43. Согласно тому, что установлено в § 3 предыдущей главы, плоску неизменяемую форму без лищних стержней можно рассматривать как систему из $n$ материальных точек $P_{i}$ с координатами $x_{i}, y_{i}$, которые связаны $m=2 n-3$ уравнениями вида
\[
\sqrt{\left(x_{i}-x_{j}\right)^{2}+\left(y_{i}-y_{j}\right)^{2}}-l_{i j}=0,
\]

где индексы $i, j$ относятся ко всем узлам $P_{i}, P_{j}$, дейспвительно соединенным стерлнями.

Выберем, как в п. 13 предыдущей главы, два узла $P_{\alpha}, P_{\beta}$, являющихся концами одного и того же стержня, и рассмотрим материальную систему $S$, состолщую из остальных $n-2$ узлов $P_{i}$ и подчиненную исключительно двусторонщим связям, которые осуществляются
\[
m-1=2(n-2)
\]

стержнями фермы, отличными от $P_{\alpha} P_{\beta}$. K системе $S$, определенной таким образом, применим общее правнло п. 36 для вычисления реакции, действующих на любой из узлов $P_{i}(i<\alpha, \beta)$. Речь идет об определении векторов $\boldsymbol{a}$, соответствующих отдельным уравнениям связей $B=0$, которые заданы в виде (29). Узел $P_{i}$ пепытывает реакдии, происходящие от тех стержней, которые в нем еходятся, т. е. от тех связей вида (29), в которых при заданном значении $i$ значения $j$ соответствют узлам, соединенным с $P_{i}$ стержнями.

Если обознатим для краткости чегез $f_{j}=0$ любое из этих уравнений свлзей, то проекции соответствющего вегтора $\boldsymbol{a}_{i j}$ определятсл в виде
\[
\frac{\partial f_{j}}{\partial x_{i}}, \quad \frac{\partial f_{j}}{\partial y_{i}}
\]

или, в явной форме,
\[
\frac{x_{i}-x_{j}}{l_{i j}}, \quad \frac{y_{i}-y_{j}}{l_{i j}},
\]

откуда следует
\[
\boldsymbol{a}_{i j}=\frac{1}{l_{i j}} \overrightarrow{P_{j} P_{i}} .
\]

Вектор $\boldsymbol{a}_{i j}$ ссть не что иное, как версор (единичный вектор) стержня $P_{i} P_{j}$, ориентированный от $P_{j}$ к $P_{i}$, так что если мы предположим, что версор приложен к узлу $P_{i}$, то он будет направлен во внешнюю сторону от стержня, к готорому он относится.

Так как в ферме нет односторонних связей, то выражение (23) полной реакции, испытываемой узлом $P_{i}$, представится в виде
\[
\boldsymbol{R}_{i}=S_{j} \frac{p_{i i}}{l_{i j}}{\overrightarrow{P_{j}}}_{i},
\]

где скаляры $p_{i j}$ представляют собой множители Јагранжа, а сумма $S_{j}$ должна быть распространена только на те узлы $P_{j}$, которые соединены стержнями с $P_{i}$. Равенство (30) дает для интересующего нас случая разлоление реакции, действующей на узел $P_{i}$, по различным стержням, которые в нем сходлтся; слагаемое $p_{i j} \vec{P}_{j} \vec{P}_{\boldsymbol{i}} / l_{i j}$ дает реакцию, испытываемую узлом $P_{i}$ со стороны стержня $P_{i} P_{j}$. В этой реакции скаляр $p_{i j}$ представляет собой проекцию этой реакции на ориентированное направление $P_{i} P_{j}$ стержня; сам стержень $P_{i} P_{j}$ испытывает равное и прямо противопбложное усилие со стороны узла $P_{i}$; стержень сжат, если $p_{i j}>0$, и растянут – в противном случае.

Остается определить скаляры $p_{i j}$, которых в совокушности будет столько же, сколью имеется стержней в системе, за исключением стержня $P_{\alpha} P_{\beta}$, т. е. $m-1=2(n-2)$.

Из общих рассуждений II. 32 следует, что так как в рассматриваемом нами случае все связи двусторонние, то множители Јагранжа будут однозначно определены при единственном условй, что уравнения связей независимы между собой, т. е. что фунцциональная матрида левых частей этих уравнений, рассматриваемых кал функции от координат точек системы, имеет ранг, равный числу самих уравнений. В нашем случаз число уравнений равно $m-1=$ $=2(n-2)$ [поскольку должно быть исключено равенство (29), соответствующее $i=\alpha, j=\beta]$; в еилу самого определения неизменяемой системы без лишних стержней, их левые тасти независимы (гл. XIV, п. 14) по отношению $\mathrm{k} 2(n-2)$ координатам различных узлов $P_{i}(i<\alpha, \beta)$.

Тањи образом, мы нашли аналитическим нутем, что значения уеилий в неизменяемой ферме без лишних стержней подчиняютел общему принциу виртуальных работ. На практике, конечно, более нредпочтителен графический метод (гл. XIV, § 4). Но рассуждения, изложенные выше, имеют большую общность, таљ как применяютсл без исплючения ко всевозможным непзменяемым фермам без лишних стержней, между тем как геомотрически методы, тригодные даже цля более обпирных классов ферм, чем простые треугольные фермы, рассмотренные нами в предицущей главе, все-таки подчинены, в отношении их приложимости, некоторым специальным ограничеНиям.
44. Равенства (30) дают уеилия, относлщиеся к любому стернно, путем полного определения всех реаццй узлов $P_{i}$. Когда нас интересует үсилие, испытываемое опдеделенным стержнем, надо обратиться к способу, указанному в піг. 40 и 41, который в настолщем слугае состоит: а) в том, чтобы ввести вместо рассматриваемого стержня те два усилия, с которыми он действовал на соответствующие узлы; в) в примененип к спстеме, освобожденной таким образом от одной связи и тем самым превраценной из неизменяемой спстемы в систему с лолными связями, принцпа виртуальных работ на перемещении, которое стало для нее возможным вследетвие выбрасывания этого стержня.