§ 5. Функция Лагранжа системы материальных точек

Рассмотрим теперь систему материальных точек, взаимодействующих друг с другом, но ни с какими посторонними телами; такую систему называют замкнутой.

Оказывается, что взаимодействие между материальными точками может быть описано прибавлением к функции Лагранжа невзаимодействующих точек (4,2) определенной (зависящей от характера взаимодействия) функции координат. Обозначив эту функцию через , напишем:

( — радиус-вектор точки), Это есть общий вид функции Лагранжа замкнутой системы.

Сумму

называют кинетической энергией, а функцию U — потенциальной энергией системы; смысл этих названий выяснится в § 6.

Тот факт, что потенциальная энергия зависит только от расположения всех материальных точек в один и тот же момент времени, означает, что изменение положения одной из них мгновенно отражается на всех остальных; можно сказать, что взаимодействия «распространяются» мгновенно. Неизбежность такого характера взаимодействий в классической механике тесно связана с основными предпосылками последней — абсолютностью времени и принципом относительности Галилея. Если бы взаимодействие распространялось не мгновенно, т. е. с конечной скоростью, то эта скорость была бы различна в разных (движущихся друг относительно друга) системах отсчета, так как абсолютность времени автоматически означает применимость обычного правила сложения скоростей ко всем явлениям. Но тогда законы движения взаимодействующих тел были бы различны в разных (инерциальных) системах отсчета, что противоречило бы принципу относительности.

В § 3 мы говорили только об однородности времени. Вид функции Лагранжа (5,1) показывает, что время не только однородно, но и изотропно, т. е. его свойства одинаковы в обоих направлениях. В самом деле, замена t на —t оставляет функцию Лагранжа, а следовательно, и уравнения движения неизменными. Другими словами, если в системе возможно некоторое движение, то всегда возможно и обратное движение, т. е. такое, при котором система проходит те же состояния в обратном порядке. В этом смысле все движения, происходящие по законам классической механики, обратимы.

Зная функцию Лагранжа, мы можем составить уравнения движения

Подставив сюда (5,1), получим:

Уравнения движения в этой форме называются уравнениями Ньютона и представляют собой основу механики системы взаимодействующих частиц. Вектор

стоящий в правой стороне уравнений (5,3), называется силой, действующей на точку. Вместе с U она зависит лишь от координат всех частиц, но не от их скоростей. Уравнения (5,3) показывают поэтому, что и векторы ускорения частиц являются функциями только от координат.

Потенциальная энергия есть величина, определяемая лишь с точностью до прибавления к ней произвольной постоянной; такое прибавление не изменило бы уравнений движения (частный случай указанной в конце § 2 неоднозначности функции Лагранжа). Наиболее естественный и обычно принятый способ выбора этой постоянной заключается в том, чтобы потенциальная энергия стремилась к нулю при увеличении расстоянии между частицами.

Если для описания движения используются не декартовы координаты точек, а произвольные обобщенные координаты то для получения лагранжевой функции надо произвести соответствующее преобразование

Подставляя эти выражения в функцию

получим искомую функцию Лагранжа, которая будет иметь вид

где — функции только от координат. Кинетическая энергия в обобщенных координатах по-прежнему является квадратичной функцией скоростей, но может зависеть также и от координат.

До сих пор мы говорили только о замкйутых системах. Рассмотрим теперь незамкнутую систему А, взаимодействующую, с другой системой В, совершающей заданное движение. В таком случае говорят, что система А движется в заданном внешнем поле (создаваемом системой В). Поскольку уравнения движения получаются из принципа наименьшего действия путем независимого варьирования каждой из координат (т. е. как бы считая остальные известными), мы можем для нахождения функции Лагранжа системы А воспользоваться лагранжевой функцией L всей системы А + В, заменив в ней координаты заданными функциями времени.

Предполагая систему А + В замкнутой, будем иметь:

где первые два члена представляют собой кинетические энергии систем А и В, а третий член — их совместную потенциальную энергию. Подставив вместо заданные функции времени и опустив член зависящий только от времени (и поэтому являющийся полной производной от некоторой другой функции времени), получим:

Таким образом, движение системы во внешнем поле описывается функцией Лагранжа обычного типа с тем лишь отличием, что теперь потенциальная энергия может зависеть от времени явно.

Так, для движения одной частицы во внешнем поле общий вид функции Лагранжа

и уравнение движения

Однородным называют поле, во всех точках которого на частицу действует одна и та же сила F. Потенциальная энергия в таком поле равна, очевидно:

В заключение этого параграфа сделаем еще следующее замечание по поводу применения уравнений Лагранжа к различным конкретным задачам. Часто приходится иметь дело с такими механическими системами, в которых взаимодействие между телами (материальными точками) имеет, как говорят, характер связей, т. е. ограничений, налагаемых на взаимное расположение тел, Фактически такие связи осуществляются путем скрепления тел различными стержнями, нитями, шарнирами и т. п.

Это обстоятельство вносит в движение новый фактор — движение тел сопровождается трением в местах их соприкосновения, в результате чего задача выходит, вообще говоря, за рамки чистой механики (см. § 25). Однако во многих рлучаях трение в системе оказывается настолько слабым, что его влиянием на движение можно полностью пренебречь. Если к тому же можно пренебречь массами «скрепляющих элементов» системы, то роль последних сведется просто к уменьшению числа степеней свободы системы s (по сравнению с числом 3N). Для определения ее движения можно при этом снова пользоваться функцией Лагранжа вида (5,5) с числом независимых обобщенных координат, отвечающих фактическому числу степеней свободы.

Задачи

Найти функцию Лагранжа следующих систем, находящихся в однородном поле тяжести (ускорение силы тяжести ),

1. Двойной плоский маятник (рис. 1),

Рис. 1

Рис. 2

Решение. В качестве координат берем углы , которые нити h и h образуют с вертикалью. Тогда для точки имеем:

Чтобы найти кинетическую энергию второй точки, выражаем ее декартовы координаты (начало координат в точке подвеса, ось у — по вертикали вниз) через углы :

После этого получим;

Окончательно:

2. Плоский маятник с массой точка подвеса которого (с массой в вей) может совершать движение по горизонтальной прямой (рис. 2).

Решение. Вводя координату х точки и угол между нитью маятника и вертикалью, получим:

3. Плоский маятник, точка подвеса которого:

а) равномерно движется по вертикальной окружности с постоянной частотой у (рис. 3);

Рис. 3

Рис. 4

б) совершает горизонтальные колебания по закону ;

в) совершает вертикальные колебания по закону

Решение, а) Коордиваты точки m:

Функция Лагранжа

здесь опущены члены, зависящие только от времени, и исключена полная производная по времени от

б) Координаты точки m:

Функция Лагранжа (после исключения полных производных)

в) Аналогичным образом

4. Система, изображенная на рис. 4; точка движется по вертикальной оси, а вся система вращается с постоянной угловой скоростью вокруг этой оси.

Решение. Вводим угол 0 между отрезком а и вертикалью и угол лозорота всей системы вокруг оси вращения; . Для каждой из точек элемент перемещения Для точки расстояние от точки подвеса А равно , и потому Функция Лагранжа