§ 18. Рассеяние частиц

Как было уже указано в предыдущем параграфе, полное определение результата столкновения двух частиц (определение угла ) требует решения уравнений движения с учетом конкретного закона взаимодействия частиц.

В соответствии с общим правилом будем рассматривать сначала эквивалентную задачу об отклонении одной частицы с массой в поле неподвижного силового центра (расположенного в центре инерции частиц).

Рис. 18

Как было указано в § 14, траектория частицы в центральном поле симметрична по отношению к прямой, проведенной в ближайшую к центру точку орбиты (ОА на рис. 18). Поэтому обе асимптоты орбиты пересекают указанную прямую под одинаковыми углами. Если обозначить эти углы посредством то угол отклонения частицы при ее пролете мимо центра есть, как видно из рисунка,

Угол же определяется согласно (14,7) интегралом

взятым между ближайшим к центру и бесконечно удаленным ноложениями частицы.

Напомним, что является корнем выражения, стоящего под знаком радикала.

При инфинитном движении, с которым мы имеем здесь дело, удобно ввести вместо постоянных Е и М другие — скорость и» частицы на бесконечности и так называемое прицельное расстояние . Последнее представляет собой длину перпендикуляра, опущенного из центра на направление , т. е. расстояние, на котором частица прошла бы мимо центра, если бы силовое поле отсутствовало (рис. 18). Энергия и момент выражаются через эти величины согласно

(18,3)

а формула (18,2) принимает вид

Вместе с (18,1) она определяет зависимость от .

В физических применениях приходится обычно иметь дело не с индивидуальным отклонением частицы, а, как говорят, с рассеянием целого пучка одинаковых частиц, падающих на рассеивающий центр с одинаковой скоростью V». Различные частицы в пучке обладают различными прицельными расстояниями и соответственно рассеиваются под различными углами Обозначим посредством число частиц, рассеиваемых в единицу времени на углы, лежащие в интервале между . Само по себе это число неудобно для характеристики процесса рассеяния, так как оно зависит от плотности падающего пучка (пропорционально ей). Поэтому введем отношение

где — число частиц, проходящих в единицу времени через единицу площади поперечного сечения пучка (мы предполагаем, естественно, что пучок однороден по всему своему сечению). Это отношение имеет размерность площади и называется эффективным сечением рассеяния. Оно всецело определяется видом рассеивающего поля и является важнейшей характеристикой процесса рассеяния.

Будем считать, что связь между и — взаимно однозначна; это так, если угол рассеяния является монотонно убывающей функцией прицельного расстояния. В таком случае рассеиваются в заданный интервал углов между лишь те частицы, которые летят с прицельным расстоянием в определенном интервале между

Число таких частиц равно произведению на площадь кольца между окруж ностями с радиусами . Поэтому эффективное сечение

Чтобы найти зависимость эффективного сечения от угла рассеяния, достаточно переписать это выражение в виде

Мы пишем здесь абсолютное значение производной , имея в виду, что она может быть отрицательной (как это обычно бывает) Часто относят не к элементу плоского угла , а к элементу телесного угла . Телесный угол между конусами с углами раствора есть . Поэтому имеем из (18,7}:

Возвращаясь к фактической задаче о рассеянии пучка частиц не на неподвижном силовом центре, а на других первоначально покоившихся частицах, мы можем сказать, что формула (18,7) определяет эффективное сечение в зависимости от угла рассеяния в системе центра инерции. Для нахождения же эффективного сечения в зависимости от угла рассеяния в лабораторной системе надо выразить в этой формуле через согласно формулам (17,4). При этом получаются выражения как для сечения рассеяния падающего пучка частиц (х выражено через ), так и для частиц, первоначально покоившихся (X выражено через ).

Рис. 19

Задачи

1. Определить эффективное сечение рассеяния частиц от абсолютно твердого шарика радиуса е. при законе взаимодействия при при .

