1. Принимая для $f$ крайние значения, указанные в п. 2 , найти пределы между которыми может изменяться угол трения $\varphi$ (от $4^{\circ}$ до $37^{\circ}$ в круглых цифрах).
1) В этих упражнениях для краткости мы употребляем выражение: „сила, которая может сдвинуть“, вместо точного выражения: „сила, которая может привести точку в условия предельного равновесия“.

2. Тяжелое тело покоится на шероховатой горизонтальной плоскости. Угол трения равен $\varphi$. Доказать, что наименьпая сила, которая может сдвинуть тело, образует угол $\varphi$ с плоскостью.
3. Тяжелое тело опираетея на наклонную плоскость. Какова будет напменьшая сила $\tau_{1}$, достаточная для тог, чтобы сдвинуть тело вверх, в предположении, что сила действует по линии наибольшего наклона? Наоборот, какова будет наименьшая сила $\tau_{2}$, направленная в противоположную сторону, лод действием которой тело начнет опускаться?

Во втором случае, конечно, предполагается, что угол трения $\varphi$ превосходит угол наклона $\alpha$, так как в противном случае движение точки вниз началось бы без действия какой бы то ни было силы. $\left[\tau_{1}=p\right.$ ( $f \cos a+$ $+\sin \alpha), \tau_{2}=p(f \cos \alpha-\sin \alpha)$, где $p$ – вес тела, $f$-коәффициент трения.]
4. В дополнение к предыдущему упражнению определить величину и направление наименьшей добавочной силы, которая может сдвинуть тело. [Сила лежит в вертикальной плоскоети, содержащей линию наибольшего наклона к горизонту, и направлена перпендикулярно к той образующей конуса трения, которая составляет нанменьший угол е вертикалью; величина сплы равна $p \sin (\varphi-a)$.]
5. Тяжелое тело весом $\boldsymbol{p}$ опирается на наклонную плоскость (угол наклона $\alpha$ больше угла трения $\varphi$ ). Покєзать, что наименьшая горизонтальная сила, под действием которой тело может оставаться в равновесии, равна $p \sin (\alpha-\varphi)$.
6. Тяжелый парик может двигаться внутри трубки, изогнутой по окружности и расположенной в вертикальной плоскости: коәффициент трения шарика о трубку есть $f$. Какова та часть трубки, внутри которой тарик может оставаться в равновесии?
7. Тело весом в 120 ки опираетея на внутреннюю поверхность полой сферн. Оно находится в равновесии в некотором положении, смещенном на $20^{\circ}$ от самой низкой точки (в том смысле, что радиус сферы, проходящий через положение равновесия, составляет с вертикалью угол в $20^{\circ}$ ). Коәффициент трения $f$ равен 0,56 . Вычислить нанменьшее уеилие $\tau$, направленное к самой низкой точке, при пэмощи которого можно сдвинуть тело $(\tau=20,43 \kappa \imath)$.
8. Иллюстрировать геометрически количественную меру устойчивости $\left(f F_{n}-T\right) / F_{n}$, указанную в п. 17. Достаточно для этого ввести угол $\psi$, который активная сила $\boldsymbol{F}$ составляет с нормалью $n$, и заметить, что предыдущее отношение принимает тогда чисто гесметрический вид $\operatorname{tg} \varphi-\operatorname{tg} \psi$.