15. Для того чтобы определить центр тяжести какого-нибудь тела $C$, представим себе, что оно разложено как-либо на части $\Delta C$, которые можно считать материальными точками, и рассмотрим центр тяжести $G^{\prime}$ этих материальных точек, составляющих тело $C$. При изменении разбиения $C$ на части изменяет, вообще говоря, свое

вывести из одного общего принцита, называемого принципом виртуальных скоростей или принципом виртуальных работ. \”Mécanique analytique“ была напечатана в первый раз в Париже в 1788 г.

Помимо вариационного исчисления, которое было одним из первых открытий Лагранжа, надо отметить его исследования, ставпие классическими, по теории чисел и теории алгебрачческих уравнений, по теории обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений с частными производными, по небесной механике (в частности, по задаче трех тел и по теории возмущений) и по гидродинамике.

Девятнадцати лет он получил звание профессора математики в Артиллерийской школе в Турине; немного позже был одним из основателей Туринской Академии наук. В 1766 г. был приглапен в Берлинскую Академию наук, где, после Эйлера, руководил математической секцией. В 1787 г. был приглашен в Іариж. В течение революции и в последующий, наполеоновский, период он был советником французского правительства и сенатором. Преподавал в Высшей нормальной школе и в Политехнической тколе, где им были написаны руководетва по теории функций и по әлементарной математике.

цоложение также и этот центр тяжести $G^{\prime}$; но, как мы сейчас покажем, точка $G^{\prime}$, при одновременном стремлении к нулю объемов всех отдельных частей тела $C$, всегда стремится $\kappa$ вполне определенному предельному положению $G$, не зависящему от закона, по которому заставляют стремиться ז нулю объемы отдельных частиц. Когда это будет догазано, тогда будет оправдано и название определенной таким образом точки $G$ центром тяжести тела.

Чтобы доказать существование и единственность точки $G$, вспомним, что если $\mu(x, y, z)$ есть плотность (объемная, локальная) тела $C$, то масса $\Delta m$ любой частицы $\Delta C$ из $C$ при каком угодно разбиении определяется (п. 4) равенством
\[
\Delta m=\mu \Delta S+8 \Delta S,
\]

тде $\mu$ подразумевается вычисленной для одной из точек объема $\Delta S$ частицы $\Delta C$, а $\varepsilon$ стремится к нулю вместе с $\Delta S$; если обозначим через $m$ полную массу тела $C$, то центр тяжести $G^{\prime}$ системы материальных точек $\Delta C$, составляющих тело $C$, относительно начала координат $O$ определится векторным уравнением
\[
m \overrightarrow{O G}^{\prime}=\Sigma \overrightarrow{O P} \mu \Delta S+\Sigma \overrightarrow{O P} \varepsilon \Delta S .
\]

Далее, представим себе, что разбиение тела $C$ изменяется таким образом, что объем $\Delta S$ всякой отдельной его частицы стремится к нулю. Так как по предшоложению (іг. 4) функция $\mu(x, y, z)$ интегрируема и, следовательно, таковыми же будут функции $x \mu, y \mu$, $z \mu$ и вектор $\mu \overrightarrow{O P}$, то первая сумма в правой части равенства (10) стремится к интегралу
\[
\int \overrightarrow{O P} \mu d S,
\]

распространенному на объем $S$ тела $C$. С другой стороны, вследствие известных из анализа рассуждений вторая сумма, в которой в бесконечно мало вместе с $\Delta S$, стремится к нулю, каков бы ни был закон, по которому стремятся к нулю объемы отдельных частиц тела $C$; поэтому заключаем, что $G^{\prime}$ всегда имеет в качестве предельного положения точку $G$, определяемую векторным равенством
\[
m \overrightarrow{O G}=\int_{S} \overrightarrow{O P} \mu d S
\]

которое, если примем во внимание равенство (6) из п. 4, можно написать в виде
\[
\overrightarrow{O G}=\frac{\int_{S} \overrightarrow{O P} \mu d S}{\int_{S} \mu d S}
\]

