Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ГЛАВА III. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ§ 11. Одномерное движениеОдномерным называют движение системы с одной степенью свободы. Наиболее общий вид лагранжевой функции такой системы, находящейся в постоянных внешних условиях, есть
где
Соответствующие этим лагранжевым функциям уравнения движения интегрируются в общем виде. При этом нет даже необходимости выписывать самое уравнение движения, а следует исходить сразу из его первого интеграла — уравнения, выражающего закон сохранения энергии. Так, для функции Лагранжа (11,2) имеем:
Это есть дифференциальное уравнение первого порядка, интегрирующееся путем разделения переменных. Имеем:
откуда
Роль двух произвольных постоянных в решении уравнения движения играют здесь полная энергия Е и постоянная интегрирования Поскольку кинетическая энергия — величина существенно положительная, то при движении полная энергия всегда больше потенциальной, т. е. движение может происходить только в тех областях пространства, где Пусть, например, зависимость
Рис. 6 Точки, в которых потенциальная энергия равна полной
определяют границы движения. Они являются точками остановки, поскольку в них скорость обращается в нуль. Если область движения ограничена двумя такими точками, то движение происходит в ограниченной области пространства; оно является, как говорят, финитным. Если же область движения не ограничена или ограничена лишь с одной стороны, — движение инфинитно, частица уходит на бесконечность. Одномерное финитное движение является колебательным — частица совершает периодически повторяющееся движение между двумя границами (на рис. 6 в потенциальной яме АВ между точками
причем пределы Задачи1. Определить период колебаний плоского математического маятника (точка Решение Энергия маятника
где
Подстановкой
где
— так называемый полный эллиптический интеграл первого рода. При
Первый член этого разложения отвечает известной элементарной формуле. 2, Определить период колебаний в зависимости от энергии при движении частицу массы а) Ответ:
Подстановкой
Зависимость Т от Е соответствует закону механического подобия (10.2), (10,3). б) Ответ:
в) Ответ:
|
1 |
Оглавление
|