{5}} R
\]
36. МомЕНТ ИНЕРДИИ отноСИТЕльНО оСИ одноРоДного кРУглого ЦИЛИНДРА, ОГРАНИЧЕННОГО ДВУМЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПЛОСКОСТЯМИ. ПУСТЬ $R$ есть радиус цилиндра, $h$ – его высота, $\mu$ – плотность и $I$ – искомый момент инерции. Можно избежать прямого вычисления, применив следующий искусственный прием. Момент инерции есть функция от радиуса $R$; если (при постоянных значениях $h$ и $\mu$ ) $R$ возрастает на $d R$, то $I$ получает приращение $d I$, представляющее собой момент инерции цилиндрического слоя с внутренним радиусом $R$ п толщиной $d R$. Так кав расстояние точек слоя от оси является для всех них равным $R$ (с точностью до бесконечно малых), а масса слоя есть
\[
\mu 2 \pi R h d R,
\]

то будем иметь
\[
d I=2 \pi \mu h R^{3} d R .
\]

Отсюда следует, что
\[
I=\frac{1}{2} \pi \mu h R^{4}+\text { const, }
\]

а так как при $R=0$ имеем $I=0$, то можно написать
\[
I=\frac{1}{2} \pi \mu h R^{4} .
\]

Масса дилиндра равна $\mu \pi R^{2} h$, поэтому окончательно имеем
\[
I=\frac{1}{2} m R^{2},
\]

а радиус инерции равен $R / \sqrt{2}$.
37. Однородный круглый диск. От случая цилиндра, очевидно, можно перейти $к$ случаю диска, представляя себе, что высота $h$ становится бесконечно малой. Как и в п. 33 , мы будем иметь для диска поверхностную шлотность $
u$, связанную с $\mu$ соотношением
\[

u=h \mu
\]

так как $m$ и $R$ сохраняют их значения, то для момента инерции и для соответствующего радиуса инерции остаются в силе выражения $\frac{1}{2} m R^{2}$ и $R / \sqrt{2}$.
38. МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ ОДНОРОДНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ, ОГРАНИТЕННОГО ДВУМЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПЛОФиг. 19. скостями. Пусть $y=f(z)$ есть уравнение меридиана поверхности вращения, имеющей осью вращения ось $z$ (фиг. 19). Рассечем тело вращения плоскостями, периендикулярными к оси, на элементарные диски. Момент инерции каюого-нибудь одного из этих дисков с радиусом, равным $R$, п высотой $d z$ будет равен (п. 36) $\frac{1}{2} \pi \mu R^{4} d z$, где $\mu$ представляет собой плотность; ес.и $z=z_{1}$ и $z=z_{2}$ суть уравнения плоскостей, ограничивающих твердое тело, то момент инерции $I$ определится равенством
\[
I=\frac{\pi \mu}{2} \int_{z_{1}}^{z_{2}} R^{4} d z .
\]

Но $R$ есть не что иное, как текущая координата $y=f(z)$ точки меридиана, так что будем иметь
\[
I=\frac{\pi \mu}{2} \int_{z_{1}}^{z_{1}}[f(z)]^{4} d z .
\]
39. У сеченный конус. Есди иеридиан есть прямая $y=z \operatorname{tg} \alpha$, то тело вращения будет представ.ять собой круговой усеченный конус, половину угла при вершине которого обозначим через $\alpha$. формула (27) дает
\[
I=\frac{\pi \mu \operatorname{tg}^{4} \alpha}{10}\left\{z_{2}^{5}-z_{1}^{5}\right\},
\]

и, выражая $I$ через радиусы $R_{1}=z_{1} \operatorname{tg} \alpha, R_{2}=z_{2} \operatorname{tg} \alpha$ и высоту $h=z_{2}-z_{1}$ усеченного конуса, получим
\[
I=\frac{\pi \mu}{10} \frac{h}{R_{2}-P_{1}}\left(R_{2}^{5}-R_{1}^{5}\right) .
\]

Если заметим, что масса усеченного конуса есть.
\[
\frac{\pi \mu}{3} h\left(R_{2}^{2}+R_{2} R_{1}+R_{1}^{2}\right)=\frac{\pi \mu}{3} \frac{h}{R_{2}-R_{1}}\left(R_{2}^{3}-R_{1}^{3}\right),
\]

то радиұс инерции $\delta$ можно будет определить из соотношения
\[
\delta^{2}=\frac{3}{10} \frac{R_{2}^{5}-R_{1}^{5}}{R_{2}^{3}-R_{1}^{3}} .
\]

Для конуса ( $R_{1}=0, R_{2}=R$ ), в частности, будем иметь
\[
I=\frac{\pi \mu}{10} R^{4} h, \quad \delta=\sqrt{\frac{\overline{3}}{10}} R .
\]
40. Сфврический сегмент. Для вычисления момента инерции сферического сегмента относительно оси симметрии сегмента достаточно будет в равенстве (27) предположить, что меридиан представляет собой окружность с центром на оси вращения, например, в начале координат. Если обозначим через $R$ радиус этой окружности, т. е. радиус сферы, которой принадлежит сегмент, то будем иметь
\[
f(z)=\sqrt{R^{2}-z^{2}}
\]

и, следовательно,
\[
\begin{aligned}
I & =\frac{\pi \mu}{2} \int_{z_{1}}^{z_{3}}\left\{R^{4}-2 R^{2} z^{2}+z^{4}\right\} d z= \\
& =\frac{\pi \mu}{2}\left\{R^{4}\left(z_{2}-z_{1}\right)-\frac{2}{3} R^{2}\left(z_{2}^{3}-z_{1}^{3}\right)+\frac{1}{5}\left(z_{2}^{5}-z_{1}^{5}\right)\right\} .
\end{aligned}
\]

Если сферический сегмент имеет только одно основание, то в предыдущей формуле надо положить
\[
z_{1}=0 .
\]