1. Стержневая система находится в равновесии в вертикальной плоскости. Три последовательных стержня в одном и том же направлении обхода наклонены к горизонтали под углами $\alpha, \beta, \gamma$. Промежуточные узлы этих трех стержней находятся под действием вертикальных нагрузок $p$ и $q$. Доказать, что существует соотношение
\[
\frac{p}{q}=\frac{\sin (\alpha-\beta) \cos \gamma}{\sin (\beta-\gamma) \cos \alpha} .
\]
2. Показать, что если линии дейсгвия сил, приложенных к промежуточиым узлам веревочного многоугольника, пересекаютея в одной и той же точке $O$, то веревочный многоугольник лежит в плоскости, проходящей через $O$. Различные усилия $\boldsymbol{\Phi}$ все имеют один и тот же момент относительно точки $O$.
3. Стержневая система $P_{1} P_{2} \ldots P_{n-1} P_{n}$ (с чисто узловыми внешними силами) представляет собой простой замкнутый многоугольник, в котором $P_{n}$ совпадает е $P_{1}$. Для того чтобы ииеть условия равновесия, достаточно отбросить условия на концах (6) и, ндоборот, присоединить одно уравнение к уравнениям (5) (приписывая, например, индексу $i$ также значение 1 и замечая, что индекс 0 должен быть отождествлен е $n$ ).
В этом случае точки $Q_{1}$ и $Q_{n}$ силового многоугольника должны совпасть. Показать, что существует такая точка $O$ (полюс), что отрезки $O Q_{1}$, $O Q_{2}, \ldots, O Q_{n-1}$, по величине и направлению, представляют усилия $\Phi_{i, i-1}$ (доетаточно применить правило, указанное в II. 26).
Как можно определить положение полюса, если заданы длины стержней веревочного многоугольника и силы $\boldsymbol{F}_{1}, \boldsymbol{F}_{2}, \ldots, \boldsymbol{F}_{n}$, приложенные к узлам?
4. Два кольца $P, Q$ могут скользить (без трения) вдоль нити заданной длины и ничтожного веса, привязанной к двум точкам $A, B$.
На первое кольцо действует только его вес $p$, на второе кольцо с ничтожным весом действует сила величиной $q$ в заданном направлении, не вертикальном, но содержащемся в вертикальной плоскости, проходящей через точки $A, B$.
При равновесии угол между двумя частями нити, которыө сходятся в $P$, должен делиться пополам линией действия приложенной силы (веса кольца $P$ ); то же самое нужно сказать и о частях нити, сходящихся в $Q$.
Доказать это свойство, исходя из замечания, что равновесие должно существовать и в том случае, когда мы закрепим одно из колец, благодаря чему к другому можно применить рассуждения гл. IX, п. 13; два отрезка нити будут тогда фокальными радиусами-вектораки эллипса, а еила будет направлена по нормали к эллипсу.
Отсюда тотча же следует, если прннять во внимание условия равновесия колец (узлов) $P$ и $Q$, что абсолютная величина растягивающего усилия остаетея постоянной вдоль нити.
Мы можем поэтому решить задачу графическим способом, пользуясь силовым многоугольником. Достаточно провести из какой-нибудь точки $Q_{2}$ отрезок $Q_{2} Q_{3}$, эквиполлентный весу $
ot$, из $Q_{3}$ отрезок $Q_{3} Q_{4}$, эквиполлентный другой силе $q$, и ваметить, что полюс $Q_{1}$ должен находиться на равных расстояниях от точек $Q_{2}, Q_{3}, Q_{4}$ (вследетвие постоянства натяжения) и лежать в той же плоскости, что и эти точки, так что он должен совпадать с центром круга, описанного около треугольника $Q_{2} Q_{3} Q_{4}$.
Распространить решенне на случай, в котором заданное направление еилы $q$ не лежит в вертикальной плоекости, проходяцей через точки $A, B$, а также на случай, в котором вместо того, чтобы задать направление, требуют, чтобы линия действия силы $q$ проходила через некоторую точку $C$ вертикальной плоскости, содержащей точки $\boldsymbol{A}, \vec{B}$. (Заметим, что это последнее предположение можно осуществить очень просто, помещая в $C$ блок, по желобу которого проходит нить, прикрепленная одним концом к кольцу $Q$ и несущая на цругом конце груз q.)
