Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 23. Колебания систем со многими степенями свободыТеория свободных колебаний систем с несколькими Пусть потенциальная энергия системы U как функция обобщенных координат
и разлагая по ним U с точностью до членов второго порядка, получим потенциальную энергию в виде положительно определенной квадратичной формы
где мы снова отсчитываем потенциальную энергию от ее минимального значения. Поскольку коэффициенты и
В кинетической же энергии, которая имеет в общем случае вид
(см. (5,5)), полагаем в коэффициентах
Коэффициенты
Таким образом, лагранжева функция системы, совершающей свободные малые колебания:
Составим теперь уравнения движения. Для определения
Поскольку величина суммы не зависит, разумеется, от обозначения индексов суммирования, меняем в первом и третьем членах в скобках i на k, a k на i; учитывая при этом симметричность коэффициентов
Отсюда видно, что
Поэтому уравнения Лагранжа
Они представляют собой систему По общим правилам решения таких уравнений ищем s неизвестных функций
где
Для того чтобы эта система имела отличные от нуля решения, должен обращаться в нуль ее определитель
Уравнение (23.8) - так называемое характеристическое уравнение представляет собой уравнение степени s относительно Вещественность и положительность корней уравнения (23,8) заранее очевидны уже из физических соображений. Действительно, наличие у со мнимой части означало бы наличие во временной зависимости координат В том же самом можно убедиться и чисто математическим путем. Умножив уравнение (23,7) на
откуда
Квадратичные формы в числителе и знаменателе этого выражения вещественны в силу вещественности и симметричности коэффициентов
Они также существенно положительны, а потому положительно После того как частоты
где Общее же решение даетбя суммой всех s частных решений. Переходя к вещественной части, напишем его в виде
где мы ввели обозначение
Таким образом, изменение каждой из координат системы со временем представляет собрй наложение s простых периодических колебаний Естественно возникает вопрос, нельзя ли выбрать обобщенные координаты таким образом, чтобы каждая из них совершала только одно простое колебание? Самая форма общего интеграла (23,9) указывает путь к решению этой задачи. В самом деле, рассматривая s соотношений (23,9) как систему уравнений с s неизвестными величинами Нормальные координаты
Это значит, что в нормальных координатах уравнения движения распадаются на s независимых друг от друга уравнений. Ускорение каждой нормальной координаты зависит только от значения этой же координаты, и для полного определения ее временной зависимости надо знать начальные значения только ее же самой и соответствующей ей скорости. Другими словами, нормальные колебания системы полностью независимы. Из сказанного очевидно, что функция Лагранжа, выраженная через нормальные координаты, распадается на сумму выражений, каждое из которых соответствует одномерному колебанию с одной из частот
где Обычно нормальные координаты выбирают таким образом, чтобы коэффициенты при квадратах скоростей в функции Лагранжа были равны 1/2. Для этого достаточно определить нормальные координаты (обозначим их теперь
Тогда
Все изложенное мало меняется в случае, когда среди корней характеристического уравнения имеются кратные корни. Общий вид (23,9), (23,10) интеграла уравнений движений остается таким же (с тем же числом s членов) с той лишь разницей, что соответствующие кратным частотам коэффициенты Каждой кратной (или, как говорят, вырожденной) частоте отвечает столько различных нормальных координат, какова степень кратности, но выбор этих нормальных координат не однозначен. Поскольку в кинетическую и потенциальную энергии нормальные координаты (с одинаковым Весьма просто нахождение нормальных координат для трехмерных колебаний одной материальной точки, находящейся в постоянном внешнем поле. Помещая начало декартовой системы координат в точку минимума потенциальной энергии
(m — масса частиц) не зависит от выбора направления координатных осей. Поэтому соответствующим поворотом осей надо только привести к диагональному виду потенциальную энергию. Тогда
и колебания вдоль осей х, у, z являются главными с частотами
В частном случае центрально-симметричного поля Использование нормальных координат дает возможность привести задачу о вынужденных колебаниях системы с несколькими степенями свободы к задачам об одномерных вынужденных колебаниях. Функция Лагранжа системы с учетом действующих на нее переменных внешних сил имеет вид
где Вводя вместо координат
где введено обозначение
Соответственно уравнения движения
будут содержать лишь по одной неизвестной функции Задачи1. Определить колебания системы с двумя степенями свободы, если ее функция Лагранжа
(две одинаковые одномерные системы с собственной частотой Решение. Уравнения движения
Подстановка (23,6) дает:
Характеристическое уравнение
При
(коэффициенты При
Изменение х и у представляет собой в этом случае наложение двух колебаний с близкими частотами, т. е. имеет характер биений с частотой 2. Определить малые колебания двойного плоского маятника (рис. 1). Решение. Для малых колебаний
Уравнения движения:
После подстановки (23,6):
Корни характеристического уравнения:
При 3. Найти траекторию движения частицы в центральном поле Решение. Как и во всяком центральном поле, движение происходит в одной плоскости, которую выбираем в качестве плоскости х, у. Изменение каждой из координат х, у — простое колебание с одинаковыми частотами
или
где введены обозначения
Это — эллипс с центром в начале координат). При
|
1 |
Оглавление
|