28. Вращательное движение можно, как известно, передавать с одного вала на другой, параллельный первому, посредством ремня, натянутого на два пкива, каждый из которых жестко соединен с соответствующим валом; оба шкива должны лежать в одной и той же плоскости, нормальной к обеим осямм вращения.

Обратимся к этому случаю и изобразим оба шкива в виде двух окружностей $C$ и $C_{1}$ (фиг. 80); обозначим через $O$ и $O_{1}$ их центры, т. е. следы соответствующих осей, через $A, A_{1}$ и $B, B_{1}$ – точки касания общих касательных к двум окружностям (внешних или внутренних в зависимости от того, будет ли передача өткрытой или перекрестной).

Ремень расположитея приближенно по замкнутому контуру, состоящему из двух дуг окружностей $\overparen{A P B}, \overparen{A_{1} P_{1} B_{1}}$ и из двух прямолинейных отрезков $A A_{1}, B B_{1}$. Предполагая для определенности, что $C_{1}$ являетея ведущим шкивом и шкивы вращаютея в стороны, указанные на фиг. 80 стрелками, будем называть отрезок $B B_{1}$ ремня (в котором движение обращено к ведущему шкиву) ведуиим, а отрезог $A A_{1}$ ведомим.

При установившемея режиме точки ремня движутся с постоянной скоростью, которая передается наружным (рабочим) поверхностям ободов пкивов. После того, как материальный элемент ремня приходит в соприкосновение в положении $A$ (или $B_{1}$ ) с материальным әлементом пкива $C$ (или шкива $C_{1}$ ), он остается в соприкосновении с тем же самым элементом до положения $B$ (или соответственно $A_{1}$ ).

Поэтому, обозначив через $r$ и $r_{1}$ радијсы шкивов $C, C_{1}$ и через $\omega$ и $\omega_{1}$ угловые скорости установившегося движения (соответственно вокруг $O$ и $O_{1}$ ), мы получим, приравнивая линейные окружные скорости,
\[
r \omega=r_{1} \omega_{1} .
\]

29. Предположим, что на ведтщий вал $O_{1}$ (равномерно вращающийся с заданной угловой скоростью $\omega_{1}$ ) накинут ремень для того, чтобы заставить вращаться с угловой скоростью ш другой вал $O$, преодолевая некоторые сопротивления, момент которых относительно оси вращения (точнее, абсолютную величину этого момента) мы обозначим через $\gamma$.

Согласно уравнению (15), мы должны выбрать радиусы $r$ и $r_{1}$ обратно пропорциональными угловым скоростям $\omega$ и $\omega_{1}$. Что же касаетє̈я ремня, то ясно, что он, во-первых, не должен быть натянут слишком слабо, потому что в таком случае или на него не было бы воздействия со стороны шкива $C_{1}$ или же он сбегал бы с обода шкива (или даже с ободов обоих шивов), не сообщая валу $O$ желательного вращения. Но ясно также, что ремень не должен быть и слишком сильно натянут, тап как в этом случае увеличится бесцельно трение (между осями валов и соответствующими подшипниками) и, следовательно, потребуется большая мощность у ведущего вала.

Для того чтобы рассмотреть точнее этот вопрос, определим различные силы, действующие на шाкив $C$ и неизменно связанный с ним вал, имея в виду, что по существу речь идет о твердом теле с неподвижной осью, находжщемєл в равномерном вращении, и что, следовательно, силы должны удовлетворять соответствующему условию относительного равновесия, т. е. должен исчезать результирующий момент относительно неподвижной оси всех внешних сил, действующих на шкив $C$ (центробежные еилы ничего не прибавляют к этому моменту).
Действительно приложенными силами будут:
1) Силы, с которыми ремень действует на шкив $C$ вдоль дуги $\overparen{A P B}$. Их результирующий момент равен (п. 27) $r \Delta T$. Так как в предположенных условиях касательные составляющие этих сил дейетвуют вдоль дуги $\overparen{A P B}$ в сторону от $A$ к $B$, то (согласно замечанию в конце п. 27) будем иметь
\[
T_{B}>T_{A} \quad \text { и } \quad \Delta T=T_{B}-T_{A} .
\]
2) Различные сопротивления, которые можно разделить на полезные и вредные (пассивные сопротивления).

Результирующий момент первых представляет собой данную величину, которую мы обозначим через $\gamma$.

Пассивные же сопротивления, между которыми преобладающим является трение оси о подшипники, наоборот, существенно зависят от натяжения ремня. Обозначим неизвестный заранее момент пассивных сопротивлений через $\alpha$. Тогда $\gamma+\alpha$ будет общим моментом сопротивления.
Поэтому будем иметь
\[
r \Delta T=\gamma+\alpha .
\]

30. Задача, которую мы теперь будем рассматривать, заключается в следующем. Подобрать натяжение ремня так, чтобы:
a) части ремня, налегающие на внешние поверхности ободов, находились в относительном равновесии;
б) выполнялось равенство (16);
в) пассивные сопротивления были сведены к минимуму. Заметим сначала, что при условии хорошей работы передачи величина $\alpha$ должна представлять собой незначительную часть от $\gamma$, так что равенство (16) (с приближениек, достаточным для практически интересных случаев) может быть заменено равенством
\[
r \Delta T=\gamma .
\]

Условие заглючается, таким обрразом, в том, что разность между натяжениями на кондах дуги $A \overparen{P B}$ должна иметь заданное значение.

