4. Если даны две материальные точки $P$ и $Q$, то по закону Ньютона они испытывают равные и прямо противоположные притяжения. Очень часто приходится рассматривать только одно из них, например, притяжение, испытываемое точтой $P$. Тогда обнаруживается различная роль, приписываемая обеим точкам $Q$ и $P$. Мы будем называть $Q$ притягивающей точкой (или притягивающей массой) и $P$ – притягиваемой точкой.
1) Кәвендиш Генри родился в Нщце в 1731 г., умер в Лондоне в 1810 г. Был членом Лондонского королевского общества и членом Французской академии наук.

Доклад о его опытах над притяжением тел был опубликован под названием \”Experiments to determine the density of the Earth\” (Philosophical Transactions, 1798).
2) Новей шие определения указывают для $f$ чнсленное значение $6.664 \cdot 10^{-8}$. Cм., вапример, доклад: P. R. Hey 1, Proc. of the National Academy of Sciедces, т. 18, Вашингтон, 1927.

Легко убедиться, что притяжение точки $P$ точкой $Q$, рассматриваемое в зависимости от положения точки $P$, является консервативной силой. Достаточно заметить, что мы имеем дело с центральной силой, так как линия действия силы притяжения должна постоянно проходить через точку $Q$ (положение которой не зависит от положения, или, что одно и то же, от координат точки $P$ ); величина $f \frac{m m_{1}}{r^{2}}$ является, очевидно, функцией только расстояния $r$ точки $P$ от центра притяжения.

Так как сила является притягивающей, то ее радиальная проекция (т. е. проекция на направление $Q P$ ) имеет значение $-f \frac{m m_{1}}{r^{2}}$. Это п есть та функция от $r$, которую мы обозначали через $\varphi(r)$, рассматривая центральные силы в общем случае [г.. VII, II. 29, в]. Мы видели тогда, что потенциал $U$ есть не что иное, как неопределенный интеграл от функции $\varphi(r)$; поэтому в настоящем случае, с точностью до несущественной аддитивной постоянной, мы будем иметь
\[
U=f \frac{m m_{1}}{r} .
\]

Отметим, что мы придем, очевидно, к тому же самому выражению, если переменим роли точек $P$ и $Q$.

Шоэтому потенциал $U$, рассмагриваемый как функция от координат точки $P$, определяет проекции силы притяжения, испытываемой точкой $P$; наоборот, если потенциал рассматривать как функцию от координат точки $Q$, он определит проекции притяжения, исшытываемого точкой $Q$.

Все это можно догазать формально, вводя координаты $x, y, z$ точки $P$ и $x_{1}, y_{1}, z_{1}$ точки $Q$, после чего мы будем иметь
\[
r=\sqrt{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}+\left(z-z_{1}\right)^{2}} ;
\]

вышолнив дифференцирование $U$ по различным аргументам, получим
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial U}{\partial x}=-\frac{\partial U}{\partial x_{1}}=-f \frac{m m_{1}}{r^{2}} \frac{x-x_{1}}{r}, \\
\frac{\partial U}{\partial y}=-\frac{\partial U}{\partial y_{1}}=-f \frac{m m_{1}}{r^{2}} \frac{y-y_{1}}{r}, \\
\frac{\partial U}{\partial z}=-\frac{\partial U}{\partial z_{1}}=-f \frac{m m_{1}}{r^{2}} \frac{z-z_{1}}{r} .
\end{array}
\]

В последних частях этих равенств стоят проекции вектора длиной $f \frac{m m_{1}}{r^{2}}$ с направляющими косинусами $\left(x_{1}-x\right) / r,\left(y_{1}-y\right) / r$, $\left(z_{1}-z\right) / r$; эти направдяющие косинусы и показывают, что мы имеем здесь дело с’ притяжением, испытываемым точкой $P$. Приравняв эти проекции соответственно первым или вторым частям равенств, мы и получим формальное доғазательство высказанных выше утверждений.
5. В дальнейшем мы будем рассматривать $P$ только как притягиваемую точку и будем предполагать, что имеется какое угодно число притягивающих точек $Q_{i}(i=1,2, \ldots, n)$; обозначив через $m_{i}$ массу точки $Q_{i}$, через $x_{i}, y_{i}, z_{i}$ ее координаты, через $r_{i}$ ее расстояние от точки $P$, мы будем иметь для каждого из испытываемых этой точкой притяжений потенциал $f \frac{m m_{i}}{r_{i}}$ и, следовательно, для результирующей силы потенциал, ощределяемый суммой
\[
f \frac{m m_{1}}{r_{1}}+f \frac{m m_{2}}{r_{2}}+\ldots+f \frac{m m_{n}}{r_{n}}=f m \sum_{i=1}^{n} \frac{m_{i}}{r_{i}} .
\]

Обычно (см. замечание из гл. VII, п. 24, по поводу любого силового поля) отвлекаются от множителя $m$ и называют ньютоновъм потенциалом (потенциалом притяжения, пспытываемого точкой $P$ от притягивающих масс $m_{1}, m_{2}, \ldots, m_{n}$ ) функщию
\[
U=f \sum_{i=1}^{n} \frac{m_{i}}{r_{i}},
\]

ноторая, очевидно, является единичным потенциалом, т. е. потенциалом силы, которую испытывала бы единичная масса, помещенная в положение $P$.

Функция $U$, рассматриваемая как функция от координат $x, y$, $z$ точки $P$; очевидно, будет конечной и непрерывной для всех значений аргументов, при которых не обращается в нуль ни один из знаменателей $r_{i}, m$. е. для всех почек пространства, за исключением притягивающих точек $Q_{i}$. Когда точка $P$ приближается к какой-нибудь одной из точек $Q_{i}$, то один (и только один) из знаменателей $r_{i}$ стремится к нулю и функция $U(x, y, z)$ вследствие этого неограниченно возрастает.

Очень легко показать, что пооизводные от $U$ какого угодно порядка тоже нешрерывны во всякой точке, за исключением точек $Q_{i}$. Это имеет место, в частности, для первых производных, или проекций силы притяжения, что следует также из закона обратной пропорциональности квадратам расстояний.
6. Для всякой системы значений $x, y, z$, за исплочением значений $x_{i}, y_{i}, z_{i}$, остаются в силе обычные правила дифференцирования. Применяя кх к функции $1 / r_{i}$, последовательно найдем
\[
\frac{\partial \frac{1}{r_{1}}}{\partial x}=-\frac{x-x_{i}}{r_{i}^{3}}, \quad \frac{\partial^{2} \frac{1}{r_{i}}}{\partial x^{2}}=-\frac{1}{r_{i}^{3}}+\frac{\left(x-x_{i}\right)^{2}}{r_{i}^{5}}
\]

и аналогичные формулы для цеременных $y$ и $z$. Складывая три вторых производных и принимая во внимание, что
\[
\left(x-x_{i}\right)^{2}+\left(y-y_{i}\right)^{2}+\left(z-z_{i}\right)^{2}
\]

еєть не что иное, как $r_{i}^{2}$, тождественно получим
\[
\frac{\partial^{2} \frac{1}{r_{i}}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} \frac{1}{r_{i}}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} \frac{1}{r_{i}}}{\partial z^{2}}=0 .
\]

Отсюда для потенциала $U$ тотчає же получится уравнение
\[
\frac{\partial^{2} U}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} U}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} U}{\partial z^{2}}=0,
\]

представляющее собой уравнение с частными производными второго порядка; потенциал $U(x, y, z)$ удовлетворяет этому уравнению в каждой правильной точке (т.е. во всяғой точке, в которой функция $U$ и ее производные остаются конечными и непрерывными), или, иначе, в точке, отличной от притягивающих масс.
Уравнение (2) обычно пишетея в сокращенной форме
\[
\Delta_{2} U=0,
\]

где через $\Delta_{2}$ обозначен диффференциальный оператор
\[
\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}},
\]

применяемый к любой функции от $x, y, z$. Оно называется уравнением Лапласа ${ }^{1}$ ) и имеет основное значение не только для теории потенциала, но также и для других обяастей чистого и прикладного анализа.
7. Все предыдущее распространяется со случая конечного числа цритягивающих материальных точек на случай (более соответствующий действительности) масс, непрерывно распределенных внутри. некоторой области трех, двух или одного измерения, т. е. на случай материального тела, поверхности или линии $C$.