5. Тяжелая неоднородная нить, прикрепленная к двум неподвижным точкам $A, B$, находяцимея на одной и той же высоте, располагается по дуге окружности (нижней полуокружности). По какому закону должна изменяться плотность (линейная) нити?
Каково выражение натяжения в любой точке?
6. Тяжелая нить, подвепенная аa ее концы, располагаетея по кривой, представляемой уравнением $c y^{3}=x^{4}$ ( $c$ – постоянная, ось $y$ вертикальна). В какой точке находитея максимум линейной плотности нити? Каково это максимальное значение?
7. Два конца $A$ и $B$ поддерживающего каната висячего моста не находятея на одном и том же уровне. Обозначив через $h$ превышение точки $A$ над $B$, через $f$ превышение точки $B$ над нижней точкой каната (стрела провеса), через $a$ пролет, через $2 p$ вес 1 noч. м моета, определить наибольшее натяжение, которому подвергаетея канат.
8. Канат закреплен в двух точках $A, B$, расположенных на одном и том же уровне. Fго нагрузка состоит из двух равных клиньев, имеющих вид прямоугольных треугольников, симметрично расположенных относптельно средней вертикали таким образом, что два катета их горизонтальны, равны каждый $A B / 2$ и имеют на средней вертикали общую точку, представляющую еобой общую вершину острых углов треугольников.
Можно ечитать, что на каждый элемент $d s$ нити действует вертикальная сила (направленная вниз), пропорциолальная горизонтальной проекции әлемента п своему расстоянию от средней вертикали. Принимая әту вертикаль за ось $y$ (с положительным направлением вверх) и обозначая через $p$ множитель пропорциональности, показать, что для проекции $Y$ силы, отнесенной к единице длины, мы будем иметь выражение – $p|x| \frac{d x}{d s}$ (пг. 46 и 50). Определить веревочную кривую на основании уравнений (45), а также (при очевидном значении букв) соотношение между $f, \varphi, p$ и $a$.
9. Длина дуги $s$ цепной линии, отсчитываемая от вершины (нижней точки), выражаетея через угол наклона $\theta$ касательной к горизонтальной плоскости формулой [см. формулы (55) и (57)]
\[
s=\frac{\varphi}{p} \operatorname{tg} \theta .
\]
Однородная тяжелая нить $A C$ длиной $l$ прикреплена одним концом к данной точке $A$ и свешиваетея таким образом, что, начиная от некоторой точки $\boldsymbol{B}$, идет далее по линии наибольщего наклона данной плоскости $\pi$. В точке $A$ имеется етенка, наклоненная под углом $\alpha$ к вертикали, и нить касается ее. Угол наклона плоскости $\pi$ равен $\beta$. Определить длину $l_{1}$ куска $B C$ нити, лежащего на этой плоскости, в лредположении, что трение ничтожно и им можно пренебречь. (Приравнять значения натяжений в точке $\boldsymbol{B}$, относящихся к кускам $A B$ и $B C$. Перрвоє определяетея обычной формулой для натяжения цепной линии [формулой (65)]; второе – это надо доказать равно произведению веса куска $B C$ на $\sin \beta$.)
10. Дана однородная нить длинои $l$. В одном случае концы ее прикрепляют к двум неподвижным точкам $A$ и $B$, лежацим на одной и той же горизонтали, и оставляют под действием ее веса. В другом елучае ее поддерживают также и в средней точке, прикрепляя эту точку к ередине $C$ отрезка $A B$. Доказать, что в крайних точках $A, B$ обе цепные линии второго случая имеют тот же самый наклон, что и цепная линия в первом случае, в то время как натяжение во втором случае в два раза меньше, чем в первом.
11. Однородная нить длиной $l$ прикреплена одним концом $к$ неподвижной точке $A$ и проходит по небольшому блоку $B$, расположенному на выеоте точки $A$. Часть нити, находящаяся за блоком, свободно свешивается вниз.
Выразить длину $l_{1}$ свешивающенсе части нити в функци от $l$ и от $a$ (расетояние $A B$ ), предполагая ничтожными размеры и трение блока.
Каково наибольшее значение $a$, при котором еще возможно равновесие?