Далее, легко видеть, что для выполнения условия „б“ надо уменьшить, насколько возможно, натяжение или, если задана разность $\Delta T=T_{B}-T_{A}$ между значениями натяжений на концах, уменьшить, насколько возможно, $T_{A}$ (конечно, при выполнении условия „а“, обеспечивающего относительное равновесие по отношению к $C$ ).

Мы пришли таким образом к условиям п. 25, к, следовательно, для ответа на вопрос задачи должны присоединить к уравнению (16′) предельное соотношение (14) [или (14′), если угловая скорость не слишком велика].

Если в равенство (14) внесем вместо $T_{B}$ значение $T_{A}+\gamma / r$, полученное из соотношения ( $16^{\prime}$ ), то для определения $T_{A}$ окончательно будем пметь уравнение
\[
\frac{T_{A}+\frac{\gamma}{r}-p \frac{\omega^{2} r^{2}}{g}}{T_{A}-p \frac{\omega^{2} r^{2}}{g}}=e^{\rho \theta},
\]

откуда
\[
T_{A}=p \frac{\omega^{2} r^{2}}{g}+\frac{\gamma}{r\left(e^{f^{\theta}}-1\right)} ;
\]

здесь первый член больщей частью весьма мал по сравнению со вторым.
31. Надо заметить, что угол $\theta$ (строго равный $\pi$, если мы имеем открытую передачу между двумя равными шкивами) во всяком случае будет достаточно близок в $\pi$.

На практике обычно для предохранения от соскакивания натяжению задается величина, несколько большая ее нижнего предела. Для $T_{A}$ берется значение, несколько большее значения, даваемого формулой (17), когда в нее вместо $\theta$ подставляется постоянная $4 \pi / 5$.

При $f=0,28$ (среднее значение коэффициента трения для ремней из кожи, на шкивах из чугуна) $e^{0,28 .(4 / 5) \pi}$ очень близко $к 2$, и поэтому формулу (17) можно взять в виде
\[
T_{A}=p \frac{\omega^{2} r^{2}}{g}+\frac{\gamma}{r}
\]

или, для умеренных скоростей, в виде
\[
T_{A}=\frac{\gamma}{r} .
\]

Отметим еще, что когда мы щользуемся формулой (17\”), что встречаетея в большей части обычных случаев, то пз равенетва (16′) имеем
\[
T_{B_{i}}=T_{A}+\frac{\gamma}{r}=2 T_{A},
\]
т. е. натяжение ведущей части ремня равно удвоенному натяжению ведомой части.
32. Мы не заботились о выцолнении условия относительного равновесия ремня относительно шкива $C_{1}$ (условие „а“). Это оправдывается тем обстоятельством, что если исключается проскальзывание на пкиве $C$, то практически будет исключено и проскальзывание на шкиве $C_{1}$.

Чтобы убедиться в этом, заметим, что на двух прямолинейных частях ремня натяжения постоянны ${ }^{1}$ ), так что имеем $T_{A_{1}}=T_{A}^{\prime}$, $T_{B_{1}}=T_{B}$. Условие относительного равновесия (п. 25) части $A_{1} P_{1} B_{1}$ ремня относительно шква $C_{1}$ может быть написано в виде
\[
\frac{T_{B}-\frac{p}{g} \omega^{2} r^{2}}{T_{A}-\frac{p}{g} \omega^{2} r^{2}} \leqslant e^{\rho_{\theta_{1}}},
\]

где через $\theta_{1}$ обозначен угол, соответствующий дуге $A_{1} P_{1} B_{1}$. Это неравенство, конечно, удовлетворяется найденными значениями $T_{A}$ и $T_{B}$. Действительно, мы нашли эти значения из уравнений
\[
\begin{array}{c}
\frac{T_{B}-\frac{p}{g} \omega^{2} r^{2}}{T_{A}-\frac{p}{g} \omega^{2} r^{2}}=e^{\theta} \\
r \Delta T=\gamma,
\end{array}
\]
1) Прямолинейные части ремня, которые сбегают со шкивов с постоянной скоростью, могут рассматриваться как находящиеся в относительном равновесии по отнопению к осям, движущимся поступательно, и притом прямолинейно и равномерно. Условия относительного равновесия будут тогда тождественны (п. 5) с условиями абсолютного равновесия; с другой стороны, постоянство растягивающего усилия в прямолинейной части ремня, на которую нө действуют силы, являэтся, как мы знаем (ср. гл. XIV, п. 35), нөпосредственным следствием из основного постулата.

в которых из осторожности взяли для угла $\theta$ численное значение, несколько меньшее того значения, которое он может иметь в каждом конкретном случае. Поэтому мы необходимо будем пметь
\[
\frac{T_{B}-\frac{p}{g} \omega^{2} r^{2}}{T_{A}-\frac{p}{g} \omega^{2} r^{2}}=e^{f \theta}<e^{f \theta_{1}} .
\]