18. Мы знаем, что системой с полными связями называетея всякая голономная система с одной только степенью свободы (т. е. система, имеющая только одну лагранжеву координату) и со связями, не зависящими от времени. Такой, например, будет точка, вынужденная оставаться на заданной кривой, твердое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной оси, винт в соответствующей гайке и т. д.

Перемещения $\delta P_{i}$ отдельных точек системы и, в частности, их проекции $\delta l_{i}$ на линии действия сил $\boldsymbol{F}_{i}$ определяютея (для любой конфигурации) приращением $\delta q$ єдинственной .агранжевой координаты.

С другой стороны (так как в рассматриваемом случае не может быть необратимых перемещений), общее условие равновесия будет выражаться уравнением ( $\left.1^{\prime}\right)$, которое в настоящем случае можно написать в виде
\[
\delta L=\sum_{i} F_{i} \delta l_{i}=0 .
\]

Оно, очевидно, равносильно единственному условию, которое мы получим, если приравняем нулю коэффциент при произвольной вариации $\delta q$.
19. Простып машины. Между системами с полными связями заслуживают специального упоминания так называемые простые машины (рычаг, наклонная плоскость, клин, винт и т. п.) и весы. Условия их равновесия можно исследовать прямым путем, анализпруя, если надо, поведение отдельных частей (чаще всего твердых тел) и вводя в виде вспомогательных величин взаимные реакции этих частей.

Однако если отвлечься от трения, то очень быстро можно достигнуть цели, обращаясь $₹$ принципу виртуальных работ. Этот принип дает условие равновесия в его окончательной форме, без упомянутого выше введения и последовательного исключения вспомогательных реакций, которое требуется при элементарном способе и которое может стать очень затруднительным, если система состоит из многих частей.

Обычно, как в простых машинах, так и в весах, активные силы сводятея к двум силам $\boldsymbol{F}_{1}$ и $\boldsymbol{F}_{2}$, соответственно называемым силой и сопротивлением. Предположим, что системе дано единственное бесконечно малое перемещение, совместимое со связями, и напишем уеловие равновесия
\[
F_{1} \delta l_{1}+F_{2} \delta l_{2}=0,
\]

которое можно представить в юнечной форме, если принять во внимание, что в пределе отношение $\delta l_{2} / \delta l_{1}$ зависит только от природы системы и от рассматриваемой конфигурации равновесия.

Если заметим, что $\delta l_{1}$ и $\delta l_{2}$, взятые по абсолютной величине, измеряют перемещения точек приложения сил $\boldsymbol{F}_{1}$ и $\boldsymbol{F}_{2}$ в направлении соответствующих линий действия, то из равенства (5) (или, лучще, из пропорции
\[
F_{1}: F_{2}=\left|\delta l_{2}\right|:\left|\delta l_{1}\right|,
\]

которая является его непосредственным следствием) получим так называемое золотое правило: „То, что выигрывается в силе, теряется в пути\”.

Приложим предыдущие общие рассуждения к изучению винтового пресса, весов Квинтенца (или десятичных), и бифилярного маятника, отсылая за сведенияки о других простых машинах и 0 других типах весов к более полным сочинениям ${ }^{1}$ ).
20. Винтовой пресс. Винт, вставленный в соответствующую гайку, представляет собой систему с полными связями. Рассмотрим любое бесконечно малое его перемещение, которое является вместе с тем и виртуальным перемещением, так как связи в этом случає не зависят от времени. Это перемещение, очевидно, может рассматриваться как результирующее двух других: элементарного поступательного перемещения в направлении оси (винта) и элементарного вращательного перемещения вокруг оси.
1) См., например, П. Аппелль, Руководство теоретической (рациональной) механики, т. I, гл. VIII, п. 169 , 1911 и руководетво Е. В ag noli, Teoria e costruzione degli strumenti metrici e per pesare, изд. 2, Милан, 1925.