Если мы спроектируем это разенство на оси координат, то для координат $x_{0}, y_{0}, z_{0}$ точки $G$ получим выражения
\[
x_{0}=\frac{\int_{S} x \mu d S}{\int_{S} \mu d S}, \quad y_{0}=\frac{\int_{S} y \mu d S}{\int_{S} \mu d S}, \quad z_{0}=\frac{\int_{S} z \mu d S}{\int_{S} \mu d S} .
\]

Этими формулами определяется центр тяжести какого угодно тела. Очевидно, что предыдущие рассуждения и окончательные формулы (11), (11′) сохраняют свое значение также и для какой угодно материальной поверхности или материальной линии; при этом вместо объемной плотности подетавляется поверхностная или линейная плотность, а в качестве области интегрирования берется вместо объема поверхность или линия. Шолученный результат можно выразить так: в случае непрерывной системь материальных точек чентр тяжести всегда можно определить векторным равенством (8) п. 8, для этого достаточно вместо массы частицы подставить элементарную массу (т. е. произведение локальной плотности на соответствующий элемент объема), а вместо суммы интеграл.

Отметим, наконец, что для однородной системы ( $\mu=$ const) равенства (11) и (11′) принимают вид
\[
\begin{aligned}
\overrightarrow{O G} & =\frac{\int_{S} \overrightarrow{O P} d S}{S}, \\
x_{0}=\frac{\int_{\mathcal{S}} x d S}{S}, \quad y_{0} & =\frac{\int_{S}^{S} y d S}{S}, \quad z_{0}=\frac{\int_{S} z d S}{S} .
\end{aligned}
\]

Положение центра тяжести зависит в этом случае исключительно от геометрической формы области интегрирования. Поэтому можно говорить о центре тяжести тела, поверхности, линии как о геометрической точке, определяемой равенством (12) или (12′); однако эта точка представляет интерес лишь благодаря механическому смыслу, вытекающему из того, что область $S$ предполагается заполненной равномерно распределенной материей.
16. ОпРеДЕЛЕНИЕ цЕНТРА ТЯЖЕОтИ НЕкоторых фигур. У фигур, имеющих центр (точка пересечения трех несовцадающих диаметральных плоскостей, если речь идет об объеме, и двух диаметральных прямых, если речь идет о плоской фигуре), центр тяжести совпадает с дентром фигуры (г. 13).

у параллелепипеда плоскості, проходящие через середины параллельных ребер, будут, очевидно, диаметральными плоскостями, сопряженными с направлениями соответствующих ребер; отсюда легко вывести, что центр тяжести параллелепипеда совпадает с точкой пересечения этих или диагональных плоскостей; центр гяжести параллелограмма совпадает с точкой пересечения его диагоналей, а для эллипсоида или эллипса – с соответствующим центром, и т. д.
Очевидно, что центром тяжести отрезка является его середина.
a) Треугольнжк. Каждая медиана есть диаметральная линия, сопряженная с направлением стороны, которую она делит пополам. Т’очка встречи медиан есть поэтому центр фигуры и центр тяжести ее.

Простые рассждения из элементарной геометрии показывают (фиг. 12), что на каждой медиане центр тяжести находится на
Фиг. 12.
Фиг. 13.

расстоянии одной трети ее от сснования. Можно также сказать, выбрав одну сторону как основание, что центр тяжести находится на соответствующей медиане на расстоянии одной трети ее от основания.
б) Четырехугольники и многчгольники. Шуеть задан простой, т. е. выпуклый, четырехугольник $A B C D$ (фиг. 13). Диагонали $A C$, $B D$ разбивают его каждая на два треугольника $A B C, A D C$ и $B A D, B C D$.

На основании предыдущего мы можем указать центры тяжести $G^{\prime}, G^{\prime \prime}, G_{1}^{\prime}, G_{1}^{\prime \prime}$ каждого из этих треугольников. В силу распределительного свойства (п. 12) ценгр тяжести $G$ четырехугольника является также и центром тяжести двух точек $G^{\prime}, G^{\prime \prime}$, если каждой из них приписывается надлежащая масса (масса соответствующего треугольника). Отсюда следует, что $G$ лежит на отрезке $G^{\prime} G^{\prime \prime}$. По той же причине $G$ лежит на отрезке $G_{1}^{\prime} G_{1}^{\prime \prime}$, так что центр тяжести четырехугольника совпадает с точкой пересечения отрезков $G^{\prime} G^{\prime \prime}$ c $G_{1}^{\prime} G_{1}^{\prime \prime}$.

