1. Если твердое тело находится в поступательно-вращательном движении, в котором угловая скорость $\boldsymbol{н}$ и ускорение $a_{0}$ какөй-нибудь точки $O$ постоянны, то переносная сила инерции $\chi$ (для всякой точки твердого тела) не будет зависеть от времени.

Показать, что нө существует других движений твердого тела, обладающих аналогичными свойствами.
2. Тонкий стержень $A B$, наклоненный под углом $\theta$ к вертикали, направленной вверх и проходящей через конец $A$, вращается вокруг этой вертикали с постоянной угловой скоростью $ю$. Тяжелый шарик может двигаться без трения по стөржню. На каком расстоянии $l$ от $A$ шарик может находиться в относительном равновесии?
3. Тяжелый шарик может двигатьея без трения вдоль окружности, которая равномерно вращаөтся вокруг вертикальной оси, лөжащөй в плоскости окружности.

Показать, что для шарика, в зависимости от случая, могут быть четыре, два или ни одного положения относительного равновесия.
4. Применить статическое понятие об устойчивости (гл. IX, § 4) к относительному равновесию тяжелой точки, вынужденной оставаться на сфере, вращающейся без трения вокруг вертикальной оси (п. 8).
[Iринимая во внимание, что работа реакции при пөремещении точки по сфере равна нулю, мы придем к рассмотрению (гл. IX, П. 19) потенциала двух сил, веса и центробежной силы, в окрестности положөния равновесия.]
5. На какой поверхности, в предположении, что она абсолютно гладкая и равномерно вращается вокруг вертикальной оси, тяжелая точка может находиться всюду в относительном рввновесии?

Ответ. На параболоиде $\left(\omega^{2} / 2\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)-g z=$ const (ось Oz направлена вертикально вверх).
6. Пусть $C$ – твердое төло, равноиерно вращающееся вокруг неподвижной оси, $G$ – центр тяжести тела. Найти результирующую $\boldsymbol{R}$ и результирующий момент $\boldsymbol{M}$ центробежных сил относительно какой-нибудь точки $\boldsymbol{O}$ оси в вывести затем условия, при которых система центробежных сил равносильна одной силе или одной паре или нулю.

Ответ. Результирующая $\boldsymbol{R}$ тождественна с центробежной силой точки $G$, в предположении, что в ней сосредоточена вся масса тела. Если за систөму отсчета примем систему осей с началом в точке $O$ и с осью $z$, направленной по оси вращения, то получим
\[
\boldsymbol{M}=\omega^{2}\left(-A^{\prime} \boldsymbol{i}+B^{\prime} j\right),
\]

где $\omega$ – есть угловая скорость и $A^{\prime}, B^{\prime}$ – произведения инерции $\sum m_{i} y_{i} z_{i}$, $\sum_{i} m_{i} z_{i} x_{i}$

7. Твердый диск движется произвольным образом в своей плоскости. Определить (на основе п 59 гл. V) систему приложенных векторов, составленную из переносных сил инерции.
8. Показать, что материальная точка $P$, находящаяся под действием центральной притягивающей силы (гл. VII, п. 29, в), может равномерно описывать вокруг центра силы $O$ произеольную окружность $C$, лишь бы угловая скорость $н$ имела надлежащую величину.
[Условие, которое накладывается на $P$, равносильно, очевидно, требованию находиться в относительном равновесии по отношению к осям, лежащим в плоскости окружности $C$ и равномерно вращающимся вокруг точки $O$ с той же самой угловой скороетью $\omega_{i}$ с к кой вращаетея радиуе точки $P$.

Тогда все сведется к выбору угловой скорости є таким образом, чтобы центробежная сила уравновешивала притяжение.]
9. Показать (применяя указание предыдущего упражнения), что система, состоящая из двух материальных точек $P$ и $P_{1}$, притягивающихея по закону Ньютона, может равномерно вращаться (так, как если бы точки были неизменно связаны) вокруг их центра тяжести. Угловая скорость должна в этом случае удовлетворять соотношению
\[
\omega^{2}=\frac{f\left(m+m_{1}\right)}{d^{3}},
\]

где $m, m_{1}$ представляют собой массы обеих точек, $d$ есть расстояние между ними и $f$ – постоянная тяготения.
10. Указать конфигурацию относительного равновесия равномерно вращающейся ! ибкой и нерастяжимой нұти. Предполагаетея, что концы $A$ и $B$ нити прикреплены к двум точкам оси вращения, что нить однородна и весом өе можно пренебречь по сравнению с центробежной силой.
11. Ремень трансмиссии весит 270 乞 на погонный метр. Он движется со скоростью $15 \mathrm{~cm} /$ сек.

Сопротивление, которое надо преодолеть (в обозначениях § 6), имеет момент $\gamma=20$ (где силы выражены в килограммах, а длины в метрах). Положив $r=0,6 \boldsymbol{\mu}, f=0,28, \theta=\pi$ (в предположении, что оба шкива $C$ и $C_{1}$ равны), найти растягивающие усилия $T_{A}$ и $T_{B}$.
Ответ. $T_{A}=20,8 \kappa \imath ; T_{B}=62,5 \kappa \imath$.
12. Показать, что если бы угловая скорость Земли была в 17 раз больше, то тела на экваторе (приближенно) были бы лишены веса.