31. Чтобы видеть, какое применение находят предыдущие соображения в случае ферм, обратимся к простым треугольным фермам.

Как и в случае фиг. 60 (соответствующем предположению $n=6$ ), обозначим, начиная от крайнего узла, через $P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}$ узлы произвольной простой треугольной фермы, взятые в одном из двух возможных порядков их следования на контуре. Предполагается, что к узлам фермы приложены внешние силы $\boldsymbol{F}_{1}, \boldsymbol{F}_{2}, \ldots, \boldsymbol{F}_{n}$ и система находится в равновесии.

Обозначим через $M_{2}, M_{3}, \ldots, M_{n}, M_{1}$ точки пересечения линий действия сил $\boldsymbol{F}_{1}$ и $\boldsymbol{F}_{2}, \boldsymbol{F}_{2}$ и $\boldsymbol{F}_{3}, \ldots, \boldsymbol{F}_{n-1}$ и $\boldsymbol{F}_{n}, \boldsymbol{F}_{n}$ и $\boldsymbol{F}_{1}$ и рассмотрим сначала общий случай, ғогда линии дейетвия сил, щриложенных к двум последовательным узлам, непараллельны.

Отвлечемся временно от величины этих сил и представим себе, что к ферме присоединены трејгольники $P_{1} P_{2} M_{1}, P_{2} P_{3} M_{2}, \ldots$ $\ldots, P_{n} P_{1} M_{n}$; полученную таким образом диаграмму $F$, которая все еще состоит исключительно из треугольников (но не может уже называться простой), назовем веревочным многоугольнком. При этом нужно обратить внимание нд то, что на линии действия каждой силы, например на линии действия силы ‘ $\boldsymbol{F}_{i}$, найдутся две тақие точки $M$, а именно: точки пересечения $M_{i}$ и $M_{i_{+1}}$ с линиями действия сил $\boldsymbol{F}_{i-1}$ и $\boldsymbol{F}_{i+1}$, что каждый узел $P_{i}$ будет находиться на одной прямой с соответствующими двумя точками $M_{i}$ и $M_{i+1}$. Это будет справедливо для всех значений $1,2, \ldots, n$ индекса $i$, если мы условимся, что индексы 0 и $n, 1$ и $n+1$ эквивалентны между собою.

Такой веревочный многоугольник $F$ можно рассматривать бесконечным множеством способов каг ортогональную проекцию на плоскость (которую мы примем за ортографическую плоскость $z=0$ ) многогранника $F$ с треугольными гранями. Для этого достаточно принять за вершину многогранника $\mathfrak{F}$, соответствующую каждой отдельно взятой точке $M$, произвольную точку $\mathfrak{R}$ перпендикуляра в точке $M_{i}$ к ортографической плоскости. Тогда, так как точка $P_{i}$ находится на одной прямой с точками $M_{i}$ и $M_{i+1}$, если мы хотим сохранить это свойство для соответствующих точек поверхности $\mathfrak{F}$, точка $\mathfrak{P}_{i}$ должна быть определена в плоскости, проектирующей прямую $\mathfrak{R}_{i} \mathfrak{R}_{i+1}$, как точка перөсечения этой прямой с перпендикуляром к ортографической шлоскости в $P_{i}$. Әтот способ нельзя применять только тогда, когда точки $M_{i}$ и $M_{i+1}$ совпадают; но в этом случае точку $\mathfrak{P}_{i}$ можно взять произвольно на перпендикуляре к ортографической плоскости, восставленном из $P_{i}$.

Таким образом, каждый треугольник веревочного многоугольника (будь то треугольник фермы или один из присоединенных треугольников $P_{i-1} P_{i} M_{i}$ ) является проекцией одной грани (треугольной) многогранника ㅇ. Следует, однако, предушредить, что такое построение не всегда внполнимо, когда речь идет о ферме, имеющей нетреугольное звено; когда это возможно, то необходимо соблюдать некоторую осторожность в выборе вершин многогранника, следя за тем, чтобы вершины, которые проектируются в узлы одного и того же звена, лежали в одной плоскости.