Решение. Так как вне шарика частица движется свободно, а внутрь него проникнуть вообще не может, то траектория складывается из двух прямых, расположенных симметрично относительно радиуса, проведенного в точку их пересечения с шариком (рис. 19). Как видно из рисунка,

Подставляя в (18,7) или (18,8), получим;

т. е. в -системе рассеяние изотропно. Интегрируя по всем углам, найдем, что полное сечение в соответствий с тем, что прицельная площадь, в которую должна попасть частица для того, чтобы вообще рассеяться, есть площадь сечения шарика.

Для перехода к -системе надо выразить через согласно (17,4). Вычисления полностью аналогичны произведенным в задаче 2 § 16 (ввиду формального сходства формул (17,4) и (16,5)). При — масса частиц, — масса шариков) получим:

. Если же

При имеем:

что можно получить и прямой подстановкой (согласно ) в (1). Для первоначально покоившихся шариков имеем всегда и подстановка в (1) дает:

2. Для того же случая выразить эффективное сечение как функцию энергии , теряемой рассеиваемыми частицами.

Решение. Энергия, теряемая частицей , совпадает С энергией, при Обретаемой частицей . Согласно (17,5) и (17,7) имеем:

откуда

и, подставляя в формулу (1) задачи 1, получим:

Распределение рассеянных частиц по значениям оказывается однородным во всем интервале от нуля до

3. Как зависит эффективное сечение от скорости , частиц при рассеянии в поле

Решение. Согласно (10,3), если потенциальная энергия есть однородная функция порядка то для подобных траекторий или

(углы отклонения для подобных траекторий одинаковы). Подставляя в найдем, что

4. Определить эффективное сечение для «падения» частиц на центр поля

Решение. «Падают» на центр те частицы, для которых выполняется условие (см. (14,11)), т. е. у которых прицельное расстояние не превышает значения Поэтому искомое эффективное сечение

Решение. Зависимость эффективной потенциальной энергии

от имеет вид, изображенный на рис. 20 с максимальным значением

Рис. 20

«Падают» на центр те частицы, у которых . Определяя из условия , получим:

6. Определить эффективное сечение для падения частиц (с массами ) на поверхность сферического тела (с массой та и радиусом R), к которой они притягиваются по закону Ньютона.

Решение. Условие падения заключается в неравенстве с R, где — ближайшая к центру сферы точка траектории частицы. Наибольшее допустимое значение определяется условием что сводится к решению уравнения или

причем — гравитационная постоянная), и мы положила считая, что

Находя отсюда получим:

При эффективное сечение стремится, естественно, к геометрической площади сечения сферы.

7. Восстановить вид рассеивающего поля по заданной зависимости эффективного сечения от угла рассеяния при заданной энергии Е; предполагается, что — монотонно убывающая функция (поле отталкивания), причем (О. Б. Фирсов, 1953.)

Решение. Интегрирование по углу рассеяния определяет согласно формуле

квадрат прицельного расстояния, так что функцию (а с ней и ) тоже можно считать заданной.

Вводим обозначения:

Тогда формулы (18,1), (18,2) запишутся в виде

где — корень уравнения

Уравнение (3) — интегральное уравнение для функции его можно решить методом, аналогичным использованному в § 12. Разделив обе стороны (3) на — и проинтегрировав по в пределах от нуля до а, найдем:

или, интегрируя по частям в левой стороне равенства:

Полученное соотношение дифференцируем по , после чего вместо пишем просто s, соответственно чему заменяем а на написав равенство в дифференциалах, получим:

или

Это уравнение интегрируется непосредственно, причем в правой стороне еле дует изменить порядок интегрирования по Учитывая, что при должно быть и возвращаясь к исходным переменным , получим окончательный результат (в двух эквивалентных формах);

Этой формулой определяется в неявном виде зависимость (а тем самым и ) при всех т.е. в той области значений , которая фактически проходится рассеиваемой частицей с заданной энергией Е.