11. Мы занимались уже подробно статикой твердого тела (гл. XIII).
Наше изложение основывалось, если не считать основных принципов механики, тольжо на одном специальном постулате (гл. XIII, п. 1):

Равновесие твердого тела не нарушается, если к двум любъм его точкам прикладываются две равные по величине и прямо противоположные силы.

Мы покажем сейчас, что это утверждение, введенное ранее как самостоятельный постулат ради удобства, т. е. ради возможности дать простое и элементарное изложение всей статики твердого тела, георетически является лишь частным следствием принципа виртуальных работ.

Доказать это можно непосредственно. Достаточно с одной стороны заметить, что естественные твердые тела, к которым относится указанный выше характеристический постулат, должны (приближенно) рассматриваться как неизменяемне системы. С другой стөроны, вспомним (п. 3), что сумма элементарных работ двух равных и прямо противоположных сил на всяком (бесконечно малом) перемещении, не изменяющем расстояния между точками приложения сил, равна нулю; это обстоятельство имеет место для всякого виртуального перемещения твердого тела.

После этого становится ясным, что если твердое тело (с какими угодно связями) находится в равновесии и, следовательно, сумма виртуальных работ различных аєтивных сил $\delta L \leqslant 0$, то это же соотнопение будет иметь место и после присоединения двух равных и прямо противоположных сил, так как сумма элементарных работ таких сил при всяком виртуальном перемещении твердого тела равна нулю.
12. Так как характеристический постулат статики твердого тела входит в принцип виртуальных работ, то в него должны входить также и его следствия, в частности условия, определяющие равновесие в различных случаях, рассмотренных в гл. XIII.

Укажем здесь коротко, как можно их снова найти, пользуясь общим соотнопением статики.

Рассмотрим сначала свободное твердое тело, т. е. систему материальных точек, подчиненных исключительно связям неизменяемости;

пусть тело находится под действием данных активных сил. Вспомним сначала, что, выбрав за дентр приведения какую-нибудь точку $O$, неизменно связанную с телом, щы получим наиболее общее виртуальное перемещение какой нибудь точки $P_{i}$ в виде (гл. VI, п. 16)
\[
\delta P_{i}=\delta O+\omega^{\prime} \times \overrightarrow{O P}_{i},
\]

тде $\delta O$ и $\omega^{\prime}$ обозначают два пройзвэльных бесконечно малых вектора (виртуальное перемещение полюса $O$ и виртуальное вращение вокруг точки $O$ ).

Поэтому если $\boldsymbol{F}_{i}$ есть равнодействующая сил, прямо приложенных к точке $P_{i}$, то виртуальная работа активных сил определится равенством
\[
\delta L=\sum_{i} \boldsymbol{F}_{i} \cdot\left[\delta O+\omega^{\prime} \times \overrightarrow{O P}_{i}\right]
\]

раскрыв скобки и приняв во внимание векторное тождество (г.л. I, п. 25)
\[
\boldsymbol{F}_{i} \cdot\left[\omega^{\prime} \times \overrightarrow{O P}_{i}\right]=\omega^{\prime} \cdot\left[\overrightarrow{O P}_{i} \times \boldsymbol{F}_{i}\right],
\]

мы приведем полученное равенство к вигу
\[
\delta L=\delta O \cdot \sum_{i} \boldsymbol{F}_{i}+\omega^{\prime} \cdot \sum_{i} \overrightarrow{O P}_{i} \times \boldsymbol{F}_{i} .
\]

Обозначив результирующую акгивных сил и их результирующий момент относительно точки $O$, входящие в последнее равенство, соответственно через $\boldsymbol{R}$ и $\boldsymbol{M}$, мн получим общее выражение для виртуальной работы активных сил
\[
\delta L=\delta O \cdot \boldsymbol{R}+\boldsymbol{\omega}^{\prime} \cdot \boldsymbol{M},
\]

которое, как мы видим, зависит от $\boldsymbol{R}, \boldsymbol{M}$, а также и от характеристических векторов $\delta O$ и $\boldsymbol{\omega}^{\prime}$ виртуального перемещения.