Возвращаясь к фигуре $\mathfrak{F}$, разсмотрим полярную ей фигуру $\mathfrak{F}^{\prime}$ относительно нулевой системы, имеющей центральную ось, перпендикулярную к ортографической плоскости. Мы знаем, что ортогональная проекция $F^{\prime}$ фигуры $\mathscr{F}^{\prime}$ на ортографическую плоскость будет взаимной с $F$ в смысле, разъясненном в п. 26 . В частности, сторонам $M_{1} M_{2}, M_{2} M_{3}, \ldots, M_{n} M_{1}$, расположенным на линиях действия сил $\boldsymbol{F}_{1}, \boldsymbol{F}_{2}, \ldots, \boldsymbol{F}_{n}$, отвечают отрезки $Q_{1} Q_{2}, Q_{2} Q_{3}, \ldots, Q_{n} Q_{1}$, произвольно, т. е. если высоты точек $\mathfrak{M}_{i}$ относительно ортографической плоскости были взяты произвольно, то нет основания для того, чтобы многоугольник $Q_{1} Q_{2} \ldots Q_{n}$ был силовъм многоугольником для сил $\boldsymbol{F}_{i}$. Мы покажем здесь, что, выбирая подходящим образом высоты отдельных точек $\mathfrak{R}_{i}$, можно добиться того, чтобы действительно указанный многоугольник был силовым многоугольником, т. е. чтобы ориентированные отрезки $Q_{1} Q_{2}, Q_{2} Q_{3}, \ldots, Q_{n} Q_{1}$, параллельные силам $\boldsymbol{F}_{1}, \boldsymbol{F}_{2}, \ldots, \boldsymbol{F}_{n}$, были также равны им юо величине и направлены каждый в сторону соответствующей силы.

Чтобы убедиться в этом, представим себе, что выбрана система декартовых осей координат Охуz, имеющая плоскостью $z=0$ ортографическую плоскость и осью $z$ центральную ось нулевой системы, так что соответствующее уравнение будет иметь вид (30), и обозначим через $\xi_{i}, \eta_{i}, 0$ координаты любой точки $M_{i}(i=1,2, \ldots, n)$. Теперь остается подходящим образом выбрать третью координату $\zeta_{i}$ для каждой отдельно взятой точки $\mathfrak{R}_{i}$ (первые две координаты которой суть $\xi_{i}, \eta_{i}$ ).

Заметим сначала, что для системы сил $\boldsymbol{F}_{i}$ существует $\infty^{2}$ силовых многоугольников, наложимых друг на друга посредством поступательного перемещения, поэтому достаточно закрепить положение одной из вершин для того, чтобы многоугольник был однозначно определен. Выбрав один из этих многоугольников и обозначив его через $Q_{1} Q_{2} \ldots Q_{n}$, предположим, что
\[
\beta_{i} x-\alpha_{i} y+\rho_{i}=0 \quad(i=1,2, \ldots, n)
\]

есть уравнение стороны $Q_{i} Q_{i+1}$ в нормальном виде, где $\alpha_{i}, \beta_{i}$ обозначают направляющие косинусы силы $F_{i}$.

Наша дель бұдет достигнута, если мы покажем, что при надлежащем выборе высот $\zeta_{i}$ отдельных точек $\mathfrak{M}_{i}$ каждой отдельно взятой прямой $M_{i} M_{i+1}$ фигуры $F$ соответствует [как проекция на плоскость $z=0$ поляры прямой $\mathfrak{R}_{i} \mathfrak{M}_{i+1}$ относительно нулевой системы (30)] прямая $Q_{i} Q_{i+1}$ с уғавнением (31). Для этой дели заметим, что, на основании уравнения (30), уравнения поляры прямой $\mathfrak{M}_{i} \mathfrak{R}_{i+1}$ (пересечения плоскостей, полярных точкам $\mathfrak{R}_{i}$ и $\mathfrak{R}_{i+1}$ ) имеют вид
\[
k\left(z-\zeta_{i}\right)=\eta_{i} x-\xi_{i} y, \quad k\left(z-\zeta_{i+1}\right)=\eta_{i+1} x-\xi_{i+1} y,
\]

