24. Для гибкой и нерастяжимой нити (векторное) неопределенное уравнение относительного равновесия можно вывести непосредственно из соотношения
$$d\mathit{T}+\mathit{F}ds=0,$$

рассмотренного в § 7, гл. XIV, где сохранены прежние обозначения, присоединяя к силе $\mathit{F}ds$, действующей на любой элемент нити, силу инерции переносного движения $\chi$. Выставляя на вид $ds$ и выражая $\chi$ в виде ${\chi }^{\ast }ds$ (где через ${\chi }^{\ast }$ обозначена сила инерции переносного движения на единицу длины нити), будем иметь
$$\frac{d\mathit{T}}{ds}+\mathit{F}+{\chi }^{\ast }=0.$$

Особенно интересным является случай, когда нить навернута на жолоб блока и движется вместә с блоком равномерно без относительного скольжения.

Предположим, пренебрегая собственным весом нити по сравнению с натяжением, что сила $\mathit{F}$ для любого элемента $ds$ сводится к реакции, пропсходящей от блока, в соприкосновении с которым находится этот элемент. Обозначим через $r$ радиус блока, через его угловую скорость, через $p$ вес единицы длины нити, предполагаемой однородной, так что $p/g$ есть масса единицы длины (линейная плотность).

Будем отсчитывать дуги в сторону движения и перейдем от уравнения (11) к внутренним уравнениям (см. гл. XIV, § 8), проектируя это уравнение на ребра естественного трехгранника траектории, в обычном предположении, что вектор $\mathit{t}$ направлен в сторону отсчета дуг, т. е. в сторону движения, а вегтор $n$ в сторону вогнутости, т. е. в сторону центра блока. Обозначим, как обычно, через $F_t,F_n,F_b$ проекции силы $\mathit{F}$ на касательную, главную нормаль и бинормаль к траектории. Так как жолоб блока может оказывать реакции только наружу (в сторону выпуклости), то проекция $F_n$ необходимо будет отрицательной и мы можем положить ее равной $-N$, обозначая через $N$ величину нормальной реакции. Ив трех проекций центробежной силы две, а йменно ${\chi }_t^{\ast }$ и ${\chi }_b^{\ast }$, будут равны нулю; проекция ${\chi }_n^{\ast }$, будучи направленной наружу, очевидно будет равна — p ${\omega }^{2}r/g$.

Уравнения относительного равновесия веревки принимают таким образом вид
$$\frac{dT}{ds}+F_t=0,\frac{T}{r}=N+\frac{p}{g}{\omega }^{2}r,F_b=v.$$
25. Если мы обратим внимание на то, что величина $p{\omega }^{2}r/g$ является постоянной, и положим
$$T^{\ast }=T-\frac{p}{g}{\omega }^{2}r,$$

то можно будет также написать
$$\frac{d{T}^{\ast }}{d\epsilon }+F_t=0,\frac{T^{\ast }}{r}=N,F_b=0;$$

эти уравнения тождественны с уравнениями абсолютного равновесия в аналогичных условиях, за исключением лишь того, что величина $T^{\ast }$ представляет здесь не само натяжение, а натяжение, уменьшенное на постоянную величину $p{\omega }^{2}r/g$.

Это замечание позволяет также и в случае относительного равновесия определить предельное соотнопение, которое должно существовать между значениями $T_A$ и $T_B$ натяжений на концах $A,B$ куска нити, когда, при заданном значении одного из них, их разность $\mathrm{\Delta }T$ достигает максимума, совместимого с существованием равновесия.

Для этого достаточно обратить внимание на то, что на основании соотношения (13) мы можәм рассматривать безразлично $T$ или $T^{\ast }$, так как $\mathrm{\Delta }T=\mathrm{\Delta }{T}^{\ast }$; для этой же последней разности условия максимума [совместимого с уравнениями (12′)] были уже установлены в гл. XIV (п. 61).