Для многоугольника с $n$ сторонами можно применить способ последовательного приведения к многоугольникам с меньшим числом чорон и, следовательно, в конечном счете к треугольникам. Достаточно, например, разложить его двумя способами на многоугольник с $n-1$ сторонами и треугольник. Обозначив через $G^{\prime}$, $G_{1}^{\prime}$ центры тяжести двух многоугольников, через $G^{\prime \prime}, G_{1}^{\prime \prime}$ центры тяжести соответственных треугольников (соответственных в том смысле, что они дополняют указанные многоугольники), мы, как и выше, будем иметь центр тяжести $G$ в точке пересечения отрезков $G^{\prime} G^{\prime \prime}$ и $G_{1}^{\prime} G_{1}^{\prime \prime}$.
в) Дуга окруюности. Пусть $\overline{A B}^{-}$есть пуга (фиг. 14), $O$ – центр окружности, $M \dot{M}$ – средняя точка дуги. ІІрямая $O M$, очевидно, является осью симметрии, так что центр тяжести $G$ следует искать на ней. Обозначив через $N$ точку пересечения $O M$ с хордой $A B$, можно добавить, что центр тяжести должен дежать на отрезне $M N$.
Действительно, $G$ есть также и центр тяжести всех точек, лежащих на отрезке $M N$ (частичные центры тяжести пар симметричных точек); поэтому он будет внутренней или по крайней мере не внешней точкой для этого отрезка (II. 11). .
Фиг. 14.
Для того чтобы определить положение точки $G$ на $M N$, обратимся к формулам, выбрав в качестве начала координат точку $O$ и приняв ось симметрии $O M$ за ось $y$. Вторая из формул (12′) оцределит тогда координату $y_{0}$, которая в настоящем случае есть $O G^{\prime}$, в виде
\[
O G=\frac{\int_{\dot{S}} y d S}{S},
\]

где областью интегрированил $S$ являетея дуга $\stackrel{A B}{A B}$. Интеграл, стоящий в числителе, определяегся просто, если примем за переменную интегрирования угол 0 , образуемый переменным радиусом $O P$ с осью $O y$ и отсчитываемый в направлении от $O_{y}$ к $O_{x} x$.

Если $2 \alpha$ есть центральный үгол, соответствующий дуге $
ot{A B}$, т. е. угол $\widehat{A O B}$, то для точек $P$ дуги $\widehat{A B}$ угол 0 будет изменяться от $-\alpha$ до $+\alpha$. Обозначив через $r$ радиус, очевидно, будем иметь
\[
y=r \cos \theta, \quad d S=r d 0 .
\]

Искомый интеграл принимает, таким образом, вид
\[
\int_{-\alpha}^{\alpha} r^{2}(\sin \theta d),
\]

где $r$ является постоянной величиной; легко видеть, что этот интеграл равее $2 r^{2} \sin \alpha$. Так как $2 r \sin \alpha$ есть длина хорды $A B$, то окончательно будем иметь равенство
\[
O G=r \frac{A B}{S},
\]
уентра окружности относится к радиусу, как хорда к дуге.

Пля частного случая $\alpha=\pi$ (шолуокружность) $A B=2 r, S=\pi r$, и мы будем иметь
\[
O G=\frac{2}{\pi} r .
\]
г) Призма и чилиндр. Рассмотрим сечения, параллельные основанию; все они равны между собой. Нентры тяжести этих сечений лвляются их соответственными точками и все лежат на одной и той же прямой $g$, параллельной ребрам (или, соответственно, образующей).

Центр тяжести $G$ тела есть средняя точка отрезка этой прямой $g$, отсекаемого на ней основаниями. Можно также сказать, что центр тяжести тела совпадает с центром тяжести сечения, проведенного через серецину высоты.