так что уравнение проекции этой поляры на плоскость $z=0$, т. е. уравнение прямой, взаимной с $M_{i} M_{i+1}$, получится, если мы исключим $z$ из уравнений (32). В резу.ьтате мы получим уравнение
\[
-k \Delta \zeta_{i}=x \Delta \eta_{i}-y \Delta \xi_{i} \quad(i=1,2, \ldots, n),
\]

где положено
\[
\begin{array}{l}
\Delta \xi_{i}=\xi_{i+1}-\xi_{i}, \Delta \eta_{i}=\eta_{i+1}-\eta_{i} ; \quad \Delta \zeta_{i}=\zeta_{i+1}-\zeta_{i} \\
(i=1,2, \ldots, n)
\end{array}
\]

Рассматривая теперь общий случай, когда две точки $M_{i}\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right)$, $M_{i+1}\left(\xi_{i+1}, \eta_{i+1}\right)$ различны, вспомним, что соединяющая их прямая есть линия действия силы $\boldsymbol{F}_{i}$, направляющие косинусы которой-$\alpha_{i}, \beta_{i}$, так что при подходящем множителе $\lambda_{i}$ (по величине равном расстоянию $M_{i} M_{i+1}$ ) будем иметь
\[
\Delta \xi_{i}=\lambda_{i} \alpha_{i}, \quad \Delta \eta_{i}=\lambda_{i} \beta_{i} \quad(i=1,2, \ldots, n)
\]

и уравнение (33) можно будет написать в виде
\[
-\frac{k}{\lambda_{i}} \Delta \zeta_{i}=\beta_{i} x-\alpha_{i} y .
\]

Для того чтобы это уравнение было тождественно с уравнением (31) прямой $Q_{i} Q_{i+1}$, необходимо и достаточно, чтобы было
\[
\Delta \zeta_{i}=\zeta_{i+1}-\zeta_{i}=\frac{\lambda_{i} p_{i}}{k} \quad(i=1,2, \ldots, n) .
\]

Если $M_{i+1}$ совпадает с $M_{i}$, то достаточно представить себе, что $\lambda_{i}$ стремится к нулю, чтобы заключить, на основании самого уравнения (36), что в пределе ми получим $\Delta \zeta_{i}=0$; таким образом, если совпадают две (или более) последовательные точки $M$, то будут совпадать также и соответствуюшие им вершины многогранника $\mathfrak{P}$.

Выбрав произвольно одну из величин $\zeta$, например $\zeta_{1}$, из первого из уравнений (36) мы получим значение $\zeta_{2}$; складывая почленно два первых уравнения (36), получим $\zeta_{3}$; щродолжая таким образом, найдем $\zeta_{n}$, сложив почленно первые $n-1$ уравнений (36).

После этого остается только проверить, удовлетворят ли полученные таким образом значения для $\zeta_{i}$ последнему из уравнений (36). Эту проверку можно выполнить, установив, что последнее уравнение является следствием остальншх в справедливости этого можно убедиться, складывая почленно все уравнения (36) и замечая, что получающееся в результате уравнение представляет собой тождество.

Действительно, прежде всего ясно, что сумма левых частей будет тождественно равна нулю, так что все сводится к тому, чтобы убедиться, будет ли равна нулю также и сумма правых частей, или, что равносильно, будет ли равно нулю выражение
\[
\sigma=\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} \rho_{i}
\]

Әто следует из обычного истолкования о. Обозначив через $x_{i}, y_{i}$ координаты точки $Q_{i}$, лежащей вместе с $Q_{i+1}$ на прямой, внражающейся уравнением (31), будем тождественно иметь
\[
\beta_{i} x_{i}-\alpha_{i} y_{i}+\rho_{i}=0 \quad(i=1,2, \ldots, n),
\]

так что можно написать
\[
\sigma=\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}\left(\alpha_{i} y_{i}-\beta_{i} x_{i}\right),
\]

