§ 13. Приведенная масса

Полное решение в общем виде допускает чрезвычайно важная задача о движении системы, состоящей всего из двух взаимодействующих частиц (задача двух тел).

В качестве предварительного шага к решению этой задачи покажем, каким образом она может быть существенно упрощена путем разложения движения системы на движение центра инерции и движения точек относительно последнего.

Потенциальная энергия взаимодействия двух частиц зависит лишь от расстояния между ними, т. е. от абсолютной величины разности их радиус-векторов. Поэтому лагранжева функция такой системы

Введем вектор взаимного расстояния обеих точек

и поместим начало координат в центре инерции, что дает:

Из двух последних равенств находим:

Подставляя эти выражения в (13,1), получим:

где введено обозначение

величина m называется приведенной массой. Функция (13,3) формально совпадает с функцией Лагранжа одной материальной точки с массой , движущейся во внешнем поле симметричном относительно неподвижного начала координат.

Таким образом, задача о движении двух взаимодействующих материальных точек сводится к решению задачи о движении одной точки в заданном внешнем поле . По решению этой задачи траектории каждой из частиц в отдельности (по отношению к их общему центру инерции) получаются по формулам (13,2),

Задача

Система состоит из одной частицы с массой Мил частиц с одинаковыми массами . Исключить движение центра инерции свести задачу к задаче о движении частиц.

Решение. Пусть R — радиус-вектор частицы (а = 1, 2, ... ..., n) - радиус-векторы частиц с массами . Введем расстояния от частицы М до частиц

и поместим начало координат в центре инерции:

Из этих равенств находим:

где Подставив эти выражения в функцию Лагранжа

получим:

где

Потенциальная энергия зависит лишь от расстояний между частицами и потому может быть представлена как функция от векторов .