Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 52. Условно-периодическое движениеРассмотрим замкнутую систему со многими степенями свободы, совершающую финитное (по всем координатам) движение. Предположим при этом, что задача допускает полное разделение переменных в методе Гамильтона — Якоби. Это значит, что при соответствующем выборе координат укороченное действие представляет собой сумму
функций, каждая из которых зависит только от одной из координат. Поскольку обобщенные импульсы
то каждая из функций может быть представлена в виде
Эти функции неоднозначны. В силу финитности движения каждая из координат может пробегать значения лишь в определенном конечном интервале. При изменении
где
взятый по указанному изменению Произведем теперь каноническое преобразование аналогично тому, как это было сделано в § 50 для случая одной степени свободы. Новыми переменными будут «переменные действия»
где производящей функцией снова является действие, выраженное через координаты и величины
Мы найдем также аналогично (50,7), что полному изменению координаты
Другими словами, величины Отсюда следует, что всякая однозначная функция состояния системы
(
Каждый из членов этой суммы есть периодическая функция времени с частотой
представляющей собой сумму целых кратных от основных частот
Но поскольку все частоты (52,10) не являются, вообще говоря, целыми кратными (или рациональными частями) какой-либо одной из них, то вся сумма в целом не является строго периодической функцией. Это относится, в частности, и к самим координатам q и импульсам Таким образом, движение системы В различных частных случаях две (или более) из основных частот В последнем случае, очевидно, движение строго периодично и тем самым траектории всех частиц — замкнуты. Наличие вырождения приводит, прежде всего, к уменьшению числа независимых величин
где Весьма важной особенностью вырожденных движений является увеличение числа однозначных интегралов движения по сравнению с их числом в общем случае невырожденной системы (с тем же числом степеней свободы). В последнем случае из полного числа
Постоянство этих величин непосредственно следует из формулы (52,7), но ввиду неоднозначности угловых переменных они не являются однозначными функциями состояния системы. При наличии же вырождения положение меняется. Так, ввиду связи (52,12) интеграл
хотя и является неоднозначным, но его неоднозначность сводится к прибавлению любого целого кратного Примером вырожденного движения является движение в поле Отметим также, что появление дополнительных однозначных интегралов приводит в свою очередь еще к одному свойству вырожденных движений — они допускают полное разделение переменных при различных, а не при одном определенном выборе координат. Действительно, величины В качестве примера снова упомянем кеплерово движение, допускающее разделение переменных как в сферических, так и в параболических координатах. В предыдущем параграфе было показано, что при одномерном финитном движении переменная действия является адиабатическим инвариантом. Это утверждение остается в силе и для систем со многими степенями свободы. Оно доказывается в общем случае прямым обобщением способа, изложенного в начале § 51. Для многомерной системы с переменным параметром
где по-прежнему В заключение сделаем некоторые замечания по поводу свойств финитного движения замкнутых систем со многими Основным свойством систем с разделяющимися переменными является однозначность интегралов движения Фазовая траектория системы проходит по тем областям фазового пространства, которые определяются заданными постоянными значениями однозначных интегралов движения. Для системы с разделяющимися переменными с ее s однозначными интегралами этими условиями определяется У системы же с неразделяющимися переменными, с ее меньшим (при том же s) числом однозначных интегралов фазовая траектория может заполнять собой в фазовом пространстве области (многообразия) большего числа измерений. Наконец, укажем, что если гамильтонова функция системы отличается от функции, допускающей разделение переменных, лишь малыми членами, то и свойства движения близки к свойствам условно-периодических движений, причем степень этой близости гораздо выше, чем степень малости дополнительных членов в функции Гамильтона. ЗадачаВычислить переменные действия для эллиптического движения в поле Решение. В полярных координатах
Отсюда энергия, выраженная через переменные действия:
Она зависит лишь от суммы Параметры орбиты
В силу адиабатической инвариантности величин
|
1 |
Оглавление
|