12. Расстояние а между двумя последовательными изоляторами телефонной тинии равно 80 м. Провод (бронзовый, диаметром в 1 мж) весом 7 к подвешивания грузом в 4 кі. Эта нагрузка действовала на проволоку в горизонтальном направлении (посредетвом блока) до пайки, так что ее можно отождествить с горизонтальным натяжением $\varphi$. Так как отношение
\[
\frac{p a}{\varphi}=\frac{7 \cdot 10^{-3} \cdot 80}{4}=0,14
\]
достаточно мало, то цепную линию межно расематривать как дугу параболы (п. 54) и пользоватьея соотношением (48).
Предполагаетея, что подвепиваніе провода производилось летом при средней температуре $20^{\circ}$. Когда температура падает, проволока укорачиваетея и ее длина становитея равной $l^{\prime}\langle l$; $\boldsymbol{a}$, конечно, остаетея неизменным, а $p$ мы должны будем заменить через $p^{\prime}=p l / l^{\prime}$. Это увеличивает натяжение и дает новое значение $\varphi^{\prime}$ величине $\varphi$. Определить $\varphi^{\prime}$ [пользясь равенством $\left(48^{\prime}\right)$ ] для наиболее низкой зимней температуры, считая ее равной $-10^{\circ} \mathrm{C}$ и приняв коэффициент раеширения провода равным $16 \cdot 10^{-6}$ см на каждый градус Цельсия. Найти также наибольшее натяжение провода при заданных условиях $[6,225 \% ; \mathrm{ep}$. G. Bisconcini, Boll. dell’ Unione Mat. Italiana, IV, 5-7 (1925)].
13. У дуги цепной линии концы находятея на одном и том же уровне. Если $a$ означает пролет, то наибольшим значением натяжения $T$, согласно формулам (65) и (56), будет
\[
\tau=\frac{\varphi}{2}\left\{e^{p a / 2 \varphi}+e^{-p a / 2 \varphi}\right\} .
\]
Для нити с заданной величиной веса единицы длины (или с заданной линейной плотностью) $\tau$, как мы видим, изменяетея вместе с длиной $a$ пролета, постоянно возрастая, и вместе с горизонтальным натяжением $\varphi$ (которое зависит от длины нити).
Допуетив, что $\tau$ не должно превосходить заданный предел $\tau_{0}$ (для того чтобы не подвергать нить излишней опасности), показать, как определить предельный пролет $a_{0}$ (т. е. наибольшую его величину, совместную с условием $\tau \leqslant \tau_{0}$ ).
Показать, что:
1) Если обозначить через $\varphi_{0}$ то знєчение $\varphi$, которое мы имеем в случае цепной линии, соответствующей предельному пролету, то $p a_{0} / 2 \varphi_{0}$ является корнем уравнения
\[
e^{z}+e^{-z}-z\left(e^{z}-e^{-z}\right)=0 .
\]
2) Предыдущее уравнение относительно $z$ имеет только один положительный корень, заключенный между 1 и 2 ; приближенное значение этого корня есть 1,2 .
3) Численное значение $a_{0}$ в функции от $\tau_{0}$ получаетея из двух уравнений
\[
\frac{p a_{0}}{2 \varphi_{0}}=1,2, \quad \tau_{0}=\frac{\varphi_{0}}{2}\left\{e^{1 ; 2}+e^{-1,2}\right\} .
\]
4) Стрела провеса $f$ и длина $l$ нити, определяемые вообще из равенств
\[
\begin{aligned}
f & =\frac{\varphi}{2 p}\left\{e^{p a / 2 \varphi}+e^{-p a / 2 \varphi}-2\right\}, \\
l & =\frac{\varphi}{p}\left\{e^{p a / 2 \varphi}-e^{-p a / 2 \varphi}\right\},
\end{aligned}
\]
будут равны приближенно $1 / 3$ и $5 / 4$ предельного значения.
Вычислить $a_{0}$ для случая бронзового телефонного провода в 1 мж диаметром, принимая $\tau_{0}=15 \kappa i$ и, как и в предыдущем упражнении, $p=0,007$ ки на 1 nог. ж. (Будем иметь $a_{0}=2841$ ж.)
Заметим, что для всякого значения величины $a$, меньшего предельного пролета, стрела провеса, соответствующая наименьшему значению $\tau$, связана с $a$ тем же самым соотногением, которое связывает $f_{0}$ с $a_{0}$.
При числовых данных задачи $a=1$ км, т. е. не превосходит $a_{0}$. Пользуясь для стрелы провеса $f$ предыдущим выражением при $p a / 2 \varphi=1,2$ (т. е. около одной трети километра), определить, каково будет нанбольшее растягивающее усилие? [Cp. Bisconcini, цит. место, етр. 341-345.]
