Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 35. Эйлеровы углыКак уже указывалось, для описания движения твердого тела можно пользоваться тремя координатами его центра инерции и какими-либо тремя углами, определяющими ориентацию осей В качестве этих углов часто оказываются удобными так называемые эйлеровы углы. Так как нас сейчас интересуют только углы между осями координат, мы выберем начала обеих систем в одной точке (рис. 47). Подвижная плоскость
Рис. 47 В качестве величин, определяющих положение осей Угол Выразим теперь компоненты вектора угловой скорости Q по подвижным осям
Угловая скорость
Наконец, угловая скорость направлена по оси Собирая все эти составляющие по каждой из осей, получим окончательно:
Если оси Для симметрического волчка, у которого
Заметим, что это выражение можно получить и проще, воспользовавшись произвольностью выбора направлений главных осей инерции
В качестве простого примера применения эйлеровых углов определим с их помощью известное уже нам свободное движение симметрического волчка. Выберем ось Z неподвижной системы координат в направлении постоянного момента волчка М. Ось
С другой стороны, поскольку ось
Приравнивая друг другу эти выражения, получим следующие уравнения:
Первое из этих уравнений дает Задачи1. Привести к квадратурам задачу о движении тяжелого симметрического волчка с неподвижной нижней точкой (рис. 48). Решение. Совместное начало подвижной и неподвижной систем координат выбираем в неподвижной точке волчка О, а ось Z направляем по вертикали (рис. 48). Функция Лагранжа волчка в поле тяжести
(
Рис. 48 Координаты
где введено обозначение
Из уравнений (1) и (2) находим!
Исключив с помощью этих равенств
где введены обозначения
Определяя отсюда
(интеграл — эллиптический). После этого углы Область изменения угла При изменении угла
Рис. 49 В первом случае ось волчка прецессирует вокруг вертикали монотонно, одновременно совершая колебания (так называемую нутацию) вверх и вниз (рис. 49, а; линия изображает след, который ось волчка чертила бы на поверхности сферы с центром в неподвижной точке волчка). Во втором случае направление прецессии противоположно на двух граничных окружностях, так что ось волчка перемещается вокруг вертикали, описывая петли (рис. 49, б). Наконец, если одно из значений 2. Найти условие, при котором вращение волчка вокруг вертикальной оси будет устойчивым. Решение. При
откуда находим условие
3. Определить движение волчка в случае, когда кинетическая энергия его собственного вращения велика по сравнению с энергией в поле тяжести (так называемый «быстрый» волчок). Решение. В первом приближении, если пренебречь полем тяжести, происходит свободная прецессия оси волчка вокруг направления момента М (отвечающая в данном случае нутации волчка); она происходит согласно (33,5) о угловой скоростью
Рис. 50 В следующем приближении появляется медленная прецессия момента М вокруг направления вертикали (рис. 50). Для определения скорости этой прецессии усредним точное уравнение движения (34,3)
по периоду нутации. Момент сил тяжести, действующих на волчок, равен
Оно означает, что вектор М прецессирует вокруг направления g (вертикали) со средней угловой скоростью
(малой по сравнению с В рассматриваемом приближении входящие в формулы (1) и (2) величины М и
|
1 |
Оглавление
|