§ 35. Эйлеровы углы

Как уже указывалось, для описания движения твердого тела можно пользоваться тремя координатами его центра инерции и какими-либо тремя углами, определяющими ориентацию осей движущейся системы координат относительно неподвижной системы X, У, Z.

В качестве этих углов часто оказываются удобными так называемые эйлеровы углы.

Так как нас сейчас интересуют только углы между осями координат, мы выберем начала обеих систем в одной точке (рис. 47). Подвижная плоскость пересекает неподвижную XY по некоторой прямой (ON на рис. 47), которую называют линией узлов. Эта линия, очевидно, перпендикулярна как к оси Z, так и к оси ее положительное направление выберем так, чтобы оно соответствовало направлению векторного произведения ( — орты в направлении осей Z и ).

Рис. 47

В качестве величин, определяющих положение осей относительно осей X, Y, Z, примем следующие углы: угол между осями Z и угол между осями X и N, угол между осями N и Углы отсчитываются в направлениях, определяемых правилом винта, соответственно вокруг осей Z и

Угол пробегает значения от нуля до , а углы — от нуля до .

Выразим теперь компоненты вектора угловой скорости Q по подвижным осям через эйлеровы углы и их производные. Для этого надо спроектировать на эти оси угловые скорости Угловая скорость направлена по линии узлов ON и ее составляющие по осям равны:

Угловая скорость направлена вдоль оси Z; ее проекция на ось равна а проекция на плоскость равна Разлагая последнюю на составляющие по осям получим:

Наконец, угловая скорость направлена по оси

Собирая все эти составляющие по каждой из осей, получим окончательно:

Если оси выбраны по главным осям инерции твердого тела, то вращательную кинетическую энергию, выраженную через эйлеровы углы, мы получим подстановкой (35,1) в (32,8).

Для симметрического волчка, у которого найдем после простого приведения:

Заметим, что это выражение можно получить и проще, воспользовавшись произвольностью выбора направлений главных осей инерции у симметрического волчка. Считая, что ось совпадает с осью узлов ON, т. е. что будем иметь для составляющих угловой скорости более простые выражения

В качестве простого примера применения эйлеровых углов определим с их помощью известное уже нам свободное движение симметрического волчка.

Выберем ось Z неподвижной системы координат в направлении постоянного момента волчка М. Ось подвижной системы направлена по оси волчка, а ось пусть совпадает в данный момент времени с осью узлов. Тогда для компонент вектора М находим с помощью формул (35,3):

С другой стороны, поскольку ось (линия узлов) перпендикулярна к оси Z, имеем:

Приравнивая друг другу эти выражения, получим следующие уравнения:

Первое из этих уравнений дает , т. е. постоянство угла наклона оси волчка к направлению М. Второе определяет (в согласии с (33,5)) угловую скорость прецессии Наконец, третье определяет угловую скорость вращения волчка вокруг собственной оси

Задачи

1. Привести к квадратурам задачу о движении тяжелого симметрического волчка с неподвижной нижней точкой (рис. 48).

Решение. Совместное начало подвижной и неподвижной систем координат выбираем в неподвижной точке волчка О, а ось Z направляем по вертикали (рис. 48).

Функция Лагранжа волчка в поле тяжести

( - масса волчка, l — расстояние от нижней точки до центра инерции).

Рис. 48

Координаты — циклические. Поэтому имеем два интеграла движения:

(2)

где введено обозначение (величины и рпредставляют собой составляющие вращательного момента, определенного относительно точки О, соответственно по осям и Z). Кроме того, сохраняется энергия

Из уравнений (1) и (2) находим!

(5)

Исключив с помощью этих равенств энергии (3), получим:

где введены обозначения

Определяя отсюда и разделяя переменные, получим:

(интеграл — эллиптический). После этого углы выражаются как функции от в виде квадратур с помощью уравнений (4), (5).

Область изменения угла при движении определяется условием . Функция стремится к при значениях а в промежутке между ними проходит через минимум. Поэтому уравнение имеет два корня, определяющих предельные углы наклона оси волчка к вертикали.

При изменении угла от до знак производной остается неизменным или меняется, смотря по тому, остается ли неизменным или меняется в этом интервале знак разности .

Рис. 49

В первом случае ось волчка прецессирует вокруг вертикали монотонно, одновременно совершая колебания (так называемую нутацию) вверх и вниз (рис. 49, а; линия изображает след, который ось волчка чертила бы на поверхности сферы с центром в неподвижной точке волчка). Во втором случае направление прецессии противоположно на двух граничных окружностях, так что ось волчка перемещается вокруг вертикали, описывая петли (рис. 49, б).

Наконец, если одно из значений совпадает с нулем, разности на соответствующей предельной окружности и одновременно обращаются в нуль, так что ось волчка описывает траекторию изображенного на рис. 49, в типа.

2. Найти условие, при котором вращение волчка вокруг вертикальной оси будет устойчивым.

Решение. При оси и Z совпадают, так что Вращение вокруг этой оси будет устойчивым, если значение отвечает минимуму функции При малых имеем:

откуда находим условие или

3. Определить движение волчка в случае, когда кинетическая энергия его собственного вращения велика по сравнению с энергией в поле тяжести (так называемый «быстрый» волчок).

Решение. В первом приближении, если пренебречь полем тяжести, происходит свободная прецессия оси волчка вокруг направления момента М (отвечающая в данном случае нутации волчка); она происходит согласно (33,5) о угловой скоростью

Рис. 50

В следующем приближении появляется медленная прецессия момента М вокруг направления вертикали (рис. 50). Для определения скорости этой прецессии усредним точное уравнение движения (34,3)

по периоду нутации. Момент сил тяжести, действующих на волчок, равен где — единичный вектор в направлении оси волчка. Из соображений симметрии очевидно, что результат усреднения К по «конусу нутации» сводится к замене вектора его проекцией на направление М (а — угол между М и осью волчка). Таким образом, получим уравнение

Оно означает, что вектор М прецессирует вокруг направления g (вертикали) со средней угловой скоростью

(малой по сравнению с ).

В рассматриваемом приближении входящие в формулы (1) и (2) величины М и а постоянны (хотя и не являются, строго говоря, интегралами движения). Они связаны, с той же точностью, со строго сохраняющимися величинами Е и ЛЬ соотношениями