Так как здесь рассматриваются лишь связи, обеспечивающие неизменяемость системы, которые не могут допускать необратимых виртуальных перемещений, то можно воспользоваться общим уравнением статики; таким образом, мы приходим к заключению, тто для равновесия необходимо и достаточно, чтобы удовлетворялось уравнение
\[
\delta O \cdot \boldsymbol{R}+\boldsymbol{\omega}^{\prime} \cdot \boldsymbol{M}=0
\]

при каком угодно выборе характеристических векторов $\delta O$ и $\omega^{\prime}$, что равносильно двум уеловиям
\[
\boldsymbol{R}=0, \quad \boldsymbol{M}=0 ;
\]

эти условия совпадают с теми, которые мы уже нашли в качестве основных ус.овий равновесия свободного твердого тела в п. 3 г.л. XIII, так как в рассматриваемом случае актдвные силы явдяются в то же зремя внешними и, наоборот, все внешние силы являются только лктивными.

В случае твердого тела, запрепленного в одной точке, выбрав юлюс в этой точке, мы можем выразить самое общее виртуальное леремещение точки $P_{i}$ (гл. VI, іл. 17) в виде
\[
\delta P_{i}=\omega^{\prime} \times \overrightarrow{O P}_{i} \quad(i=1,2, \ldots, N)
\]

и, следовательно, будем иметь
\[
\delta L=\boldsymbol{\omega}^{\prime} \times \boldsymbol{M} .
\]

Так как бесконечно малый вектор $\omega^{\prime}$ являетея совершенно произвольным, то обращение в нуль $\delta L$ равносильно условию $\boldsymbol{M}=0$, которое было получено прямым путем в п. 5 гл. XIII как необхоцимое и достаточное условие равновесия твердого тела в этом случае.

Подобным же образом мы можем снова найти условие равновесия для твердого тела с закрепленной осью (гл. XIIII, II. 8), между тем как в случае тяжелого твердого тела, опирающегося на другие тела (гл. XIII, § 4), благодаря наличию односторонних связей мы получим условия равновесия, применив вместо общего уравнения общее соотнощение статики $\delta L \leqslant 0$.
13. Не бесполезно отметить, что в то время как силы, входящие в выражение виртуальной работы $\delta L$, в общем соотношении статики все являются только активными, в элементарной статике (гл. XII, § 3) основные уравненяя содержали внешние силь; потом из основных уравнений исключались реакции связей, поэтому окончательные условия равновесия содержат силы, которые являются одновременно активными (т. е. не происходящими от связей) п внешними.

Может показаться, что силы, рассмотренные обоими методами, не являются одними и теми же и что элементарный метод вводит только часть тех сил, которые јчаствуют в образовании $\delta L$.

Строго говоря, это действительно так; но речь идет о несущественном различии, потому что возможные внутренние активные силы, будучи попарно равными п прямо противоположными, нкчего не прибавляют к $\delta L$ (см. п. 3, „в“) и, следовательно, от них можно отвлечься.

Поэтому из формального тожества окончательных условий равновесия (даваемых для различных случаев обоими методами), можно заглючить о полном их совпадении, рассматривая в них только внешние активные силы.
14. Наконед, укажем еще, не приводя доказательства, что, исходя пз принципа виртуальных работ, можно построить статику гибких и нерастяжимых нитей, полученную нами (гл. XIV) гак предельный случай статики стержневых систем на основе очевидного специального постулата (гл. XIV, § 7), еслх выразить аналитически все перемещения нити, совместимые с нерастяжимостью ее элементов. Это приводит, как показал Лагранж, к введению (сначала как вспомогательного элемента вычислений) функции $T$ точек нити, которая потом истолковывается как натяжение; в конце концов этим путем мы приходим к тем же самым векторным соотношениям, которые были уже найдены в упомянутой главе [неопределенное уравнение (42) и условия на концах (43)].