§ 50. Канонические переменные

Пусть теперь параметр постоянен, так что рассматриваемая система замкнута.

Произведем каноническое преобразование переменных q, , выбрав величину в качестве нового «импульса». Роль производящей функции должно при этом играть «укороченное действие» выраженное в функции от q и I, Действительно, определяется как интеграл

взятый при заданном значении энергии Е (и параметра ). Но для замкнутой системы является функцией одной только энергии; поэтому можно с тем же правом выразить в виде функции а частная производная совпадает с производной при постоянном Поэтому имеем

что соответствует первой из формул канонического преобразования (45,8). Вторая же формула определит новую «координату», которую обозначим через

Переменные I и w называют каноническими переменными, причем I называется в этой связи переменной действия, а до угловой переменной.

Поскольку производящая функция не зависит явно от времени, то новая функция Гамильтона Н совпадает со старой Н, выраженной через новые переменные.

Другими словами, Н есть энергия, выраженная в функции переменной действия, Соответственно уравнения Гамильтона для кинетических переменных имеют вид

Из первого имеем, как и следовало, — вместе с энергией постоянна и величина I. Из второго же видим, что угловая переменная является линейной функцией времени:

(50,5)

она представляет собой фазу колебаний.

Действие -неоднозначная функция координат. По истечении каждого периода эта функция не возвращается к исходному значению, а получает приращение

как это очевидно из (50,1) и определения I согласно (49,7), За это же время угловая переменная получает приращение

Обратно, если мы выразим q и (или любую их однозначную функцию ) через канонические переменные, то эти функции не будут менять свои значения при изменении на заданном значении Другими словами, всякая однозначная функция будучи выражена через канонические переменные, является периодической функцией w с периодом, равным

Уравнения движения могут быть сформулированы в нических переменных также и для незамкнутой системы с зависящим от времени параметром X. Преобразование к этим переменным осуществляется по-прежнему формулами с производящей функцией , определяемой интегралом и выраженной через переменную определяемую интегралом (49,7). Неопределенный интеграл (50,1) и определенный интеграл (49,7) вычисляются при этом так, как если бы параметр имел заданное постоянное значение; другими словами, — прежняя функция, вычисленная при постоянном X, замененном затем заданной функцией

Поскольку производящая функция оказывается теперь (вместе с параметром X) явной функцией времени, то новая функция Гамильтона Н уже не будет совпадать со старой, т. е. с энергией

Согласно общим формулам канонического пре образования (45,8) имеем

где введено обозначение

причем должна быть выражена (после осуществления дифференцирования по Я) с помощью (50,3) через и .

Уравнения Гамильтона принимают теперь вид

где — частота колебаний (снова вычисленная так, как если бы Я было постоянным).

Задача

Написать уравнения движения в канонических переменных для гармонического осциллятора (функция Гамильтона (49,11)) с частотой, зависящей от времени.

Решение. Поскольку в (50,1) — (50,3) все действия совершаются при постоянном (роль которого играет в данном случае сама частота ), то связь q и с w имеет тот же вид, что и при постоянной частоте (когда ):

Отсюда

и затем

Уравнения (50,10), (50,11) принимают теперь вид