4. Для того чтобы выразить аналитически закон распределения массы внутри тела, необходимо ввести нонятие о плотности.

Тела физически однородные (вода, литое железо и т. п.) харантеризуются тем свойством, что веса (измеренные в одном и том же месте) их частей пропорциональны соответствующим объемам. Следовательно, мы имеем пропорциональность (независимо от того, в каком месте на Земле мы находимся) между массами различных точек однородного тела и соответствующими объемами.

Поэтому, если мы обозначим через $S$ объем любого однородного тела, через $m$ его массу и через $\Delta S$ и $\Delta m$ объем и массу какойнибудь его части, то будем иметь
\[
\frac{\Delta m}{\Delta S}=\frac{m}{S} ;
\]

это отношение численно равно массе единицы объема рассматриваемого тела. Оно называется плотностью тела $C$. Обозначая плотность через $\mu$, будем иметь
\[
\mu=\frac{\Delta m}{\Delta S}
\]

это равенство справедливо, каков бы ни был объем рассматриваемой части тела $C$. Поэтому, предположив, что рассматриваемая часть тела стягивается к точке, так что ее объем и масса стремятся н нулю, в пределе будем иметь
\[
\mu=\frac{d m}{d S} .
\]

Шользуясь языком анализа бесконечно малых, мы можем сказать, что $\mu$ есть отнопение массы бесконечно малой частицы напего тела $\kappa$ соответствующему объему. Из соотношения (1) имеем
\[
d m=\mu d S \text {, }
\]

так что массу $m$ тела $C$ можно представить в виде интеграла
\[
\int_{S} d m
\]

распространенного на всю область $S$ пространства, занятую телом $C$. На основании равенства (2) этот интеграл не отличается от интеграла
\[
\int_{S} \mu d S
\]

или от интеграла
\[
\mu \int_{S} d S=\mu S
\]

что согласуется с данным выше определением величины $\mu(\mu=m / S)$.
Эти естественные замечания подсказывают нам обобщение, которое в то же время соответствует нашей физической интуиции и духу анализа бесконечно малых. Мы можем представить себе, что тело $C$ состоит не из однородной материи, а из смеси различных веществ; идеализируя, мы можем предположить, что материальная структура тела $C$ изменяется от точки к точке непрерывно. Тогда отномение
\[
\frac{\Delta m}{\Delta S}
\]

массы некоторой частицы тела $C$ к соответствующему объему (средняя плотность тела $C$ в объеме $\Delta S$ ) будет изменяться при изменении частицы. Предположим, что когда мы заставляем объем $\Delta S$ стремиться к нулю, стягивая его к одной из его точек $P$, отношение (3) стремится к определенному конечному пределу
\[
\mu=\lim _{\Delta S \rightarrow P} \frac{\Delta m}{\Delta S} \text {. }
\]

Этот предел называется плотностью тела в точке $P$; мы будем предполагать, что плотность $е$ представляет собой конечжую $u$, вообще говоря, непрерьвную ${ }^{1}$ ), а поэтому, в частности, интегрируемую функцию от точек области $\mathcal{S}$, занятой телом.

Отправляясь от этой функции $\mu$, мы получим массу $m$ в виде интеграла от $\mu$, распространенного на область $S$. Для этой цели достаточно принять во внимание, что равенство (4), обозначив через \& некоторую величину, стремящуюся к нулю вместе с $\Delta S$. можно написать в виде
\[
\frac{\Delta m}{\Delta S}=\mu+\varepsilon
\]

или в виде
\[
\Delta m=\mu \Delta S+\varepsilon \Delta S ;
\]
1) Этим мы хотим сказать, что может существовать лишь конечное число поверхностей, при переходе через готорые функция испытывает разрывы.

отсюда следует, что
\[
m=\Sigma\left(\mu \Delta S+\varepsilon \Delta S^{\prime}\right),
\]

где сумма распространяется на весь объем $S$, занятый телом $C$. Так как это соотношение справедливо при любом разделении тела на части, то достаточно будет заставить стремиться к нулю по гакому угодно закону объем $\Delta S$ каждой отдельной частицы, чтобы на основании известных соображений из анализа получить
\[
m=\int_{S} \mu(z, y, z) d S
\]

где $d S$ означает элемент объема.
Элемент интеграла (6), распространенного на область трех измерений, можно представить на основании формулы (5) (по крайней мере, до бесконечно малых высшего порядка) в виде
\[
d m=\mu(x, y, z) d S .
\]

Этот материальный элемент (бесконечно малая масса, распределенная в бесконечно малом объеме) является чисто математическим понятием; но так как при изложении принципов механики материальной точки и при дальнейпшх выводах мы всегда отвлекаемся от абсолютной величины частищы, которую называем точкой, и считаем, что эти принципы и выводимые из них следствия справедливы для частиц сколь угодно малых размеров, то они могут считаться имеющими силу и в пределе, а сдедовательно, и для только что рассмотренных материальных элементов.