14. Исследуем вопрос предыдущего упражнения (определить наибольший пролет, совместимый с условием $\tau \leqslant \tau_{0}$ ) на основании приближенной формулы, которой объчно пользуютея техники и инженеры (п. б4). Однако надо заметить (это можно проверить вычислением), что таким образом мы найдем только грубо приближенные результаты (с относительной ошибкой около $10 \%$ ). Причину этого мы найдем, если покажем, что из формул, относящихея к сильно натянутой нити, следует равенство
\[
\frac{p a_{0}}{\varphi_{0}}=\sqrt{8},
\]
так что мы находимся вне области, в которон было бы законным (п. 54) применение приближенной формулы. Cp. Bisconcini, Boll. dell’ Unione Mat. Italiana, IV, 5-7 (1925), стр. 345 -346.
15. Приведем следующие (почти очевидные) геометрические замечания. 1) Если $\rho$ и $\varphi$ – полярные координаты точки $P$ на плоскости, а $i$ и $j$ – единичные векторы соответствующей декартовой системы осей Oхy, то будем иметь
\[
\overrightarrow{O P}=p(\cos p i+\sin \varphi j) .
\]
2) Для окружности с радиусом $R$ (так как $d s=R d \varphi$ ) отсюда следует
\[
\begin{array}{c}
\boldsymbol{t}=\frac{d P}{d s}=-\sin \varphi i+\cos \varphi j, \\
\boldsymbol{n}=-\frac{1}{R} \overrightarrow{O P}=\cos \varphi \boldsymbol{i}-\sin \varphi j .
\end{array}
\]
3) И, наконец, для винтовой линии на круговом цилиндре имеем, на основании формул гл. I, п. 82 ,
\[
\begin{aligned}
t & = \pm \sin \theta(-\sin \varphi i+\cos \varphi j)+\cos \theta k, \\
n & =\boldsymbol{N}=-\cos \varphi \boldsymbol{i}-\sin \varphi j, \\
b & =\boldsymbol{t} \times \boldsymbol{n}=\cos \theta(\sin \varphi \boldsymbol{i}-\cos \varphi j) \pm \sin \theta k,
\end{aligned}
\]
причем будут иметь место верхние или нижние знаки, в завиеимости от того, идет ли речь о правой или левой винтовой линии.
Имея в виду эти замечания, покақать, что если при равновесии тонкого стержня, имеющего форму винтовой линии, внешняя сила $\boldsymbol{F}$ обращается в нуль и, следовательно, усилие $\boldsymbol{\Phi}$ пөредается неизменным, то проекции его $\Phi_{1}$ на касательную, $\Phi_{2}$ на главную нормаль, $\Phi_{3}$ на бинормаль будут изменяться вместе с $\varphi$ согласно формулам
\[
\begin{array}{l}
\Phi_{1}=\mp A \sin \theta \cos (\varphi+\alpha)+B \cos \theta, \\
\Phi_{2}=A \sin (\varphi+\alpha) \\
\Phi_{3}=A \cos \theta \cos (\varphi+\alpha) \pm B \sin \theta,
\end{array}
\]
где $A, B, \alpha$ (а также и $\theta$ ) – постолнные, а для знаков остаетея в силе указанное выше условие. В частном случае, когда уеилие $\boldsymbol{\Phi}$ является чисто осевым, $A=0$.
16. В предположении, что внешние силы приложены исключительно к концам тонкого стержня, находящегося в равновесии $(\boldsymbol{F}=0$ ), на основании уравнений (75) остаетея постоянным не только $\boldsymbol{\Phi}$, но также и $\boldsymbol{\Gamma} \cdot \boldsymbol{\Phi}$.
17. Вывести из внутренних уравнений равновесия тонкого стержня (п. 68) три дифференциальных соотношения, каждое из которых содержит только одну из величин $\Phi_{1}, \Phi_{2}, \Gamma_{3}$.
18. Определить (на основании уравнений п. 68) общие выражения для перерезывающего усилия и изгибающего момента вдоль тонкого кругового стержня, подвергающегося дейетвию равномерно распределенных сил ( $F_{t}$ I $F_{n}$ – постоянные).
Указать статическое значение постолнных, вводимых интегрированием (представляя себе стержень разрезанным вдоль любого нормального сечения).