или, на основании равенетв (35) и (34),
\[
\sigma=-\sum_{i=1}^{n}\left[y_{i}\left(\xi_{i+1}-\xi_{i}\right)-x_{i}\left(\eta_{i+1}-\eta_{i}\right)\right] .
\]

Но в силу соглашения считать тождественными два индекса, если они отличаются друг от друга на $n$, будем иметь тождественно
\[
\sum_{i=1}^{n} y_{i} \xi_{i}=\sum_{i=1}^{n} y_{i+1} \xi_{i+1}, \sum_{i=1}^{n} x_{i} \eta_{i}=\sum_{i=1}^{n} x_{i+1} \eta_{i+1}
\]

и, следовательно,
\[
\sigma=\sum_{i=1}^{n}\left[\xi_{i+1}\left(y_{i+1}-y_{i}\right)-\eta_{i+1}\left(x_{i+1}-x_{i}\right)\right] .
\]

Отсюда, так как разности $x_{i+1}-x_{i}, y_{i+1}-y_{i}$ являютея проекциями вектора $Q_{i+1}-Q_{i}=\boldsymbol{F}_{i}$, тогда как $\xi_{i+1}, \quad \eta_{i+1}$ суть координаты точки $M_{i+1}$ на линии действия силы, приложенной в узле $P_{i}$, мы видим, что – о есть результирующий момент системы сил $\boldsymbol{F}_{i}$ относительно начала координат, в скалярном смысле, что подходит для плоского случая. Так как речь идет об уравновешенной системе, то непосредственно имеем $\sigma=0$.

В заключение мы можем сказать, что тем самым в пространстве определен многогранник $\mathfrak{F}_{1}$, по крайней мере, с точностью до поступательного перемещения, перпендикулярного к ортографической плоскости, происходящего от произвольности выбора высоты одной из точег $\mathfrak{M}_{i}$.
Этот многогранник имеет:
1) ортогональной проекцией на ортографическую плоскость веревочный многоугольник, составленный из фермы и линий действия прямо приложенных сил;
2) полярной фигурой относительно нулевой системы (с осью, перпендикулярной к ортографической плоскости) фигуру $F^{\prime}$, которая проектируется на эту плоскость в виде диаграммы внешних сил и внутренних усилий; на диаграмме произвольно заданным является положение одной из вершин многоугольника внешних сил.
32. Для полноты рассмотрим случай, когда какая-нибудь прямо приложенная сила параллельна одной из двух смежных сил, так что соответствующая точка $M$ уходит в бесконечность; надо заметить, что для практики этот случай наиболее важен, так как он имеет место для всех прямо прпложенных сил, когда речь идет о фермах, подвергающихся исключительно действию вертикальных сил в узлах.

Легко видеть, что построения и рассуждения предыдущего пункта распространяются, с очевидными изменениями, также и на этот случай.

Пользуясь обозначениями предыдущего пункта, предположим, что $\boldsymbol{F}_{j}$ есть первая из прямо приложенных сил, параллельная смежной с ней силе $\boldsymbol{F}_{j+1}$, так что $M_{j+1}$ есть первая из точек $\boldsymbol{M}$, которая уходит в бесконечность. Для предыдущих точек $M_{1}, M_{2}, \ldots, M_{j}$
можно предположить, что соответствующие им вершины $\mathfrak{R}_{1}, \mathfrak{R}_{2}, \ldots, \mathfrak{R}_{j}$ многогранника построены способом, указанным в предыдущем пункте. Что же касается несобственной точки $M_{j+1}$, то если $\alpha_{j}, \beta_{j}$ по прежнему обозначают направляющие косинусы силы $F_{j}$ (и, следовательно, также силы $F_{j+1}$ ), то ее можно рассматривать как предельное положение точкі с кооддинатами $\rho \alpha_{j}, \rho \beta_{j}$, когда $\rho$ стремится к бесконечности; высоту $\zeta_{j+1}$ точки $\mathfrak{N}_{j+1}$, проекцией которой на ортографическую плоскость является точка $M_{j+1}$, можно выразить в виде $\rho \chi_{j+1}$, где величина $\chi_{j+1}$ произвольна.