Заметим, что равенство (6) при постоянном $\mu$ (т. е. при $\mu$, не зависящем от $x, y, z$ ) дает
\[
m=\mu \int_{S} d S=\mu S,
\]

откуда мы снова можем найти выражение для плотности $\mu$ однородного тела, из которого исходили.
5. Материальнып поверхности и линии. Рассмотрим, в частности, тело, одним измерением которого можно пренебречь, например пластинку или мембрану или стенки сосуда столь малой толщины (по сравнению с другими размерами), что занятое ими пространство можно приближенно определить посредством куска поверхности. Такое тело назнвается материальной поверхностью.

Аналогично, материальной линией называется тело, уподобляемое (в отношении занимаемого пространства) геометрической линии, например нить, тонкий стержень, тонкое кольцо (с тапим отверстием, чтобы его нельзя было рассматривать кав одну материальную точку).

Обозначим через $S$ геомөтрический образ (поверхность или линию), соответствующий некоторой материальной поверхности или линии. Далее, введем условие, посредством которого всякому элементу $\Delta S$ поверхности или линии соответствует некоторый элемент $\Delta C$ тела. Самый простой и естественный способ установить такое соответствие заключается в следующем:
1) $B$ случае поверхности элементу $\Delta S$ (фиг. 10) ставят в соответствие часть тела, заключенную внутри цилиндроида, который образован нормалями в поверхности $S$, восставленными из отдельных точек контура $\Delta S$.

Когда поверхность $S$ представляет собой плоскость, цилиндроид обращается в цилиндр, который всегда можно рассматривать, предполагая $\Delta S$ бесконечно малым.
Фиг. 10.
Фиг. 11.
2) $B$ случае линии элементу $\Delta S$ (фиг. 11) ставят в соответствие часть тела, заключенную между двумя нормальными к $S$ плоскостями, проведенными через концы $\Delta S$.

Так как всем точкам пространства, занятого телом, могут быть поставлены в соответствие точки $S$, то, очевидно, тело можно рассматривать как совокупность материальных точек, размещенных на $S$. Разделив $S$ на достаточно малые части $\Delta S$, каждой из них ставят в соответствие материальную точку по только что установленным правилам.
6. Подобно тому как мы постушили в случае тел трех измерений, введем и здесь среднюю плотность $m / S$ и локальную плотность
\[
\lim \frac{\Delta m}{\Delta S},
\]

предполагая, что элемент $\Delta S$ безгранично уменьшается, стремясь к определенной точке $P$ из $S$.

Что касается существования этого предела и его аналитического выражения в функции от точек области $S$, то здесь сохраняют свое значение соображения, аналогичные соображениям п. 4.

В конечном счете достаточно сохранить формулы (6) и (7) с очевидной оговоркой, что хотя $\mu$ и продолжает обозначать (интегрируемую) функцию точек области $S$, однако ее физическая природа будет раздичной в зависимости от чисда измерений области; в общем случае п. $4 \mu$ будет отношением (или пределом отношения) массы к объему и, следовательно, будет иметь размерность $l^{-3} m$; в случае материальной поверхности речь идет об отношении массы к площади, имеющем размерность $l^{-2} m$; в случае материальной линииоб отношении массы $к$ длине, имеющем размерность $l^{-1} m$.

Для избежания неясности эти три случая плотности различают, вводя названия: кубическая или объемная плотность (понятие, сохраняющее свое значение для какого угодно тела), поверхностная плотность (применяется в случае материальных поверхностей), линейная плотность (применяется в случае материальных линий).
7. Материальная поверхность называется однородной, когда ее поверхностная плотность постоянна. Заметим, что однородная материальная поверхность, рассматриваемая как тело трех измерений, т. е. имеющая постоянную объемную плотность, может не бытьоднородной в смысле поверхности, т. е. может иметь не постоянную поверхностную цлотность. Постаточно представить себе пластинку или лист из однородного материала, но с изменяющейся от точки к точке толщиной; в этом случае поверхностная плотность изменяется пропорционально толцине.
То же самое справедливо и д.я материальной линии.