Для подтверждения этого достаточно пред(тавить себе призму (или цилиндр) разделенной на бесконечно тонкие слои посредством равноотстоящих, параллельных основанию плоскостей. Каждый слой можно ушодобить однородной материальной площадке, которая имеет свой центр тяжести $G^{\prime}$ на прямой $g$. В силу распределительного свойства точка $G$ есть центр тяжестй всех точек $G^{\prime}$, если принисать им массы соотеетствующих слоев. Но все эти массы равны между собой. ІІотому точки $G^{\prime}$ составляют однородный отрезок, центр тяжести которого совпадает с его серединой.
д) Т’етраэдр. Будем называть плоскостями-медианами плоскости, ошределяемые ребром и средней точкой противоположного ребра. Всякий тетраэдр имеет, очевидно, шесть плоскостей-медиан.

Эти плоскости, как мы скоро үвидим, являются диаметральными плоскостями, сопряженными с направлением того ребра, которое они делят пополам, и не проходят все через одну и ту же прямую (так как из этого следовало бы, что четыре вершины тетраэдра лежат на одной и той же прямой); вследствие этого они определяют центр тяжести $G$ как их общую точку пересечения (п. 13).

Через каждую вершину, напрпмер через $A$ (фиг. 15), проходят три плоскости-ме;наны. Они пересекают противоположную грань $B C D$ шо трем медианам, поэтому все содержат центр тяжести $H$ треугольника $B C D$ и, следовательно, прямую $A H$. Мы можем, таким образом, определить центр тяжести $G$ тетраэдра как точку пересечения отрезков, соединяющих каждую вершину с центром тяжести противоположной грани.

Важно отметить, что центр тяжести делит эти отрезки в отнощении 1:3. Для доказательства обозначим через $E$ среднюю точку ребра $B C$ и проведем медианы $D E$ и $A E$ треугольников $B C D$ и $A B C$. Центры тяжести $H, K$ этих треугольников находятся на соответствующих медианах $D E$ и $A E$ на расстояниях, равных одной трети каждой медианы от основания $E$, т. е. $E H$ и $E K$ равны соответственно третьей части от $E D$ и $E A$. Отсюда следует, что два треугольника $E H K$ и $E D A$ подобны, так как они имеют один и тот же угол, заключенный межу пропорциональными сторонами. Поэтому $H K$ составляет одну треть от $A D$. Соединив $H$ и $K$ с противоположными вершинами $A$ и $D$ отрезками $H A$ и $K D$, мы увидим, что точка пересечения $G$ этих отрезков есть как раз центр тяжести тетраэдра. Из подобия треугольников $G H K$ и $G A D$ следует, что $G H$ и $G K$ равны соогветственно одной трети от $G A$ и $G D$.

Приняв любую грань тетраэдра за основание, можно сформулировать следующую теорему: чентр тяжести тетраэдра совпадает с чентром тяжести сечения, параллельного основанию и проведенного на расстоянии одной четверти высоть от основания.

Действительно, точка $G$ принадлежит такому сечению, как это видно из предыдущего, а отсюда следует, что она есть дентр тяжести сечения, потому что лежит на трех плоскостях-медианах, проходящих через вершину $A$ тетраэдра, которые пересекают по медианам каждое сечение, параллельное основанию.
е) Iирамида. Центр тяжести пирамиды (и, как предельный случай, конуса) ґежит на отрезге, представляющем собой геометрическое место центров тяжести сечений, параллельных основанию, и делит этот отрезок (считая от вершины) в отношении $3: 1$. Можно также сгазать, что он совпадает с центром тяжести сечения, параллельного основанию и проведенного на расстоянии одной четверти высоты от основания.

Доказательство очень просто. Представим себе основание пирамиды разделенным на треугольнини $T^{\prime}, T^{\prime \prime}, \ldots$, и пусть $S^{\prime}, S^{\prime \prime}, \ldots$ будут соответствующие им тетраэдры, т. е. тетраэдры, имеющие основаниями эти треугольники и общей вершиной – вершину пирамиды.

