§ 28. Ангармонические колебания

Вся изложенная выше теория малых колебаний основана на разложении потенциальной и кинетической энергий системы по координатам и скоростям с оставлением лишь членов второго порядка; при этом уравнения движения линейны, в связи с чем в этом приближении говорят о линейных колебаниях. Хотя такое разложение вполне законно при условии достаточной малости амплитуд колебаний, однако учет следующих приближений (так называемой ангармоничности или нелинейности колебаний) приводит к появлению некоторых хотя и слабых, но качественно новых особенностей движения.

Произведем разложение функции Лагранжа до членов третьего порядка. В потенциальной энергии при этом появятся члены третьей степени по координатам х, в кинетической же энергии — члены, содержащие произведения скоростей и координат вида это отличие от прежнего выражения (23,3) связано с оставлением членов первого порядка по х в разложении функций Таким образом, функция Лагранжа будет иметь вид

где — новые постоянные коэффициенты.

Если от произвольных координат перейти к нормальным координатам (линейного приближения) то в силу линейности этого преобразования третья и четвертая суммы в (28,1) перейдут в аналогичные суммы, в которых вместо координат и скоростей будут стоять

Обозначив коэффициенты в этих суммах через , получим функцию Лагранжа в виде

Мы не станем выписывать полностью следующих из этой лагранжевой функции уравнений движения. Существенно, что они имеют вид

где — однородные функции второго порядка от координат Q и их производных по времени.

Применяя метод последовательных приближений, ищем решение этих уравнений в виде

где а функции удовлетворяют «невозмущенным» уравнениям

т. е. представляют собой обычные гармонические колебания

Сохраняя в следующем приближении в правой стороне уравнений (28,3) лишь члены второго порядка малости, получим для величин чин уравнения

Где в правую часть должны быть подставлены выражения (28,5). В результате мы получим линейные неоднородные дифференциальные уравнения, правые части которых можно преобразовать к суммам простых периодических функций. Так, например,

Таким образом, в правых частях уравнений (28,6) находятся члены, соответствующие колебаниям с частотами, равными суммам и разностям собственных частот системы.

Решение уравнений следует искать в виде, содержащем такие же периодические множители, и мы приходим к выводу, что во втором приближении на нормальные колебания системы с частотами накладываются дополнительные колебания с частотами

(в том числе удвоенные частоты и частота 0, соответствующая постоянному смещению). Эти частоты называются комбинационными. Амплитуды комбинационных колебаний пропорциональны произведениям (или квадратам ) соответствующих нормальных колебаний.

В следующих приближениях при учете членов более высокого порядка в разложении функции Лагранжа возникают комбинационные колебания с частотами, являющимися суммами и разностями большего числа частот Кроме того, однако, возникает еще и новое явление.

Дело в том, что уже в третьем приближении среди комбинационных частот появляются частоты, совпадающие с исходными При применении описанного выше метода в правой части уравнений движения будут находиться, следовательно, резонансные члены, которые приведут к возникновению в решении членов с возрастающей со временем амплитудой. Между тем, физически очевидно, что в замкнутой системе в отсутствие внешнего источника энергии не может происходить самопроизвольное нарастание интенсивности колебаний.

В действительности в высших приближениях происходит изменение основных частот по сравнению с их «невозмущенными» значениями фигурирующими в квадратичном выражении потенциальной энергии. Появление же возрастающих членов в решении связано с разложением типа

явно незаконным при достаточно больших t.

Поэтому при переходе к следующим приближениям метод последовательных приближений должен быть видоизменен так, чтобы фигурирующие в решении периодические множители с самого начала содержали точные, а не приближенные значения частот. Изменения же частот сами определятся в результате решения уравнений как раз из условия отсутствия резонансных членов.

Продемонстрируем этот метод на ангармонических колебаниях с одной степенью свободы, написав функцию Лагранжа в виде

Соответствующее уравнение движения

Мы будем искать его решение в виде ряда последовательных приближений

причем

(28,10)

с точным значением к», которое само будем затем искать в виде ряда (начальную фазу в ) можно всегда обратить в нуль надлежащим выбором начала отсчета времени). При этом, однако, уравнение движения в виде (28,9) не вполне удобно, так как при подстановке в него (28,10) левая сторона равенства не обратится строго в нуль. Поэтому перепишем его предварительно в эквивалентном виде

(28,11)

Положив здесь и опустив члены выше второго порядка малости, получим для уравнение

Условие отсутствия резонансного члена в правой стороне равенства дает просто в соответствии с изложенным в начале параграфа методом нахождения второго приближения. После этого, решая обычным способом неоднородное линейное уравнение, получим:

Далее, положив в , получим уравнение для

или, подставив в правую часть выражения (28,10) и (28,12) после простого преобразования:

Приравнивая нулю коэффициент при резонансном множителе найдем поправку к основной частоте, пропорциональную квадрату амплитуды колебания:

Комбинационное же колебание третьего порядка