Веледствие этого уравнение (33), для значения $j$ индекса $i$, если обе части этого уравнения разделить на $\rho$ и заставить $\rho$ стремиться к бесконечности, в пределе принимает вид
\[
-k \chi_{j+1}=x \beta_{j}-y \alpha_{j} ;
\]

если сравним его с уравнением (31) при $i=j$, т. е. с уравнением
\[
\beta_{j} x-\alpha_{j} y+\rho_{j}=0
\]

прямой $Q_{j} Q_{j+1}$, то увидим, что
\[
k \chi_{j+1}=p_{j} .
\]

Таким образом (посредством своих однородных координат $\left.\alpha_{j}: \beta_{j}: \chi_{j+1}: 0\right)$ определена та нессбственная точка $\mathfrak{M}_{j+1}$, полярная плоскость которой (параллельная оси) пересекает полярную плоскость точки $\mathfrak{R}_{j}$ по прямой, имеющей проекцией на ортографическую плоскость прямую $Q_{j} Q_{j+1}$. Так как $\mathfrak{M}_{j+1}$ лежит в своей полярной плоскости, перпендикулярной к ортографической плоскости и пересекающей ее вдоль прямой $Q_{j} Q_{j+1}$, то этим подтверждается, что $M_{j+1}$ (несобственная точка этой последней прямой) есть ортогональная проекция (на плоскость $z=0$ ) точки $\mathfrak{M}_{j+1}$.

Если, далее, и точка $M_{j+2}$ является несобственной, что равносильно тому, что сила $\boldsymbol{F}_{j+2}$ параллельна двум предыдущим, то сторона $Q_{j+2} Q_{j+3}$ многоугольника внешних сил будет идти по прямой двух предыдущих сторон $Q_{j} Q_{j+1}, Q_{j+1}, Q_{j+2}$, т. е. она также будет лежать на прямой, выражающейся уравнением (37), и точка $M_{j+2}$ совцадет с $M_{j+1}$.

Для того чтобы и в этом случае общее построение привело к этой прямой (37), необходимо и достаточно, чтобы она была следом полярной плоскости (перпендикулярной к ортографической плоскости) точки $\mathfrak{R}_{j+2}$. Другими словами, необходимо и достаточно, чтобы $\mathfrak{R}_{j+2}$ совпадала с определенной ранее несобственной точкой $\mathfrak{R}_{j+1}$. Так продолжаем до тех пор, пока встречаются несобственные последовательные точки $M$, т. е. параллельные прямо приложенные силы.
33. Мысль обратиться $\boldsymbol{\kappa}$ пространственным построениям для того, чтобы связать две диаграммы „а“ и „б“, соответетвующие любой неизменяемой ферме без лишних стержней, принадлежит Максвеллу ${ }^{1}$ ), который, впрочем, пользовался не нулевой системой, а полярностью относительно параболоида вращения с осью, перпендикулярной к ортографической плоскости. Теория взаимных диаграмм Максвелла строится аналогично теории, указанной в предыдущих пунктах; при этом, однако, имеется то неудобство, что плоские диаграммы, к которым приходят таким путем, хотя и взаимны в смысле п. 26, но не обладают свойством параллельности между соответствующими сторонами. Стороны, соответствующие друг другу на обеих диаграммах в силу полярности относительно параболоида, будут взаимно перпендикулярными. Если мы примем во внимание, что главной целью этих способов является определение усилий, направление которых уже установлено стержнями фермы, так что для каждого из них требуется определить лишь величину и сторону действия, то станет очевидным, что ориентация диаграммы „б“ относительно диаграммы „а\” не имеет существенного значения. \”Но несомненно более наглядную связь между двумя диаграммами дает диаграмма „б“ с той ориентацией, к которой мы приходим прямым методом (II. 26).

Что этого можно достичь путем обращения к нулевой системе, впервые было доказано Кремона ${ }^{2}$ ) в его мемуаре „Le figure reciproche nella Statica grafica\” ${ }^{3}$ ).