Представим себе, как обычно, тело $C$ разделенным на части $\Delta C$, каждая из которых рассматривается как материальная точка с массой $\Delta m$, локализованной в какой-либо геометрической точке $Q$ области пространства, занятой частью $\Delta C$ тела.
1) Лаплас Пьер Симон родился в 1749 г. в маленьком городке Бомоне на северо-западе Франции, умер в Париже в 1827 г. Известен не только результатами, полученными им в несесной механике и в различных областях математической физики (в часткости, в акустике, в теории капиллярности и в электромагнетизме), но также своими трактатами по небесной механике (в пяти томах) и по теории вероятностей и произведениями: \”Exposition du Système du mond\” (в двух томах) и „Essai philosophique sụr les probabilițés\”.

Обозначим через $r$ расстояние точки $Q$ от притягиваемой точки $P$ (которая, конечно, предполагается внешиней для области $S$, занятой телом $C$ и, следовательно, отличной от любой точки $Q$ ) и рассмотрим сумму
\[
f \sum \frac{\Delta m}{r},
\]

распространенную на различные части $\Delta C$.
Если введем плотность $\mu$ (которую надо считать, как обычно, конечной и, вообще говоря, непрерывной функцией от точек области $S)$, то, как известно, интеграл
\[
U=f \int_{S} \frac{\mu}{r} d S
\]

распространенный на область $S$, представляет собой предел, к которому стремится сумма $f \Sigma \frac{\Delta m}{r}$, когда число частей $\Delta C$, на которые мы делим тело, стремится к бесконечности по какому-нибудь закону, а объем $\Delta S$ каждой части стремится к нулю. Обоснование этого определения по существу тождественно с тем, которое было дано при выводе формул, определяющих положение центра тяжести (гл. X, п. 15), а также при вычнслении моментов инерции (гл. X, I. 31). Достаточно, чтобы была определена плотность и чтобы функция под знаком интеграла, т. е. в настоящем случае функция $\mu / r$, была интегрируема. Если ограничиться, как мы условились, притягиваемыми точками $P$, внешними для области $S$ (вследствие чего $r$ остается всегда $>0$ ), то можно утверждать, что $\mu / r$ является интегрируемой функцией, так как оба множителя $\mu$ и $1 / r$ интегрируемы; последний является, кроме того, конечной, непрерывной и дифференцируемой функцией как координат $\xi, \eta, \zeta$ любой притягивающей точки $Q$ (по которым должно выполняться интегрирование), так и координат $x, y, z$ притягиваемой точки $P$.

Далее, если мы будем рассматривать интеграл $\int_{S} \frac{\mu}{r} d S$ как функцию от координат $x, y, z$ точки $P$ (которые входят в подинтегральную функцию в виде параметров), то можно утверждать, что интеграл представляет собой функцию конечную, непрерывную и сколько угодно раз дифференцируемую; так как, кроме того, пределы области интегрирования не зависят от параметров $x, y, z$ (потому что при изменении $P$ область $S$ остается неизменной), то можно еще применить правило дифференцирования под знаком ичтеграла и, принимая во вниманиө, что $\mu$ есть функция точки $Q$ и не зависит от $x, y, z$, написать
\[
\frac{\partial U}{\partial x}=f \int_{\mathbb{S}} \mu \frac{\partial \frac{1}{r}}{\partial x} d S
\]

и аналогичные формулы для двух других координат; на таком же основании можно выполнять и дальнейшие дифференцирования. В частности, уравнение (2′) принимает при этом вид
\[
\Delta_{\mathbf{2}} U \equiv f \int_{S} \mu \Delta_{2} \frac{1}{r} d S=0 .
\]

Таким образом, дело обстоит так, как если бы функция $U$ была суммой конечного числа слагаемых: в этом последнем случае имеет место элементарное правило, заключающееся в том, что производная от суммы равна сумме производных от отдельных слагаемых.