Предшоложив, например, что $T_B^{\ast }$ есть бо́льшее из натяжений на кондах $A$ и $B$, мы нашли тогда, что если равновесие существует, то должно быть
$$\frac{T_B^{\ast }}{T_A^{\ast }}⩽e^{f\theta },$$

так что предельное соотношение, при котором еще возможно равновесие, имеет вид
$$\frac{T_B^{\ast }}{T_A^{\ast }}=e^{f^{\theta }},$$

где $\theta$ есть центральный угод (в радианах), соответствующий дуге $AB$, и $f$ есть коэфициент трения (статического) между нитью и блоком. Подставив вместо $T^{\ast }$ его ‘выражение (13), мы получим прежде всего соотношение
$$\frac{T_B-\frac{p}{g}{\omega }^2{r}^2}{T_A-\frac{p}{g}{\omega }^2{r}^2}⩽e^{f\theta },$$

выражающее необходимое условие относительного равновесия, т. е. отсутствия скольжения между нитью и вращающимся блоком, и, в частности, равенство
$$\frac{T_B-\frac{p}{g}{0}^2{r}^2}{T_A-\frac{p}{g}{\omega }^2{r}^2}=e^{f\theta },$$

которое и является искомъм соотношением между натяжениями на концах, когда одно из них дано и разность достигает наибольиего возможного значения.

То же самое соотношение между $T_A$ и $T_B$ должно, конечно, существовать и тогда, когда, наой, от, предполагается заданной разность $\mathrm{\Delta }Т$ и требуется (совместно с существованием относительного равновесия), чтобы натяжение $T_A^{\prime }$ было наименьиим.
26. Заметим, что мы с самого начала предположили возможным цренебрегать собственным весом нити по сравнению с натяжением.

Так как вес единицы длины нити равен $p$ и нить охватывает приблизительно половину окружности блока, то вес, о котором идет речь (по предположению, ничтожный по сравнению с $T$ ) будет равен прг. Отсюда следует, что в равенстве (14) можно будет отбросить илен ${\omega }^2{r}^2/g=\pi pr\left({\omega }^{2}r/\pi g\right)$ как в числителе, так $и$ в знаменателе и, следовательно, привести равенство $к$ обычному виду
$$\frac{T_B}{T_A}=e^{f\theta }$$

всякий раз, когда коэффициент ${\omega }^{2}r/\pi g$ при $\pi р\mathit{r}$ не будет очень больиим числом.

В обычных случаях ременной передачи (которую мы будем рассматривать в следующем параграфе) это обстолтельство большею частью будет выполняться. Действительно (принимая метр за единицу длины и секунду за единицу времени), радиус $r$ шкива, вообще говоря, будет $<1,g=10$ (приближенно) и $\omega =2\pi n$, где $n$ обознатает число оборотов в секунду. Например, при $r=0,50$, принимая приближенно $2\pi /g=2/3$, бјдем иметь ${\omega }^{2}r/\pi g=2n^2/3$ и добавочным членом можно пренебрегать, пока речь идет о небольшом числе оборотов в секунду.
27. Шроизведение $r\mathrm{\Delta }T$ при относительном равновесии нити на блоке измеряет (по абсолютной величине) результирующий момент $\mathrm{\Gamma }$ относительно оси блока сил, с которыми нить (или веревка) действует на самый блок. Действительно, любой элемент нити $ds$ в силу приндипа равенства действия и противодействия действует силой — $\mathit{F}ds$ на элемент (жолоба). блока, с которым он соприкасаетея. Составляющая $-F_{b}ds$ этой силы по бинормали равна нулю, составляющая $-F_{n}ds=Nds$ по главной нормали пересекает ось; остается касательная составляющая $-F_{t}ds$, момент которой относительно оси блока равен $-F_t{}^{r}ds$ (положнтельное направление оси выбирается таким образом, что момент касательной силы положителен, если сила направлена в сторону отсчета дуг, и отрицателен, если сила нащравлена в пютивоположную сторону).

Суммируя эти частичные слагаемые $-F_{t}rds$, т. е. интегрируя по $s$ между двумя кондами $A$ и $B$ рассматриваемой дүги и принимал во внимание постоянство $r$ и. первое из уравнений (12), получим равенство
$$-r{\int }_{AB}{F}_{t}ds=r{\int }_{AB}\frac{dT}{ds}ds=r(T_B-T_A),$$

цв которого, приравнивая абсолютные величины, найдем
$$\mathrm{\Gamma }=r\mathrm{\Delta }T$$

согласно утверждению.

Заметим, что если речь идет о касательных составляющих, направленных в сторону отсчета дуг, произведение $-F_{t}ds$ будет положительным, и величина $T$ должна, следовательно, возрастать от $A$ к $B$. Тогда имеем $\mathrm{\Delta }T=T_B-T_A$.