Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 42. Скобки ПуассонаПусть
Подставив сюда вместо
где введено обозначение
Выражение (42,2) называют скобками Пуассона для величин Н и f. Такие функции от динамических переменных, которые остаются постоянными при движении системы, называются, как мы знаем, интегралами движения. Мы видим из (42,1), что условие того, чтобы величина f была интегралом движения
Если же интеграл движения не зависит от времени явно, то
т. е. его скобки Пуассона с функцией Гамильтона должны обращаться в нуль. Для любой пары величин
Скобки Пуассона обладают следующими свойствами, легко вы: водимыми из определения. Если переставить функции, то скобки переменят знак; если одна из функций — постоянная (с), то скобка равна нулю:
Далее,
Взяв частную производную от (42,5) по времени, получим:
Если одна из функций f или g совпадает с одним из импульсов или координат, то скобки Пуассона сводятся просто к частной производной:
Формулу (42,11), например, получим, положив в Положив в (42,11) и (42,12) функцию
Между скобками Пуассона, составленными из трех функций, существует соотношение
оно называется тождеством Якоби. Для его доказательства заметим следующее. Согласно определению (42,5) скобки Пуассона
Тогда
Легко видеть, однако, что такая комбинация линейных дифференциальных операторов не может содержать вторых производных от В самом деле, общий вид линейных дифференциальных операторов есть
где
а разность этих произведений
есть снова оператор, содержащий только однократные дифференцирования. Таким образом, в левой стороне равенства (42,14) взаимно сокращаются все члены со вторыми производными от f, а поскольку то же самое относится, очевидно, и к функциям g и h, то и все выражение тождественно обращается в нуль. Важное свойство скобок Пуассона состоит в том, что если
(так называемая теорема Пуассона). Доказательство этой теоремы совсем просто, если f и g не зависят от времени явно. Положив в тождестве Якоби
Отсюда видно, что если Если же интегралы движения
Воспользовавшись формулой (42,10) и заменив скобку
или
откуда очевидно доказательство теоремы Пуассона в общем случае. Разумеется, применяя теорему Пуассона, мы не всегда будем получать новые интегралы движения, так как их число вообще ограничено Задачи1. Определить скобки Пуасеона, составленные из декартовых квмпонент импульса Решение. С помощью формулы (42,12) находим:
и аналогичным образом еще две формулы
Остальные скобки получаются отсюда циклической перестановкой индексов 2. Определить скобки Пуассона, составленные из компонент М. Решение. Прямое вычисление по формуле (42,5) дает:
Поскольку импульсы и координаты различных частиц являются не зависимыми друг от друга переменными, то легко видеть, что полученные в задачах 1 и 2 формулы справедливы и для полных импульса и момента любой системы частиц. 3. Показать, что
где Решение. Скалярная функция может зависеть от компонент векторов
и аналогично для 4. Показать, что
где f — векторная функция координат и импульса частицы, а Решение. Произвольный вектор
|
1 |
Оглавление
|