Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 39. Движение в неинерциальной системе отсчетаДо сих пор, рассматривая движение любой механической системы, мы всегда относили его к инерциальной системе отсчета. Только в инерциальных системах отсчета функция Лагранжа, например, одной частицы во внешнем поле имеет вид
и соответственно уравнение движения
(мы будем в этом параграфе отличать индексом 0 величины, относящиеся к инерциальной системе отсчета). Займемся теперь вопросом о том, как выглядят уравнения движения частицы в неинерциальной системе отсчета. Отправным пунктом при решении этого вопроса снова является принцип наименьшего действия, применимость которого не ограничена никаким выбором системы отсчета; вместе с ним остаются в силе и уравнения Лагранжа
Однако функция Лагранжа уже не имеет вида (39,1), и для ее нахождения необходимо произвести соответствующее преобразование функции Это преобразование мы произведем в два приема. Рассмотрим сначала систему отсчета К, которая движется относительно инерциальной системы Ко поступательно со скоростью
Подставив это выражение в (39,1), получим функцию Лагранжа в системе К
Но
Подставив это в функцию Лагранжа и снова опустив полную производную по времени, получим окончательно:
где Составляя с помощью (39,4) уравнение Лагранжа, получим:
Мы видим, что в смысле своего влияния на уравнения движения частицы ускоренное поступательное движение системы отсчета эквивалентно появлению однородного силового поля, причем действующая в этом поле сила равна произведению массы частицы на ускорение W и направлена в противоположную этому ускорению сторону. Введем теперь еще одну систему отсчета, К, которая имеет общее с системой К начало, но вращается относительно нее с угловой скоростью по отношению же к инерциальной системе Скорость v частицы относительно системы К' складывается из ее скорости v относительно системы К и скорости
(радиус-векторы
Это есть общий вид функции Лагранжа частицы в произвольной неинерциальной системе отсчета. Отметим, что вращение системы отсчета приводит к появлению в функции Лагранжа члена особого вида — линейного по скорости частицы. Для вычисления производных, входящих в уравнение Лагранжа, пишем полный дифференциал
Собирая члены, содержащие
Подставив эти выражения в (39,2), получим искомое уравнение движения
Мы видим, что «силы инерции», обусловленные вращением системы отсчета, слагаются из трех частей. Сила Сила Рассмотрим особо случай равномерно вращающейся системы координат, не имеющей поступательного ускорения. Положив в (39,6) и
и уравнение движения
Вычислим также энергию частицы в этом случае. Подставив
в
Обратим внимание на то, что в энергии линейный по скорости член отсутствует. Влияние вращения системы отсчета сводится к добавлению в энергию члена, зависящего только от координат частицы и пропорционального квадрату угловой скорости. Эта дополнительная потенциальная энергия — Скорость v частицы относительно равномерно вращающейся системы отсчета связана с ее же скоростью
Поэтому импульс
Первые два члена представляют собой энергию
Этой формулой определяется закон преобразования энергии при переходе к равномерно вращающейся системе координат. Хотя мы вывели его для одной частицы, но очевидно, что вывод может быть непосредственно обобщен на случай любой системы частиц и приведет к той же формуле (39,13). Задачи1. Найти отклонение свободно падающего тела от вертикали, обусловленное вращением Земли. (Угловую скорость вращения считать малой.) Решение. В поле тяжести
Решаем это уравнение последовательными приближениями. Для этого полагаем:
Интегрируя, получим:
где h — вектор начального положения частицы. Выберем ось
где
Подставив сюда время падения
(отрицательные значения у соответствуют отклонению на восток). 2. Определить отклонение от плоскости для тела, брошенного с поверхности Земли с начальной скоростью Решение. Выбираем плоскость
или, подставив время полета
3. Определить влияние, оказываемое вращением Земли на малые колебания маятника (так называемый маятник Фуко). Решение. Пренебрегая вертикальным смещением маятника как малой величиной второго порядка, можно считать движение тела происходящим в горизонтальной плоскости
где
для комплексной величины
или
где функции
|
1 |
Оглавление
|