Подобно тому, как потенциал $U$ является пределом, к которому стремится сумма $f \boldsymbol{\Sigma} \frac{\Delta m}{r}$, когда неограниченно уменьшаются части $\Delta C$, так и интеграл, стоящий в правой части равенства (4), является пределом суммы
\[
f \boldsymbol{\Sigma} \Delta m \frac{\partial \frac{1}{r}}{\partial x},
\]

представляющей собой проекцию на ось $x$ полного притяжения различных частей $\Delta C$, рассматриваемых как материальные точки. Полученный таким образом предел (при побом законе деления на части, лишь бы оно продолжалось до бесконечности) можно рассматривать как соответствующую проекцию полного притяжения, действующего на точку $P$ со стороны масс, непрерывно распределенных внутри области $S$. Отсюда имеем правило:

Для всякой притягиваемой почки $P$, внешней для области $S$, занятой притягивающими массами, проекчии силы притяжения равчи (как и в случае конечного числа притягивающих масс) соответствующим производным от потенииала $U$, выражающегося в виде
\[
U=f \int_{\mathrm{s}} \frac{\mu}{r} d S
\]

это выражение для $U$ совпадает с выражением для потенциала в случае конечного числа притягивающих точек [равенство (1)], за исключением лииь того, что сумма заменена здесь интегралом.
8. Возвращаясь оцять к случаю конечного числа притягивающих масс $Q_{i}(i=1,2, \ldots, n)$, вспомним (п. 5), что потенциал и сила притяжения безгранично возрастают, когда притягиваемая точка $P$ приближаетея к одной из точек $Q_{i}$.

В случае массы, распределенной непрерывно внутри некоторой области $S$ (одного, двух или трех измерений), сама собой возникает задача исследовать, что̀ происходит, когда притягиваемая точка $P$ неограниченно приближается $\mathrm{k}$ области $\$$ или находится внутри этой области.

Существенная разница, по сравнению с рассмотренным только что случаем точки $P$, внешней относительно тела (т. е. относительно области, занятой притягивающими массами), состоит в том, что функция $\mu / r$ под знаком интеграла в выражении потенциала $U$ обращается в бесконечность в точке $P$, если $P$ является внутренней для $S$, или стремится к бесконечности, если точка $P$ (предполагаемая внешней) неограниченно приближается к телу. Необходимо поэтому исследовать, как влияет особая точка, которую имеет подинтегральная функция, на потенциал $U$, на его производные, на проекции $X, Y, Z$ силы притяжения, на соотнопения
\[
X=\frac{\partial U}{\partial x}, \quad Y=\frac{\partial U}{\partial y}, \quad Z=\frac{\partial U}{\partial z},
\]

которые имеют место, когда речь идет о внешних точках, и т. д.
На все эти важные вопросы исчерпывающим образом отвечает теория потенциала $\left.{ }^{1}\right)^{*}$ ). Чтобы привести здесь те соображения и результаты, к которым при этом приходят, предпошлем некоторыө сведения из анализа.
9. Несовственные интегРалы. Обратимся сначала ради простоты к функции $f(x)$ от одного только переменного и предположим, что она остается конечной и непрерывной во всем закрытом интервале, от $x=a$ до $x=b$, за исключением лишь одной точки $x=c$, в которой она становится бесконечно большой. Если мы около точки $x=c$ рассмотрим интервал ( $c-\delta, c+\delta^{\prime}$ ), расположенный внутри заданного интервала, то фунгция $f(x)$ будет конечной и нешрерывной, а следовательно, и интегрпруемой от $x=a$ до $x=c-\delta$ и от $x=c+\delta^{\prime}$ до $x=b$, так что сумма двух интегралов
\[
\int_{a}^{c-\delta} f(x) d x+\int_{e+b^{\prime}}^{b} f(x) d x
\]

окажется вполне определенной и конечной. Если эта сумма стремится к конечному и определенному пределу при всяком одновременном стремлении к нулю $\delta$ и $\delta^{\prime}$, то этот предел называется несобственным интегралом от $a$ до $b$ фунцции $f(x)$ и обозначается символом
\[
\int_{a}^{b} f(x) d x .
\]
1) См., например, B etti, Teorica delle forze newtoniane, Пиза, 1879, гл. I; P o i с с a ré, Theorie du potentiel newtnien, Париж, 1889, гл. I – III, или еще Appell, Traité de mécanique rationelle, т. III, 3-е изд., Париж, 1921, гл. XXIX; Аппелль П., Руководство теоретической механики, т. IlI, гл. XXIX, 1911.
*) Идельсон Н. И., Теория потенциала с приложениями к теории фигуры Зөмли и геофизике, Ленинград, 1936; Сретенски Л. $\mathrm{H}_{5}$, Теория ньютоновекого потенциала, Москва, 1946. (IIрим, ред,)

Аналогично определяется и иптеграл $\int_{a}^{b} f(x) d x$, когда функция $f(x)$ обращается в бесконечность при значения $x=a$ или $x=b$; это определение распространяется и на более общий случай интеграла по области одного, двух или трех измерений фунгции $f(Q)$ переменной точки $Q$, когда функция остается конечной и непрерывной во всей области интегрирования, за исключением одной точки $P$, где она обращается в бесконечность. Если для определенности речь будет идти об области $S$ трех измерений, то мы будем представлять себе около точки $P$, внутри $S$, малую область $\gamma$, например сферу с центром в $P$ с достаточно малым радиусом $\delta$, и рассмотрим область $S^{*}$, которая получится из $S$ в результате вычитания области $\gamma$. Внутри $S^{*}$ функция $f(Q)$ остается конечной и непрерывной, так что остается определенным и конечным интеграл по области
\[
\int_{S^{*}} f(Q) d S .
\]

Если этот интеграл стремится $к$ конечному и определенному щределу, как бы ни уменьталась неограниченно область около точки $P$, то этот предел называется несобственным интегралом от $f(Q)$ в области $S$ и обозначается символом
\[
\int_{S} f(Q) d S .
\]
10. Предыдущие интегралы имеют смысл только при условии, что предел интеграла (5) или аналогичного интеграла (5′) является определенным. При этом нет необходимости указывать общий признак, позволяющий определить во всяком случае, на основании поведения функции $f$ в особой точке, существует или не существует этот предел, т. е. несобственный интеграл. Достаточно, как и для сходимости рядов, иметь признани, приложимые г различным частным случаям.

Наиболее простым и наиболее полезным для нашей цели цризнаком является следующий. Функция $f(Q)$, остающаяся конечной и непрерывной во всей области $S$, за исключением лишь одной точки $P$, где она обрацается в бесконечность ${ }^{1}$ ), будет интегрируемой в этой области, если в точке $P$ она обращается в бесконечность порядка же выше $m$, где $m$ есть число, меньшее 3,2 или 1 , в зависимости от того, будет ли область интегрирования
1) 0 функции $f(Q)$ говорят, что она обращаетея в точке $P$ в бесконечность порядка не выие $m$, если произведение $r^{m} f(Q)$, где $r$ есть растояние $Q P$, остается конечным при стремлении $Q \mathrm{k}$, и обращается в бесконечность порядка $m$, если это произведение стремится к конечному и отличному от нуля пределу.

трех, двух или одного измерения. В противоположность этому, если функция $f(Q)$ обращается в $P$ в бесконечность порядка не ниже 3,2 или 1 , в зависимости от размерности обдасти $S$, то она будет наверное неинтегрируемой в этой области. Если же о порядке бесконечности функции $f(Q)$ в точке $P$ известно только, что он не превышает 3, 2 или 1 в зависимости от рассматриваемого случая, то ничего нельзя сказать об интегрируемости функции, если не обратиться к какому-нибудь другому, более точному признаку.
Так, например, интеграл
\[
\int_{0}^{1} \frac{\sin \frac{1}{x} d x}{x}
\]

существует и является вполне огределенным, тогда кап интеграл
\[
\int_{0}^{1} \frac{\sin ^{2} \frac{1}{x} d x}{x}
\]

не имеет смысла, хотя в обоих случаях рассматриваются функции, которые при $x=0$ имеют бесконечность порядка не выше 1. зависит, помимо переменной точки, изменяющей свое положение в области $S$, еще от некоторого параметра $\lambda$, изменяющегося в некотором промежутке $\Delta$. Если она является нонечной и непрерывной как относительно $Q$ в $\delta$, так и относительно $\lambda$ в $\Delta$, то интеграл
\[
I=\int_{\mathrm{S}} f(Q \mid \lambda) d S
\]