Обозначив через $\delta s_{0}$ величину первого, через $\delta \omega$ величину втоporo и через $p$ шаг винта, легко увидим, что
\[
\delta \omega: \delta s_{0}=2 \pi: p .
\]

Действительно, когда винт делает полный оборот, он продвигается на один шаг $p$ в направлении оси; с другой стороны, связь заставляет тело вращаться и двигаться поступательно вдоль оси при постоянном отношении межды величинами поворота и поступательного перемещения (идет ли речь о бесконечно малом перемещении, или о полном повороте).
Отсюда следует уже написанная пропорция, или соотношение
\[
\delta \omega=\frac{2 \pi}{p} \delta s_{0} .
\]
21. Предположим, далее, что винт находится в равновесии, нажимая посредством пластинки $\pi$ (фиг. 71) на часть плоской поверхности $\sigma$, нормальной к оси, как это схематически происходит в прессе, и пүсть винт находится под действием силы $\boldsymbol{F}$, приложенной к концу рукоятки и нормальной к оси. Для того чтобы иметь дело с самым обыкновенным случаем, предположим еще, что сила $\boldsymbol{F}$ действует нормально к плоскости, определяемой рукояткой и осью, и что соб́ственным весом системы можно пренебречь (по сравнению с величиной силы $\boldsymbol{F}^{\prime}$ ). Таким образом, мы будем иметь следующие активные силы: 1) сила $\boldsymbol{F}$; 2) сощротивление, состоящее из совокушности давлений (реакций), которые испытывает пластинка $\pi$ винта со стороны сжатой поверхности б. Результирующая всех этих различных реактивных давлений естественно будет равна и противоположна полному давлению, действующему на о: обозначим ее абсолютное значение через $\Phi$.

Iредположим, что мы сообщили спстеме виртуальное перемещение, вращая рукоятку в одном из двух возможных нащравлений, наприер в том, в котором ее стремится вращать сила $\boldsymbol{F}$. Это перемещение можно разбить на два: поступательное и вращательное. Оденим соответствующие части виртуальной работы различных сил. При поступательном перемещении винта работа силы $\boldsymbol{F}$, по предположению, перпендикулярной к оси, равна нулю; давления на пластинку (которые стремятея заставить винт вращаться в противоположную сторону) все совершают отрицательную работу, в сумме равную $-\Phi \delta s_{0}$.

При вращательном перемещении (вокруг оси винта) работа давлений, очевидно, равна нулю; что же касается силы $\boldsymbol{F}$, то, ввиду того что перемещение ее точки приложения идет в направлении силы, работа будет положительной и будет измеряться произведением $\boldsymbol{F}$ на величину перемещения. Таким образом, будем иметь $F b \delta \omega$, где через $b$ обозначена длина рукоятки. Подставляя вместо элементарного вращения $\delta \omega$ его величину (6), мы получим для полной виртуальной работы выражение
\[
F b \frac{2 \pi}{p} \delta s_{0}-\Phi \delta s_{0},
\]

так что условие равновесия будет выражено равенством
\[
\Phi=\frac{2 \pi}{p} \mathrm{Fb} .
\]

Как мы видим, оно не зависит от размеров винта (радиуса цилиндра, на который нанесена винтовая нарезка), а зависит от шага $p$. Для того чтобы произвести большие давления умеренными силами, нұжно, очевидно, уменьшить насколько возможно $p$ и увеличить длину рукоятки.
22. Если помимо $\boldsymbol{F}$ на головку винта действует цругая аналогичная сила $\boldsymbol{F}^{\prime}$ (также нормальная к плоскости, проходящей через ось винта и через соответствующую точку приложения и стремящаяся вращать винт в ту же сторону, что и сила $\boldsymbol{F}^{\prime}$ ) и $b^{\prime}$ есть соответствующая рукоятка, то вместо (7) мы тотчас же находим уравнение
\[
\Phi=\frac{2 \pi}{p}\left\{F^{\prime} b+F^{\prime} b^{\prime}\right\} .
\]

Количество, стоящее в скобках, можно истолковывать как результирующий момент сил $\boldsymbol{F}$ и $\boldsymbol{F}^{\prime}$ относительно оси или как результирующий момент всех активных сил, так как момент давлений равен нулю; давление $\Phi$, стоящее в левой части, можно рассматривать как результирующую в направлении оси всех активных сил (так как силы $\boldsymbol{F}$ и $\boldsymbol{F}^{\prime}$ ничего не прибавляют к ней).

Обозначая, как обычно, через $\boldsymbol{R}$ и $\boldsymbol{M}$ результирующую силу и результирующий момент (относительно какой-нибудь точки на оси) всех активных сил и через $r$ направление оси (в одну из двух сторон, выбранную как угодно), мы можем написать найденное условие равновесия в виде
\[
R_{r}=\frac{2 \pi}{p} M_{r}
\]

Было бы очень просто убедиться (припоминая общее выражение $\delta L$, приведенное в п. 12 , и применяя его в винтовому перемещению, о котором идет речь), что условие равновесия сохраняет этот вид в общем случае, т. е. каково бы ни было число активных сил, приложенных к винту, их величина и направление.
23. Весы Квинтенца. Кинематическую структуру таких весов можно схематически описать слегующим образом: коромысло $A B$ (фиг. 72), которое может вращаться вокруг одной своей точки $O$ (лежащей между $A$ и $B$ ), связано в конце $B$ и в некоторой точке $C$, лежащей между $O$ и $B$, посредстзом двух вертигальных стержней с двумя платформами $D E, F G$, первая из готорых опираөтся на нөподвижное ребро $E$, а вторая – на ребро $H G$, прикрөпленнов к нижнөй платформе. Обе платформы будут горизонтальними, если горизонтально коромыс.го.
Пренебрегая весами коромысла, соединяющих стержней и платформ, представим себе, что на верхнюю платформу $F G$ положено тело веса $R$ (сопротивление), и предположим, что нам надо определить, какой вес $P$ (сплу) несбходимо приложить в $A$, чтобы удержать плечо в горизонтальном положении. Мы имеем здөсь, очевидно, систему с полными связями, и ее виртуальное перемещение (для конфигурации, в которой коромысло горизонтально) однозначно определяется углом $\delta \theta$, описываемым коромыслом вокруг точки $O$. Перемещение точки $A$ приложения веса $\boldsymbol{P}$ (с точностью до бесконечно малых высшего порядка) равно $O A \cdot \delta \theta$. Перемещение точки приложения веса $\boldsymbol{R}$ (центра тяжести тела, которое нужно взвесить), тоже вертикальное, но нашравленное в противоположную сторону, вообще говоря, зависит от положения, которое тело занимает на платформе $F G$; но легко видеть, что, подбирая надлежащим образом положение $H$ ребра $H G$ на нижней платформе $D E$, можно сделать так, чтобы это перемещение центра тяжести тела не зависело от его положения на $F G$. Очевидно, что, для того чтобы это имело место, необходимо и достаточно, чтобы при виртуальном перемещении платформа $F G$ сохраняла горизонтальное положение, или, другими словами, чтобы точки $F^{j}$ и $G$ пспытывали равные перемещения. Далее, в то время как точка $F$ пспытывает то же самое перемещение, что и точға $C$, т. е. $O C \cdot \delta \theta$ – перемещение точки $G$ равно перемещению точки $H$, а это последнее, поскольку точка $E$ неподвижна, получится (в силу пропорциональности между дугами, соответствующими одному и тому же углу, и радиусами), если мы умножим на $H E \mid D E$ перемещение точки $D$ или перемещение точки $B$, которое определяется произведением $O B \cdot \delta \theta$. В результате верхняя платформа будет оставаться горизонтальной шри условии, что будет выполняться равенство
\[
\frac{H E}{D E} O B \cdot \delta \theta=O C \cdot \delta \theta,
\]

или
\[
\frac{H E}{D E}=\frac{O C}{O B},
\]
т. е., что две прямые $O E$ и $C H$ будут пересекаться в точке, лежащей на прямой $B D$.

При этом предположении для существования равновесия необходимо и достаточно, на основании общего уравнения статики, чтобы было
\[
P \cdot O A \cdot \delta \theta-R \cdot O C \cdot \delta \theta=0
\]

или
\[
P: R=O C: O A .
\]

Таким образом, мы имеем то же самое условие равновесия, которое имело бы место, если бы вес $R$ был приложен прямо в точке $C$.

