24. Для гибкой и нерастяжимой нити (векторное) неопределенное уравнение относительного равновесия можно вывести непосредственно из соотношения
\[
d \boldsymbol{T}+\boldsymbol{F} d s=0,
\]

рассмотренного в § 7, гл. XIV, где сохранены прежние обозначения, присоединяя к силе $\boldsymbol{F} d s$, действующей на любой элемент нити, силу инерции переносного движения $\chi$. Выставляя на вид $d s$ и выражая $\chi$ в виде $\chi^{*} d s$ (где через $\chi^{*}$ обозначена сила инерции переносного движения на единицу длины нити), будем иметь
\[
\frac{d \boldsymbol{T}}{d s}+\boldsymbol{F}+\chi^{*}=0 .
\]

Особенно интересным является случай, когда нить навернута на жолоб блока и движется вместә с блоком равномерно без относительного скольжения.

Предположим, пренебрегая собственным весом нити по сравнению с натяжением, что сила $\boldsymbol{F}$ для любого элемента $d s$ сводится к реакции, пропсходящей от блока, в соприкосновении с которым находится этот элемент. Обозначим через $r$ радиус блока, через его угловую скорость, через $p$ вес единицы длины нити, предполагаемой однородной, так что $p / g$ есть масса единицы длины (линейная плотность).

Будем отсчитывать дуги в сторону движения и перейдем от уравнения (11) к внутренним уравнениям (см. гл. XIV, § 8), проектируя это уравнение на ребра естественного трехгранника траектории, в обычном предположении, что вектор $\boldsymbol{t}$ направлен в сторону отсчета дуг, т. е. в сторону движения, а вегтор $n$ в сторону вогнутости, т. е. в сторону центра блока. Обозначим, как обычно, через $F_{t}, F_{n}, F_{b}$ проекции силы $\boldsymbol{F}$ на касательную, главную нормаль и бинормаль к траектории. Так как жолоб блока может оказывать реакции только наружу (в сторону выпуклости), то проекция $F_{n}$ необходимо будет отрицательной и мы можем положить ее равной $-N$, обозначая через $N$ величину нормальной реакции. Ив трех проекций центробежной силы две, а йменно $\chi_{t}^{*}$ и $\chi_{b}^{*}$, будут равны нулю; проекция $\chi_{n}^{*}$, будучи направленной наружу, очевидно будет равна – p $\omega^{2} r / g$.

Уравнения относительного равновесия веревки принимают таким образом вид
\[
\frac{d T}{d s}+F_{t}=0, \quad \frac{T}{r}=N+\frac{p}{g} \omega^{2} r, \quad F_{b}=v .
\]
25. Если мы обратим внимание на то, что величина $p \omega^{2} r / g$ является постоянной, и положим
\[
T^{*}=T-\frac{p}{g} \omega^{2} r,
\]

то можно будет также написать
\[
\frac{d T^{*}}{d \varepsilon}+F_{t}=0, \quad \frac{T^{*}}{r}=N, \quad F_{b}=0 ;
\]

эти уравнения тождественны с уравнениями абсолютного равновесия в аналогичных условиях, за исключением лишь того, что величина $T^{*}$ представляет здесь не само натяжение, а натяжение, уменьшенное на постоянную величину $p \omega^{2} r / g$.

Это замечание позволяет также и в случае относительного равновесия определить предельное соотнопение, которое должно существовать между значениями $T_{A}$ и $T_{B}$ натяжений на концах $A, B$ куска нити, когда, при заданном значении одного из них, их разность $\Delta T$ достигает максимума, совместимого с существованием равновесия.

Для этого достаточно обратить внимание на то, что на основании соотношения (13) мы можәм рассматривать безразлично $T$ или $T^{*}$, так как $\Delta T=\Delta T^{*}$; для этой же последней разности условия максимума [совместимого с уравнениями (12′)] были уже установлены в гл. XIV (п. 61).