будет функцией от $\lambda$, непрерывной во всем промежутке $\Delta$; если, кроме того, существует производная $\partial f / \partial \lambda$, которая является также конечной и непрерывной функцией относительно $Q$ в $S$ и относительно $\lambda$ в $\Lambda$, то существует также интеграл
\[
\int_{S} \frac{\partial \dot{f}}{\partial \lambda} d S
\]

и оказывается справедливым так называемое правило диффференцироваңия под знаком интеграла, шоскольку мы имеем, что
\[
\int \frac{\partial f}{\partial \lambda} d S=\frac{d I}{d \lambda} .
\]

Предыдущие результаты при попходящих условиях распространяются также и на случай, когда функция $f(Q \mid \lambda)$ при некотором значении $\lambda_{0}$ параметра $\lambda$ обращается в точке $P$ внутри области $S$ в бесконечность.

Именно, предположим, что фјнкция $f(Q \mid \lambda)$ является интегрируемой внутри области $S$ (п. 10), каково бы ни было значение параметра $\lambda$ в промежутке $\Delta$; предположим, кроме того, что если точка $P$ находится в некоторой сколько угодно малой области $\gamma$, внутренней для $S$, то функция $f(Q \mid \lambda)$ остается конечной и непрерывной, как бы ни изменялось положение точки $P$ внутри области $S^{*}=S-\gamma$.

При этих предположениях интеграл (6) все еще будет определенной и непрерывной функцней от $\lambda$ в промежутке $\Lambda$. Если, далее, существует производная $\partial f / \partial \lambda$ и обладает теми же только что допущенными для функции $f$ свойствами, то будет иметь силу равенство (7), т. е. к равенству (6) можно приложить правило дифференцирования под знаком интеграла; таким образом, и в этом случае будет справедливо равенство (7) во всем промежутке $\Delta$.
12. Предыдущие теоремы непосредственно применяются к потенциалу Ньютона.

Рассмотрим прежде всего щстенциал некоторого трехмерного распределения материи
\[
U(x, y, z)=f \int_{S} \frac{\mu d S}{r} .
\]

Очевидно, что если притягиваемая точка $P(x, y, z)$ совпадает или стремится к совпадению с некоторой точкой $Q(\xi, \eta, \zeta)$ притягивающего тела, то подинтегральная функция обращается в бесконечность; но так как порядок бесконечности равен 1 (т. е. меньше 3), то, как мы уже знаем (п. 10), подинтегральная функция остается интегрируемой и потенциал $U$ будет конечным и непрерывным не только вне притягивающей масси, но также и на поверхности и внутри нее. Кроме того, внутри области $S$ существуют также и частные производные от функции $\mu / r$ по координатам $x, y, z$ притягиваемой точки; если точка является внутренней для тела $C$, то частные производные обращаются в ней в бесконечность порядка не выше 2, тогда как во всем остальном теле они остаются конечными и непрерывными. Отсюда заключаем (п. 11), что нотенциал $U$ представляет собой дифференциғуемую и потому непрерывную функцию не только вне притягивающей массы, но также на поверхности и внутри нее; производные потенциала также будут непрерывными функциями и получатся путем дифференцирования под знаком интеграла, т. е. определятся формулами (4) п. 7.

