§ 7. Импульс

Другой закон сохранения возникает в связи с однородностью пространства.

В силу этой однородности механические свойства замкнутой системы не меняются при любом параллельном переносе системы как целого в пространстве. В соответствии с этим рассмотрим бесконечно малый перенос на отрезок и потребуем, чтобы функция Лагранжа осталась неизменной.

Параллельный перенос означает преобразование, при котором все точки системы смещаются на один и тот же постоянный вектор , т. е. их радиус-векторы . Изменение функции L в результате бесконечно малого изменения координат при неизменных скоростях частиц есть

где суммирование производится по всем материальным точкам системы. Ввиду произвольности требование эквивалентно требованию

В силу уравнений Лагранжа (5,2) получаем отсюда:

Таким образом, мы приходим к выводу, что в замкнутой механической системе векторная величина

остается неизменной при движении. Вектор Р называется импульсом системы. Дифференцируя функцию Лагранжа (5,1), найдем, что импульс следующим образом выражается через скорости точек:

(7,3)

Аддитивность импульса очевидна. Более того, в отличие от энергии импульс системы равен сумме импульсов

отдельных частиц вне зависимости от возможности пренебрежения взаимодействием между ними.

Закон сохранения всех трех компонент вектора импульса имеет место лишь в отсутствие внешнего поля. Однако отдельные компоненты импульса могут сохраняться и при наличии поля, если потенциальная энергия в нем не зависит от какой-либо из декартовых координат. При переносе вдоль соответствующей координатной оси механические свойства системы, очевидно, не меняются, и тем же способом мы найдем, что проекция импульса на эту ось сохраняется. Так, в однородном поле, направленном вдоль оси z, сохраняются компоненты импульса вдоль осей х и у.

Исходное равенство (7,1) имеет простой физический смысл, . Производная — есть сила действующая на частицу. Таким образом, равенство (7,1) означает, что сумма сил, действующих на все частицы замкнутой системы, равна нулю:

В частности, в случае системы, состоящей всего из двух материальных точек, сила, действующая на первую частицу со стороны второй, равна по величине, но противоположна по направлению силе, действующей на вторую частицу со стороны первой. Это утверждение известно под названием закона равенства действия и противодействия.

Если движение описывается обобщенными координатами то производные лагранжевой функции по обобщенным скоростям

называются обобщенными импульсами, а производные

называются обобщенными силами, В этих обозначениях уравнения Лагранжа имеют вид

В декартовых координатах обобщенные импульсы совпадают с компонентами векторов . В общем же случае величины являются линейными однородными функциями обобщенных скоростей отнюдь не сводящимися к произведениям массы на скорость.

Задача

Частица с массой m, движущаяся со скоростью переходит из полупространства, в котором ее потенциальная энергия постоянна и равна в полупространство, где эта энергия тоже постоянна, но равна . Определить изменение направления движения частицы.

Решение. Потенциальная энергия не зависит от координат вдоль осей, параллельных плоскости раздела между полупространствами. Поэтому сохраняется проекция импульса частицы на эту плоскость. Обозначая посредством углы между нормалью к плоскости раздела и скоростями частицы до и после перехода, получим: Связь же между дается законом сохранения энергии, и в результате находим;