Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 28. Ангармонические колебанияВся изложенная выше теория малых колебаний основана на разложении потенциальной и кинетической энергий системы по координатам и скоростям с оставлением лишь членов второго порядка; при этом уравнения движения линейны, в связи с чем в этом приближении говорят о линейных колебаниях. Хотя такое разложение вполне законно при условии достаточной малости амплитуд колебаний, однако учет следующих приближений (так называемой ангармоничности или нелинейности колебаний) приводит к появлению некоторых хотя и слабых, но качественно новых особенностей движения. Произведем разложение функции Лагранжа до членов третьего порядка. В потенциальной энергии при этом появятся члены третьей степени по координатам х, в кинетической же энергии — члены, содержащие произведения скоростей и координат вида
где Если от произвольных координат Обозначив коэффициенты в этих суммах через
Мы не станем выписывать полностью следующих из этой лагранжевой функции уравнений движения. Существенно, что они имеют вид
где Применяя метод последовательных приближений, ищем решение этих уравнений в виде
где
т. е. представляют собой обычные гармонические колебания
Сохраняя в следующем приближении в правой стороне уравнений (28,3) лишь члены второго порядка малости, получим для величин чин
Где в правую часть должны быть подставлены выражения (28,5). В результате мы получим линейные неоднородные дифференциальные уравнения, правые части которых можно преобразовать к суммам простых периодических функций. Так, например,
Таким образом, в правых частях уравнений (28,6) находятся члены, соответствующие колебаниям с частотами, равными суммам и разностям собственных частот системы. Решение уравнений следует искать в виде, содержащем такие же периодические множители, и мы приходим к выводу, что во втором приближении на нормальные колебания системы с частотами
(в том числе удвоенные частоты В следующих приближениях при учете членов более высокого порядка в разложении функции Лагранжа возникают комбинационные колебания с частотами, являющимися суммами и разностями большего числа частот Дело в том, что уже в третьем приближении среди комбинационных частот появляются частоты, совпадающие с исходными В действительности в высших приближениях происходит изменение основных частот
явно незаконным при достаточно больших t. Поэтому при переходе к следующим приближениям метод последовательных приближений должен быть видоизменен так, чтобы фигурирующие в решении периодические множители с самого начала содержали точные, а не приближенные значения частот. Изменения же частот сами определятся в результате решения уравнений как раз из условия отсутствия резонансных членов. Продемонстрируем этот метод на ангармонических колебаниях с одной степенью свободы, написав функцию Лагранжа в виде
Соответствующее уравнение движения
Мы будем искать его решение в виде ряда последовательных приближений
причем
с точным значением к», которое само будем затем искать в виде ряда
Положив здесь
Условие отсутствия резонансного члена в правой стороне равенства дает просто
Далее, положив в
или, подставив в правую часть выражения (28,10) и (28,12) после простого преобразования:
Приравнивая нулю коэффициент при резонансном множителе
Комбинационное же колебание третьего порядка
|
1 |
Оглавление
|