Заметим, что способ, аналогичный тому, который мы здесь применили, позволяет также и для обыкновенных весов Роберваля ${ }^{1}$ ) показать независимость условия равновесия от положения, занимаемого грузами на чашках.
24. Бифилярный маятник. Іредставим себе тяжелый твердый однородвый стержень $A A^{\prime}$ (фиг. 73) цлиной $2 a$, удерживаемый в горизонтальном положении двумя гибкими и нерастяжимыми нитями длиной $l$, прикрепленными соответственно к концам $A, A^{\prime}$ стержня и к двум неподвижным точкам $O, O^{\prime}$, рас-

Фиг. 73. стояние $O O^{\prime}$ между которыми равно длине $2 a$ стержня. Система располагаетея в вертикальной плоскости, проходящей через точки $O, O^{\prime}$, принимая конфигурацию четырехугольника $A A^{\prime} O O^{\prime}$.

Если к стержню $A A^{\prime}$ в горизонтальной плоскости, проходящей через $A A^{\prime}$, прикладывается пара с заданным моментом $\Gamma$, то стержень, оставаясь горизонтальным, повернется на некоторый угол $\varphi$ (в направлении действующей пары) вокруг вертикали, проходящей через его середину, в то время как та точка, которая сначала
1) Ж. П. де Роберваль родился в 1602 г. близ Бове, департамент Уазы, умер в 1675 г. в Париже, был профессором в College reale de France. Написал трактат о неделимых, с геометрическими приложениями к построению касательной. Занималея алгеброй и механикой и известен благодаря изобретению весов, носящих его имя (1670г.).

была в $M$, займет положение точки $N$ этой вертикали, поднявпись на некоторую высоту $M N=h$ наг своим первоначальным положением $M$ (так как нити $O A$ и $O^{\prime} A^{\prime}$ нерастяжимы).

Определим условие, при котором сохраняется состояние равновесия стержня, предполагая, что весом нитей можно пренебречь. Для этого заметим прежде всего, что, в силу симметрии системы и действующих сил относительно вертикали точки $M$ центр тяжести стержня, как мы только что отметхли, останется на этой вертикали, а сам стержень будет находиться в горизонтальном подожении; поэтому эту систему можно рассматривать как систему с одной степенью свободы. С этой точки зрения виртуальное перемеңение (для указанной конфигурации равновесия) будет определяться вариацией $\delta h$ высоты $h$ точки $N$ относительно точки $M$ и вариацией $\delta \varphi$ угла между $B B^{\prime}$ и $A A^{\prime}$. Для определения соотношения между $\delta h$, $\delta \varphi$ возьмем начало координат в точке $M$, ось $z$ направим по вертикали $M N$, ось $x$-по прямой $M A$, ось $y$ – по перпендикуляру к плоскости $x z$, направленному таким образом, чтобы направление вращения от $x$ к $y$ совпадало с направлением действия приложенной пары. Тогда, выраяив, что расстояние между двумя точками $O, B$ с коодинатами соответственно $a, 0, l$ и $a \cos \varphi$, $a \sin \varphi, h$ остаетея равным $l$, мы найдем
\[
a^{2}\left\{(1-\cos \varphi)^{2}+\sin ^{2} \varphi\right\}+(h-l)^{2}=l^{2}
\]

или
\[
4 a^{2} \sin ^{2} \frac{\varphi}{2}+h^{2}-2 l h=0 .
\]

Отсюда, продифференцировав, получим
\[
a^{2} \sin \varphi \dot{\delta} \varphi+(h-l) \delta h=0,
\]
т. е.
\[
\delta h=\frac{a^{2} \sin \varphi}{l-h} \delta \varphi .
\]

Работа пары (которую мы представим себе состоящей из двух противоположных сил величиной $\Gamma / 2 a$, приложенных соответственно в точках $A, A^{\prime}$, горизонтальных и перпендикулярных к стержню) равна
\[
2 \frac{\Gamma}{2 a} a \delta \varphi=\Gamma \delta \varphi .
\]

Общее уравнение статики дает условие равновесия в виде
\[
\Gamma \delta \varphi-p \delta h=0,
\]

откуда, на основании значения, полученного для $\delta h$,
\[
\mathrm{I}=\frac{a^{2} p \sin \varphi}{l-h} .
\]