14. Рассмотрим материальную точку $P$, вынужденную оставаться на заданной поверхности о (двусторонняя связь). Физической моделью, в которой осуществляется такого рода связь, может служить маятник, прикрепленный к твердому стержню (весом которого можно пренебречь), подвешенному на сферическом парнире. Ту же самую связь можно осуществить и другими способами, например посредством двух материальных поверхностей $\sigma^{\prime}, \sigma^{\prime \prime}$, находящихся в непосредственной близости к о с той и другой стороны от нее (фиг. 8) и удерживающих точку $P$ в промежутке между ними при наличии незначительного зазора между точкой и одной из поверхностей. Этим осуществляется геометрическая связь, выражающаяся в том, что точка не может покинуть поверхности $о$.
Мы легко придем к условиям равновесия Фиг. 8. для обоих этих случаев, руководствуясь принципом независимости, приведенным в п. 12.

Таким образом, напу двустороннюю связь можно рассматривать кап осуществленную совместным действием двух односторонних связей, определяемых двумя материальными опорными поверхностями $\sigma^{\prime}$ и $\sigma^{\prime \prime}$, каждая из которых не позволяет точке $P$ сойти с поверхности $\sigma$ в одну из двух сторон. Из этих двух односторонних связей в действие вступает та или другая, в зависимости от того, в какую сторону относительно плоскости, касательной к $\circ$ в точке $P$, действует приложенная к $P$ активная сила $\boldsymbol{F}$ (равнодействующая). Вводя также и в этом случае коэффициенты трения (которые мы будем считать одинаковыми для $\sigma^{\prime}$ и $\sigma^{\prime \prime}$ ) и называя конусом трения сововупность двух полостей конүса, относящихся к двум односторонним связям, образующим двузтороннюю связь, мы можем высказать следующее заключение: для того чтобъ материальная точка, вынужденная оставаться на кжой-нибудь поверхности, находилась в равновесии, необходимо и достаточно, чтобъ действующая на нее сила не была внешней для конуса трения.

В частности, если поверхность абсолютно гладкая, то необходимо и достаточно, чтобъ сила бъла направлена по нормали $x$ поверхности (в том или в другом направлении).

Таким образом, при равновесии реакция однознанно определяется как сила, прямо противоположная действующей силе.
15. Займемся, наконец, определением условий равновесия для точки, вынужденной оставаться на заданной кривой $c$.

Для этой цели воспользуемся еще раз постулатом о независимости (п. 12) и обратимся к случаю шарика, скользящөго внутри трубки. Если связь осуществляегся таким образом, то, какова бы ни была активная сила $F$, шарик всегда будет опираться только на элемент поверхности (элеменгарную площадку) стенки трубки, так как между шариком и трубкой предполагается незначительный зазор, а, с другой стороны, всякхя элементарная площадка стенки трубки при подходящих условиях действия силы может оказаться опорной площадкой. Поэтому все будет происходить так, как если бы точка могла удерживаться всеми поверхностями $\sigma$, проходящими через $c$, из которых в действие вступает та или другая, в зависимости от действующей силы.

Спроектируем теперь активную силу $\boldsymbol{F}$ на касательную к кривой $c$ и на плоскость, нормальную к $c$, и обозначим через $T$ и $N$ абсолютные величины полученных таким образом составляющих, а через $n$-линию действия нормальной составляющей.

Из всех поверхностей, проходящих через $c$, выберем одну, для которой $n$ является нормалью, и заметим, что если удовлетворяются условия равновесия для точки $P$ в предцоложении, что она может двигаться только по этой поверхности, то тем более будут удовлетворяться условия равновесия для реального случая, в вотором $P$ может подвергаться действию других связей.

Отсюда следует, что если $f$ есть некоторый коэффициент, который может зависеть от того, какая из поверхіостей о вступает в действие, то соотношение
\[
T \leqslant f N
\]

является достаточным условием для равновесия точки $P$.
Геометрическая интерпретация этого условия очевидна. Если, как обычно, $\varphi$ есть угол трения ( $\operatorname{tg} \varphi=f$ ), то условие $T \leqslant f N$ выражает, что при равновесии линия действия силы $\boldsymbol{F}$ должна составлять с касательной к кривой $с$ угол, не меньпий, чем $\pi / 2-\varphi$, т. е. должна лежать вне или на поверхности конуса $\Gamma$, ось которого совпадает с касательной, а половина угла при вершине равна дополнению угла трения до прямого угла (конуса прямых, проходящих через точку $P$ и образующих с нормальной плоскостью к кривой угол $\varphi)$.
16. Докажем обратное, ограничиваясь случаем, когда $f$ имеет одно и то же значение для всех предполагаемых поверхностей, проходящих через кривую $c$.

Речь идет о том, чтобы доказать, что если точка $P$ под действием активной силы $\boldsymbol{F}$ находится в равновесии на кривой, то выполняется соотнопение
\[
T \leqslant f N,
\]
т. е. сила $\boldsymbol{F}$ лежит вне или на поверхности конуса $\Gamma$.

Пействительно, обращаясь опять к парику, скользящему в трубке, мы видим, что равновесие может существовать только благодаря тому, что парик удерживается элементом площади стенки трубки.

Далее, если бы выполнялось неравенство $T>f N$, т. е. сила $\boldsymbol{F}$ была внутренней относительно конуса $\Gamma$, она составляла бы с касательной угол, меньший угла $\pi / 2-\varphi$, и потому отклонялась бы больше чем на угол $\varphi$ от нормальной плоскости. В этом случае ни одна из поверхностей, проходящих через $c$, не была бы в состоянии воспрепятствовать движению точки $P$, так как нормали ко всем таким поверхностям составляли бы с $\boldsymbol{F}$ углы, большие угла трения.

Мы приходим, таким образом, к следующему правилу: Для равновесия материальной точки $P$, вынужденной оставаться на кривой, необходимо и достаточно, чтобъ абсолютное значение $T$ касательной составляющей активной силы не превоссодило некоторой доли $f N(f<1)$ от абсолютного значения $N$ нормальной составляющей, или иначе, чтобы активная сила не была внутренней для некоторого кругового конуса, имеющего осью касательную.

В случае связи без трения должно быть $T=0$, т. е. сила должна быть нормальна к кривой.