ГЛАВА III. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ

§ 11. Одномерное движение

Одномерным называют движение системы с одной степенью свободы. Наиболее общий вид лагранжевой функции такой системы, находящейся в постоянных внешних условиях, есть

где -некоторая функция обобщенной координаты q. В частности, если q есть декартова координата (назовем ее х),

Соответствующие этим лагранжевым функциям уравнения движения интегрируются в общем виде. При этом нет даже необходимости выписывать самое уравнение движения, а следует исходить сразу из его первого интеграла — уравнения, выражающего закон сохранения энергии. Так, для функции Лагранжа (11,2) имеем:

Это есть дифференциальное уравнение первого порядка, интегрирующееся путем разделения переменных. Имеем:

откуда

Роль двух произвольных постоянных в решении уравнения движения играют здесь полная энергия Е и постоянная интегрирования .

Поскольку кинетическая энергия — величина существенно положительная, то при движении полная энергия всегда больше потенциальной, т. е. движение может происходить только в тех областях пространства, где .

Пусть, например, зависимость имеет вид, изображенный на рис. 6. Проведя на этом же графике горизонтальную прямую, соответствующую заданному значению полной энергии, мы сразу же выясним возможные области движения. в изображенном на рис. 6 случае движение может происходить лишь в области АВ или в области справа от С.

Рис. 6

Точки, в которых потенциальная энергия равна полной

определяют границы движения. Они являются точками остановки, поскольку в них скорость обращается в нуль. Если область движения ограничена двумя такими точками, то движение происходит в ограниченной области пространства; оно является, как говорят, финитным. Если же область движения не ограничена или ограничена лишь с одной стороны, — движение инфинитно, частица уходит на бесконечность.

Одномерное финитное движение является колебательным — частица совершает периодически повторяющееся движение между двумя границами (на рис. 6 в потенциальной яме АВ между точками ). При этом согласно общему свойству обратимости (стр. 18) время движения от до равно времени обратного движения от до Поэтому период колебаний Т, т. е. время, за которое точка пройдет от до и обратно, равен удвоенному времени прохождения отрезка или согласно (11,3)

причем пределы являются корнями уравнения (11.4) при данном значении Е. Эта формула определяет период движения в зависимости от полной энергии частицы.

Задачи

1. Определить период колебаний плоского математического маятника (точка на конце нити длиной I в поле тяжести) в зависимости от их амплитуды.

Решение Энергия маятника

где — угол отклонения нити от вертикали; — максимальный угол отклонения. Вычисляя период как учетверенное время прохождения интервала углов от нуля до находим:

Подстановкой этот интеграл приводится к виду

где

— так называемый полный эллиптический интеграл первого рода. При (малые колебания) разложение функции дает:

Первый член этого разложения отвечает известной элементарной формуле.

2, Определить период колебаний в зависимости от энергии при движении частицу массы в полях с потенциальной энергией:

а)

Ответ:

Подстановкой интеграл приводится к так называемому -интеграу Эйлера; который выражается через Т-функции

Зависимость Т от Е соответствует закону механического подобия (10.2), (10,3).

б)

Ответ:

в)

Ответ: