§ 4. Функция Лагранжа свободной материальной точки

Переходя к определению вида функции Лагранжа, рассмотрим сначала простейший случай — свободное движение материальной точки относительно инерциальной системы отсчета. Как мы уже видели, функция Лагранжа в этом случае может зависеть лишь от квадрата вектора скорости.

Для выяснения вида этой зависимости воспользуемся принципом относительности Галилея. Если инерциальная система отсчета К движется относительно инерциальной системы отсчета К с бесконечно малой скоростью , то . Так как уравнения движения во всех системах отсчета должны иметь один и тот же вид, то функция Лагранжа должна при таком преобразовании перейти в функцию L, которая если и отличается от то лишь на полную производную от функции координат и времени (см. конец § 2),

Имеем;

Разлагая это выражение в ряд по степеням и пренебрегая бесконечно малыми высших порядков, получим:

Второй член правой части этого равенства будет полной производной по времени только в том случае, если он зависит от скорости v линейно. Поэтомуот скорости не зависит, т. е. функция Лагранжа в рассматриваемом случае прямо пропорциональна квадрату скорости:

где m — постоянная.

Из того, что функция Лагранжа такого вида удовлетворяет принципу относительности Галилея в случае бесконечно малого преобразования скорости, непосредственно следует, что она удовлетворяет этому принципу и в случае конечной скорости V системы отсчета К относительно К. Действительно,

или

Второй член является полной производной и может быть опущен.

Величина m называется массой материальной точки. В силу свойства аддитивности функции Лагранжа, для системы невзаимодействующих точек имеем

Следует подчеркнуть, что лишь при учете этого свойства данное определение массы приобретает реальный смысл. Как уже было отмечено в § 2, всегда можно умножить функцию Лагранжа на любую постоянную; это не отражается на уравнениях движения. Для функции (4,2) такое умножение сводится к изменению единицы измерения массы; отношения же масс различных частиц, которые только и имеют реальный физический смысл, остаются при этом преобразовании неизменными.

Легко видеть, что масса не может быть отрицательной. В самом деле, согласно принципу наименьшего действия для действительного движения материальной точки из точки 1 пространства в точку 2 интеграл

имеет минимум. Если бы масса была отрицательной, то для траекторий, по которым частица сначала быстро удаляется от 1, а затем быстро приближается к 2, интеграл действия принимал бы сколь угодно большие по абсолютной величине отрицательные значения, т. е. не имел бы минимума.

Полезно заметить, что

Поэтому для составления функции Лагранжа достаточно найти квадрат длины элемента дуги в соответствующей системе координат.

В декартовых координатах, например, поэтому

В цилиндрических откуда

В сферических и