Предшоложив, например, что $T_{B}^{*}$ есть бо́льшее из натяжений на кондах $A$ и $B$, мы нашли тогда, что если равновесие существует, то должно быть
\[
\frac{T_{B}^{*}}{T_{A}^{*}} \leqslant e^{f \theta},
\]

так что предельное соотношение, при котором еще возможно равновесие, имеет вид
\[
\frac{T_{B}^{*}}{T_{A}^{*}}=e^{f^{\theta}},
\]

где $\theta$ есть центральный угод (в радианах), соответствующий дуге $A B$, и $f$ есть коэфициент трения (статического) между нитью и блоком. Подставив вместо $T^{*}$ его ‘выражение (13), мы получим прежде всего соотношение
\[
\frac{T_{B}-\frac{p}{g} \omega^{2} r^{2}}{T_{A}-\frac{p}{g} \omega^{2} r^{2}} \leqslant e^{f \theta},
\]

выражающее необходимое условие относительного равновесия, т. е. отсутствия скольжения между нитью и вращающимся блоком, и, в частности, равенство
\[
\frac{T_{B}-\frac{p}{g} 0^{2} r^{2}}{T_{A}-\frac{p}{g} \omega^{2} r^{2}}=e^{f \theta},
\]

которое и является искомъм соотношением между натяжениями на концах, когда одно из них дано и разность достигает наибольиего возможного значения.

То же самое соотношение между $T_{A}$ и $T_{B}$ должно, конечно, существовать и тогда, когда, наой, от, предполагается заданной разность $\Delta Т$ и требуется (совместно с существованием относительного равновесия), чтобы натяжение $T_{A}^{\prime}$ было наименьиим.
26. Заметим, что мы с самого начала предположили возможным цренебрегать собственным весом нити по сравнению с натяжением.

Так как вес единицы длины нити равен $p$ и нить охватывает приблизительно половину окружности блока, то вес, о котором идет речь (по предположению, ничтожный по сравнению с $T$ ) будет равен прг. Отсюда следует, что в равенстве (14) можно будет отбросить илен $\omega^{2} r^{2} / g=\pi p r\left(\omega^{2} r / \pi g\right)$ как в числителе, так $и$ в знаменателе и, следовательно, привести равенство $к$ обычному виду
\[
\frac{T_{B}}{T_{A}}=e^{f \theta}
\]

всякий раз, когда коэффициент $\omega^{2} r / \pi g$ при $\pi р \boldsymbol{r}$ не будет очень больиим числом.

В обычных случаях ременной передачи (которую мы будем рассматривать в следующем параграфе) это обстолтельство большею частью будет выполняться. Действительно (принимая метр за единицу длины и секунду за единицу времени), радиус $r$ шкива, вообще говоря, будет $<1, g=10$ (приближенно) и $\omega=2 \pi n$, где $n$ обознатает число оборотов в секунду. Например, при $r=0,50$, принимая приближенно $2 \pi / g=2 / 3$, бјдем иметь $\omega^{2} r / \pi g=2 n^{2} / 3$ и добавочным членом можно пренебрегать, пока речь идет о небольшом числе оборотов в секунду.
27. Шроизведение $r \Delta T$ при относительном равновесии нити на блоке измеряет (по абсолютной величине) результирующий момент $\Gamma$ относительно оси блока сил, с которыми нить (или веревка) действует на самый блок. Действительно, любой элемент нити $d s$ в силу приндипа равенства действия и противодействия действует силой – $\boldsymbol{F} d s$ на элемент (жолоба). блока, с которым он соприкасаетея. Составляющая $-F_{b} d s$ этой силы по бинормали равна нулю, составляющая $-F_{n} d s=N d s$ по главной нормали пересекает ось; остается касательная составляющая $-F_{t} d s$, момент которой относительно оси блока равен $-F_{t}{ }^{r} d s$ (положнтельное направление оси выбирается таким образом, что момент касательной силы положителен, если сила направлена в сторону отсчета дуг, и отрицателен, если сила нащравлена в пютивоположную сторону).

Суммируя эти частичные слагаемые $-F_{t} r d s$, т. е. интегрируя по $s$ между двумя кондами $A$ и $B$ рассматриваемой дүги и принимал во внимание постоянство $r$ и. первое из уравнений (12), получим равенство
\[
-r \int_{A B} F_{t} d s=r \int_{A B} \frac{d T}{d s} d s=r\left(T_{B}-T_{A}\right),
\]

цв которого, приравнивая абсолютные величины, найдем
\[
\Gamma=r \Delta T
\]

согласно утверждению.

Заметим, что если речь идет о касательных составляющих, направленных в сторону отсчета дуг, произведение $-F_{t} d s$ будет положительным, и величина $T$ должна, следовательно, возрастать от $A$ к $B$. Тогда имеем $\Delta T=T_{B}-T_{A}$.