Если мы перейдем ко вторым производным от функции $\mu / r$ по юоординатам $x, y, z$ точки $P$, то на основании п. 6 увидим, что если $P$ будет совпадать с какой-нибудь точкой $Q$ притягивающей массы, то производные обратятся в бесконечность порядка, не превышающего 3 , так что мы сталкнвемся здесь с одним из тех случаев, когда, согласно критерию п. 10, интегрируемость остается сомнительной. Мы ограничимся здесь лишь утверждением, что эти вторые производные от потенциала по $x, y$, $z$ существуют и непрерывны внутри притягивающей массы, если непрерывна плотность $\mu$; но их нельзя получить путем дифференцирования нод знаком интеграла, и они обнаруживают разрывы при переходе через границу.
13. Если, далее, мы будем рассматривать потенциал $U$ поверхностного распределения материи, то, как и выше, увидим, что он будет конечным и непрерывным в точках поверхности, благодаря тому что функция $\mu / r$ при совпадении притягиваемой точки $P(x, y, z)$ с точкой $Q(\xi, \eta, \zeta)$ притягиваюшей поверхности остается все еще бесконечно большой величиной первого порядка. Но здесь, вследствие того, что речь идет об интеграле по области двух измерений, на основании критерия п. 10 уже для производных первого порядка от подинтегральной функции бјдет иметь место сомнительный случай интегрируемости, так как эти производные при совпадении точки $P$ с $Q$ обращаются в бесконечность порядка не выше 2. Подобно тому, как мы поступили выше, в п. 12, мы ограничимся и здесь утверждением, что первые производные от $U$ существуют даже тогда, когда притягиваемая точка безгранично приближается к притягивающей поверхности или лежит на ней, но представляют разрывы при переходе через поверхность и не могут получиться прямым дифференцированием под знаком интеграла.

Наконец, в случае материальной линии $l$ критерий п. 10 показывает, что потенциал
\[
U=f \int_{i} \frac{\mu}{r} d s
\]

обращается в бесконечность на притягивающей линии, поскольку речь идет об одномерном интеграле от функции, которая внутри области интегрирования обращается в бесконечность первого порядка.
14. Обычная физическая интерпретация аналитических выводов, полученных выше, позволяет дополнить результат п. 7.

Для определенности обратимся к напболее интересному и ясному случаю трехмерного распределения материи и попытаемся отдать себе отчет о притяжении телом $C$ точки $P$ (единичной массы), расположенной внутри него (или ка поверхности). Заключим точку $P$ в малый объем $\gamma$, внутренний для пространственной области $S^{\prime}$, занятой телом $C$, например в маленькую сферу (или часть ее) с центром в $P$ и с достаточно малым радиусом $\delta$, и обозначим через $C^{*}$ тело, которое получится после удаления из тела $C$ маленькой части его $\gamma$. Областью, занимаемой телом $C^{*}$, будет $S^{*}=S-\gamma$. Сила притяжения, с которой $C^{*}$ действует на $P$, на основании п. 7 имеет проекции
\[
f \int_{S^{*}} \mu \frac{\partial \frac{1}{r}}{\partial x} d S, \quad f \int_{S^{*}} \mu \frac{\partial \frac{1}{r}}{\partial y} d S, \quad f \int_{S^{*}} \mu \frac{\partial \frac{1}{r}}{\partial z} d S .
\]

Если мы будем приближать объеи $\gamma$ к нулю, стягивая его в точку $P$, то проекци силы притяжения будут стремиться к интегралам по области $S$, т. е. к интегралам
\[
f \int_{S} \mu \frac{\partial \frac{1}{r}}{\partial x} d S, \quad f \int_{S} \mu \frac{\partial \frac{1}{r}}{\partial y} d S, \quad f \int_{S} \mu \frac{\partial \frac{1}{r}}{\partial z} d S ;
\]

это будет иметь место, какова бы ни была форма полости $\gamma$, которую мы должны представлять себе в $S$, и каким бы способом мы ни заставляли ее стремиться к точке $P$. Если теперь представим себе, что при этом переходе к пределу, вводя последовательно все новые и новые материальные элементы тела $C$, цридется исчерпать их все, то физически огажется оправданным рассмотрение выражений (8) как проекций силы притяжения, действующей на $P$ от целого тела.

В заключение, учитывая также результат, сформулированный в конде п. 7, мы можем сказать, что для любой притятиваемой точки (масса которой равна единице), будет лй она внешней или внутренней для притягивающего тела (или находящейся на єго поверхности), проекции силы притяжения, действующей на нее, будут производными по координатам точки от потенциала
\[
U(x, y, z)+f \int_{S} \frac{\mu}{r} d S .
\]

Речь идет, следовательно, о консервативной силе, жоторая является (векторной) нешрерывной функцией от притягиваемой точки во всем пространстве.