Рассмотрим еще сечение $\sigma$, проведенное на расстоянии одной четверти высоты от основания. Оно пересекает тетраэдры $S^{\prime}, S^{\prime \prime}, \ldots$ цо треугольникам $T_{1}^{\prime}, T_{1}^{\prime \prime}, \ldots$, подобным треугольникам $T^{\prime}, T^{\prime \prime}, \ldots$ (соответственные стороны относятся друг к другу, как 3 к 4, и, следовательно, площади, как $9 \mathrm{k} 16$ ). Обозначая через $G^{\prime}, G^{\prime \prime}, \ldots$ дентры тяжести тетраэдров $S^{\prime \prime}, S^{\prime \prime}, \ldots$, мы можем утверждать на
основании предыдущего, что они совпадают о центрами тяжести треугольников $T_{1}^{\prime}, T_{1}^{\prime \prime}, \ldots$ С другой стороны, в силу распределительного свойства (п. 12) центр тяжести $G$ пирамиды можно рассматривать как центр тяжести точек $G^{\prime}, G^{\prime \prime}, \ldots$, массы которых равны соответственно массам тетраэдров $S^{\prime}, S^{\prime \prime}, \ldots$ Эти массы пропордиональны объемам, а так как речь идет о тетраэдрах с одной и той же высотой, то они пропорциональны площадям их оснований $T^{\prime}, T^{\prime \prime}, \ldots$, или, нагонец, площадям треугольников $T_{1}^{\prime}, T_{1}^{\prime \prime}, \ldots$ Центр тяжести сечения $\sigma$, проведенного на расстоянии одной четверти высоты от основєния, также совпадает, вследствие распределительного свойства, с центром тяжести точек $G^{\prime}, G^{\prime \prime}, \ldots$ (центров тяжести треугольников $T_{1}^{\prime}, T_{1}^{\prime \prime}, \ldots$, составляющих вместе сечение б), если представить себе, что в этих точках сосредоточены массы треугольников. Так как общий множитель пропорциональности, если на него умножить массы точек системы, не изменит координат центра тяжести (п. 8), то таким образом доказано, что центр тяжести $G$ пирамиды совпадает с центром тяжести этого сечения $о$.
17. Теорема Гюльдена ${ }^{1}$ ). Объем тела, образованного вращением какой-нио̆удь плоской фигуры вокруг оси, расположенной в плоскости фигурь и не пересекающей ее, равен произведению площади фигурь на длину дуги окружности, описанной ее уентром тяжести.

Пусть $\sigma$ есть площадь фигуры; примем ось вращения за ось $O x$ (фиг. 16) и предположим, что плоскость $x O y$ фнгуры поворачивается на некоторый угол $\alpha$. Найдем, каков будет объем $V$ тела, образованного прл таком вращении. Очевидно, что мы можем сначала вычислить объем, образованный вращением элементарной площадки $d x d y$, и затем проинтегрировать полученное выражение по всей площади о. Объем, образованный вращением прямоугольника $d x d y$, можно рассматривать как разность между объемом, образованным вращением фигуры $A^{\prime} B^{\prime} D C$, и объемом, образованным вращением фигуры $A B D C$; каждый из них равен произведению $\alpha / 2 \pi$ на объем соответствующего цилиндра. Обозначив через $x, y$ координаты точки $A$, для первого из этих объемов будем иметь
\[
\frac{\alpha}{2 \pi} \cdot \pi A^{\prime} C^{2} \cdot C D=\frac{\alpha}{2}(y+d y)^{2} d x,
\]
1) Павел Гюльден родился в кантоне Сен-Галле в 1577 г., умер в Граце в 1643 г. Был иезуитом и долго жил в Риме, затем преподавал в универеитетах Вены и Граца.

а для второго $\frac{a}{2} y^{2} d x$; отсюда (пренебрегая бесконечно малыми третьего порядка, не влияющими на величину двойного интеграла) следует, что объем, образованный вращением площадки $d x d y$, равен $\alpha y d x d y$ и, следовательно,
\[
V=\alpha \int_{\sigma} y d x d y
\]

Введем теперь центр тяжести $G$ шлощади $\sigma$. Для координаты $y_{0}$ уравнение (12′) дает
\[
y_{0}=\frac{\int_{\sigma}^{\int} y d x d y}{\sigma},
\]

а отсюда следует равенство
\[
V=\sigma \alpha y_{0},
\]

которое и доказывает теорему Гюльдена, так как $\alpha y_{0}$ есть не что иное, как дуга, описанная центром тяжести $G$ фигуры $\sigma$ при повороте на угол $\alpha$.