5. Поступательнов движенив. Пусть система осей $O x y z$ находится в каком угодно поступапельном движении. Ускорение переносного двнжения $\boldsymbol{a}_{\tau}$ в любой момент времени одно и то же для какой угодно точки $P$ (гл. III, п. 4) и’ равно ускорению $a_{0}$ начала $O$. То же самое можно сказать и о силе инерции переносного движения $\chi=-m a_{0}$.

Очень простой пример, иллюгтрирущий этот случай, представляет собой равновесие по отношению к свободно падающему телу, в предположении, что оно брошено или просто отпущено из состояния покоя таким образом, что движется далее чисто поступательно.

Обозначив через $\boldsymbol{g}$ ускорение силы тяжести (по величине и направлению), будем иметь $\boldsymbol{a}_{0}=\boldsymbol{g}$, так что переносная сила $\chi=-m \boldsymbol{g}$ уравновешивает вес.

Если мы предположим, например, что человек несет на плечах груз и прыгает вниз, то за время падения мускульное усилие, поддерживающее груз, сводится к нулю. То же самое можно сказать п о времени опускания, если прнжок был сделан вверх. Противоположное ощущение при прыжке вверх следует приписать предварительному усилию, необходимому для того, чтобы сделать тавой прыжок.

Если, далее, поступательное движение осей Oxyz будет в то же время прямолинейным и равномерным, то ускорение переносного движения, а вместе с ним и сила х будут равны вулю.

IIрямолинейное и равномерное поступательное движение не оказывает никакого влияния на условия равновесия: они остаются одинаковьми с условиями, имеющими место дяя абсолютного равновесия.

Пусть система осей находится в равномерном вращательном движении. Обозначим через $\omega$ угловую скорость и через $Q$ проекцию на ось вращения произвольно взятой точки $P$ (фиг. 75); мы знаем (гл. III, п. 8), что
\[
\boldsymbol{a}_{\tau}=\omega^{2} \overrightarrow{P Q}
\]

следовательно, имеем
\[
\chi=m \omega^{2} \overrightarrow{Q P} \text {. }
\]

Сила инерции переносного движения в том случае, когда переносное движение есть равномерное вращение, называетея центробежной силой.

Центробежная сила зависит, как мы видим, от положения точки $P$ относительно оси вращения; она направлена радиально от оси (т. е. по продолжению $Q P$ ) и величина ее пропорциональна массе точки, расстоянию ее от оси и квадрату угловой скорости.
Если ось вращения мы примем за ось $z$ и через $x, y, z$ обозначим координаты точки $P$, то проекциями вектора $\chi$, на основании разенства (2), будут
\[
\chi_{x}=m \omega^{2} x, \quad \chi_{y}=m \omega^{2} y, \quad \chi_{z}=0,
\]
т. е. они совпадают с производными (по координатам $x, y, z$ точки $P$ ) от функции
Фиг. 75.
\[
m \frac{\omega^{2}}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)=\frac{1}{2} m \omega^{2} P Q^{2} .
\]

Следовательно; уентробежная сила имеет хараптер понсервативной силь; ее единичный потенциал (т. е. потенциал, отнесенный к единице массы) равен
\[
\frac{1}{2} \omega^{2} P Q^{2},
\]
т. е. пропорционален квадрату расстояния от оси вращения и квадрату угловой скорости.
7. Рассмотрим, например, тяжелую точку $P$, вынуждөнную оставаться н木 поверхности $\sigma$, равномерно вращающейся вокруг вертивальной оси, и будем искать, при каких условиях точка может оставаться в равновесии на поверхности, предполагаемой лишенной трения.

Согласно общему правилу п. 3 , центробежную силу $\chi$ мы должны будем рассматривать нарлду с весом $\boldsymbol{p}$, как силу, прямо приложенную к $P$; таким образом мы придем (гл. Х, п. 8) к заключению, что результирующая $\boldsymbol{p}+\boldsymbol{\chi}$ направлена по нормали $\boldsymbol{x}$ повер $\boldsymbol{\text { – }}$ ности б. Если речь идет о точке, не вынужденной обязательно находиться на $\sigma$, а подчиненной только односторонней связи, то необходимо добавить качественное ограничение, чтобы сила $\boldsymbol{p}+\boldsymbol{\chi}$ была обращена к области, не совместимой со связью (т. е. внутрь тела, поверхность которого представляет собой опору).

