§ 39. Движение в неинерциальной системе отсчета

До сих пор, рассматривая движение любой механической системы, мы всегда относили его к инерциальной системе отсчета. Только в инерциальных системах отсчета функция Лагранжа, например, одной частицы во внешнем поле имеет вид

и соответственно уравнение движения

(мы будем в этом параграфе отличать индексом 0 величины, относящиеся к инерциальной системе отсчета).

Займемся теперь вопросом о том, как выглядят уравнения движения частицы в неинерциальной системе отсчета. Отправным пунктом при решении этого вопроса снова является принцип наименьшего действия, применимость которого не ограничена никаким выбором системы отсчета; вместе с ним остаются в силе и уравнения Лагранжа

Однако функция Лагранжа уже не имеет вида (39,1), и для ее нахождения необходимо произвести соответствующее преобразование функции .

Это преобразование мы произведем в два приема. Рассмотрим сначала систему отсчета К, которая движется относительно инерциальной системы Ко поступательно со скоростью Скорости и v частицы относительно систем Ко и К связаны друг с другом соотношением

Подставив это выражение в (39,1), получим функцию Лагранжа в системе К

Но есть заданная функция времени; она может быть представлена как полная производная по t от некоторой другой функции, и потому третий член в написанном выражении может быть опущен. Далее, , где — радиус-вектор частицы в системе координат поэтому

Подставив это в функцию Лагранжа и снова опустив полную производную по времени, получим окончательно:

где — ускорение поступательного движения системы отсчета К.

Составляя с помощью (39,4) уравнение Лагранжа, получим:

Мы видим, что в смысле своего влияния на уравнения движения частицы ускоренное поступательное движение системы отсчета эквивалентно появлению однородного силового поля, причем действующая в этом поле сила равна произведению массы частицы на ускорение W и направлена в противоположную этому ускорению сторону.

Введем теперь еще одну систему отсчета, К, которая имеет общее с системой К начало, но вращается относительно нее с угловой скоростью по отношению же к инерциальной системе система К совершает как поступательное, так и вращательное движение.

Скорость v частицы относительно системы К' складывается из ее скорости v относительно системы К и скорости ее вращения вместе с системой К:

(радиус-векторы частицы в системах К и К' совпадают). Подставив это выражение в функцию Лагранжа (39,4), получим:

Это есть общий вид функции Лагранжа частицы в произвольной неинерциальной системе отсчета. Отметим, что вращение системы отсчета приводит к появлению в функции Лагранжа члена особого вида — линейного по скорости частицы.

Для вычисления производных, входящих в уравнение Лагранжа, пишем полный дифференциал

Собирая члены, содержащие , найдем:

Подставив эти выражения в (39,2), получим искомое уравнение движения

Мы видим, что «силы инерции», обусловленные вращением системы отсчета, слагаются из трех частей. Сила связана с неравномерностью вращения, а две другие присутствуют и при равномерном вращении. Сила называется силой Кориолиса в отличие от всех ранее рассматривавшихся (не диссипативных) сил она зависит от скорости частицы.

Сила называется центробежной. Она направлена в плоскости, проходящей через и Q перпендикулярно к оси вращения (т. е. направлению ), в сторону от оси; по величине центробежная сила равна , где — расстояние частицы от оси вращения.

Рассмотрим особо случай равномерно вращающейся системы координат, не имеющей поступательного ускорения. Положив в (39,6) и получим функцию Лагранжа

и уравнение движения

Вычислим также энергию частицы в этом случае. Подставив

в , получим:

(39,11)

Обратим внимание на то, что в энергии линейный по скорости член отсутствует. Влияние вращения системы отсчета сводится к добавлению в энергию члена, зависящего только от координат частицы и пропорционального квадрату угловой скорости.

Эта дополнительная потенциальная энергия — называется центробежной.

Скорость v частицы относительно равномерно вращающейся системы отсчета связана с ее же скоростью относительно инерциальной системы Ко посредством

(39,12)

Поэтому импульс (39,10) частицы в системе К совпадает с ее же импульсом в системе . Вместе с ними совпадают также моменты импульсов Энергии же частицы в системах К и различны. Подставив v из (39,12) в (39,11), получим:

Первые два члена представляют собой энергию в системе Вводя в последний член момент импульса, получим:

(39,13)

Этой формулой определяется закон преобразования энергии при переходе к равномерно вращающейся системе координат. Хотя мы вывели его для одной частицы, но очевидно, что вывод может быть непосредственно обобщен на случай любой системы частиц и приведет к той же формуле (39,13).

Задачи

1. Найти отклонение свободно падающего тела от вертикали, обусловленное вращением Земли. (Угловую скорость вращения считать малой.)

Решение. В поле тяжести где g — вектор ускорения силы тяжести; пренебрегая в уравнении (39,9) центробежной силой, содержащей квадрат Я, получиум уравнение движения в виде

Решаем это уравнение последовательными приближениями. Для этого полагаем: , где — решение уравнения — начальная скорость). Подставляя в (1) и оставляя справа только , получим уравнение для .

Интегрируя, получим:

где h — вектор начального положения частицы.

Выберем ось по вертикали вверх, а ось х — по меридиану к полюсу; тогда

где — широта (которую для определенности предполагаем северной). Положив в , найдем:

Подставив сюда время падения , найдем окончательно:

(отрицательные значения у соответствуют отклонению на восток).

2. Определить отклонение от плоскости для тела, брошенного с поверхности Земли с начальной скоростью

Решение. Выбираем плоскость так, чтобы плоскость лежала в ней. Начальная высота Для бокового отклонения получим из (2) (задача ):

или, подставив время полета :

3. Определить влияние, оказываемое вращением Земли на малые колебания маятника (так называемый маятник Фуко).

Решение. Пренебрегая вертикальным смещением маятника как малой величиной второго порядка, можно считать движение тела происходящим в горизонтальной плоскости Опуская члены, содержащие напишем уравнения движения в виде

где — частота колебаний маятника без учета вращения Земли. Умножив второе уравнение на I и сложив с первым, получим одно уравнение

для комплексной величины При решение этого уравнения имеет вид

или

где функции дают траекторию маятника без учета вращения Земли Влияние этого вращения сводится, следовательно, к повороту траектории вокруг вертикали с угловой скоростью