§ 42. Скобки Пуассона

Пусть - некоторая функция координат, импульсов и времени. Составим ее полную производную по времени

Подставив сюда вместо их выражения из уравнений Гамильтона (40,4), получим:

где введено обозначение

Выражение (42,2) называют скобками Пуассона для величин Н и f.

Такие функции от динамических переменных, которые остаются постоянными при движении системы, называются, как мы знаем, интегралами движения. Мы видим из (42,1), что условие того, чтобы величина f была интегралом движения , можно написать в виде

Если же интеграл движения не зависит от времени явно, то

т. е. его скобки Пуассона с функцией Гамильтона должны обращаться в нуль.

Для любой пары величин скобки Пуассона определяются аналогично (42,2):

Скобки Пуассона обладают следующими свойствами, легко вы: водимыми из определения.

Если переставить функции, то скобки переменят знак; если одна из функций — постоянная (с), то скобка равна нулю:

Далее,

Взяв частную производную от (42,5) по времени, получим:

Если одна из функций f или g совпадает с одним из импульсов или координат, то скобки Пуассона сводятся просто к частной производной:

(42,11)

Формулу (42,11), например, получим, положив в вся сумма сведется при этом к одному члену, так как .

Положив в (42,11) и (42,12) функцию равной , получим, в частности,

(42,13)

Между скобками Пуассона, составленными из трех функций, существует соотношение

(42,14)

оно называется тождеством Якоби.

Для его доказательства заметим следующее. Согласно определению (42,5) скобки Пуассона являются билинейной однородной функцией производных первого порядка от величин f и g. Поэтому, например, скобка представляет собой линейную однородную функцию производных второго порядка от и g. Вся же левая сторона равенства (42,14) в целом есть линейная однородная функция вторых производных от всех трех функций Соберем вместе члены, содержащие вторые производные от f. Первая скобка таких членов не содержит в ней есть только первые производные от . Сумму же второй и третьей скобок перепишем в символическом виде, введя линейные дифференциальные операторы согласно

Тогда

Легко видеть, однако, что такая комбинация линейных дифференциальных операторов не может содержать вторых производных от .

В самом деле, общий вид линейных дифференциальных операторов есть

где — произвольные функции переменных . Тогда

а разность этих произведений

есть снова оператор, содержащий только однократные дифференцирования. Таким образом, в левой стороне равенства (42,14) взаимно сокращаются все члены со вторыми производными от f, а поскольку то же самое относится, очевидно, и к функциям g и h, то и все выражение тождественно обращается в нуль.

Важное свойство скобок Пуассона состоит в том, что если и g — два интеграла движения, то составленные из них скобки тоже являются интегралом движения

(42,15)

(так называемая теорема Пуассона).

Доказательство этой теоремы совсем просто, если f и g не зависят от времени явно. Положив в тождестве Якоби , получим:

Отсюда видно, что если , то и , что и следовало доказать.

Если же интегралы движения и g зависят явно от времени, то пишем на основании (42,1):

Воспользовавшись формулой (42,10) и заменив скобку двумя другими при помощи тождества Якоби, получим:

или

откуда очевидно доказательство теоремы Пуассона в общем случае.

Разумеется, применяя теорему Пуассона, мы не всегда будем получать новые интегралы движения, так как их число вообще ограничено где s — число степеней свободы). В некоторых случаях мы можем получить тривиальный результат скобки Пуассона сведутся к постоянной. В других случаях вновь полученный интеграл может оказаться просто функцией исходных интегралов Если же не имеет места ни тот, ни другой случай, то скобки Пуассона дают новый интеграл движения.

Задачи

1. Определить скобки Пуасеона, составленные из декартовых квмпонент импульса и момента импульса материальной частицы.

Решение. С помощью формулы (42,12) находим:

и аналогичным образом еще две формулы

Остальные скобки получаются отсюда циклической перестановкой индексов

2. Определить скобки Пуассона, составленные из компонент М. Решение. Прямое вычисление по формуле (42,5) дает:

Поскольку импульсы и координаты различных частиц являются не зависимыми друг от друга переменными, то легко видеть, что полученные в задачах 1 и 2 формулы справедливы и для полных импульса и момента любой системы частиц.

3. Показать, что

где — любая скалярная функция координат и импульса частицы.

Решение. Скалярная функция может зависеть от компонент векторов только в комбинациях Поэтому

и аналогично для . Искомое соотношение проверяется прямым вычислением по формуле (42,5) с учетом указанных правил дифференцирования.

4. Показать, что

где f — векторная функция координат и импульса частицы, а — единичный вектор в направлении оси .

Решение. Произвольный вектор может быть написан в виде где — скалярные функции. Искомое соотношение проверяется прямым вычислением с помощью формул (42,9), (42,11). (42,12) и формулы, указанной в задаче 3.