Поэтому положениями равновесия будут только те положения, в которых нормаль к поверхностк $о$ параллельна силе $\boldsymbol{p}+\boldsymbol{\chi}$, с добавлением указанного условия для стороны, если связь не является двусторонней.

Далее, заметим прежде всего, что в точках оси вращения будем иметь $\chi=0$, так что все будет обстоять так, как в случае абсолютного равновесия; если поэтоиу напа поверхность пересекает ось (по предположению, вертикальную) в некоторой точке, то равновесие в этой точке может существовать только при условии, что соответствующая касательная птоскость горизонтальна.

Во всех остальных случаях центробежная сила $\chi=m \omega^{2} \overrightarrow{Q P}$ будет представлена горизонтальным, не равным нулю вектором.

С другой стороны, обе силы $\boldsymbol{p}$ и $\boldsymbol{\chi}$, а следовательно, и сила $\boldsymbol{p}+\boldsymbol{\chi}$ будут находиться в одной и той же вертикальной плоскости, определяемой осью вращения и положением равновесия точки $P$, об определении которого идет речь, так что линия действия $\boldsymbol{p}+\boldsymbol{\chi}$, т. е. нормаль $x$ поверхности $\circ$ (фиг. 76), в точке $P$ должна пересекать ось вращения в некоторой точке $N$, необходимо расположенной выше точки $P$ (для того, чтобы $\chi$ была направлена радиально во вне).

Условие, чтобы нормаль встречала ось, выолняется само собой, когда речь идет о поверхности вращения (имеющей своей осью ось вращения). Далее, обозначив через $\theta$ угол наклона нормали к вертикали, мы должны иметь
\[
\operatorname{tg} \theta=\frac{\chi}{p}=\frac{\omega^{2} P Q}{g}
\]

или, обращаясь к прямоугольному треугольнику $P Q N$,
\[
Q N=\frac{g}{\omega^{2}} .
\]

Отсюда следует, что положения относительного равновесия зависят от геометрической формы поверхности и от угловой екорости, но не от массы точки.

В случае поверхности вращення, отрезог $Q N$ представляет собой очевидно субонормаль меридианной кривой (относящейся к точке $P$ ), так что исследование положений равновесия (не расположенных на оси) приводит тогда к отысганию тех точек меридиана, для которых субнормаль принимает заданное значение $\mathrm{g} / \mathrm{\omega}^{2}$.
8. В случае сферы субнормаль $Q N$, если $R$ означает радиуе, будет равна $R \cos \theta$, так что равенство ( $3^{\prime}$ ) принимает вид
\[
\cos \theta=\frac{g}{\omega^{2} R} .
\]

Это уравнение относительно $\theta$ допускает действительные (т. е. вещественные) решения и однозначно определяет (острый) угол, при условии $g / \omega^{2} R<1$, или, что одно и то же,
\[
\boldsymbol{\omega}^{2}>\frac{g}{R} .
\]

Поэтому необходимо, чтобы утловая скорость, с которой вращается сфера, превосходила известный предел для того, чтобы тяжелая точка могла находитьея на ней в относительном равновесии в положениях, отличных от полюсов. Если этот предел превзойден, то геометрическим местом возможных положений равновесия будет горизонтальная параллель нижней полусферы, дополнение пироты которой определяется из уравнения (4).

Чем быстрее вращение сферн, т. е. чем более значительной является угловая скорость $\omega$, тем меньше будет $\cos \theta$; поэтому горизонтальная параллель относительного равновесия должна перемещаться от нижнего полюса к экватору и стремиться к экватору асимптотически при безграничном возрастании ш.
9. Рассмотрим, наконец, случай равномерного поступательновращательного движения системю осей Охуд.

Припоминая, что в сложном движении, составленном из двух или большего числа движений, ускорение равно сумме ускорений, относящихся к составляющим движениям, мы можем сказать, что прямолинейное и равномерное поступательное двнжение (наложенное на каюое-нибудь другое движение твердого тела) не изменяет его переносного ускорения. Таким образом, при равномерном поступательно-вращательном двжении все происходит так, как и в случае простого равномерног вращения, и, следовательно, ми снова приходим к чентробежной силе.