§ 33. Момент импульса твердого тела

Величина момента импульса системы зависит, как мы знаем, от выбора точки, относительно которой он определен. В механике твердого тела наиболее рационален выбор в качестве этой точки начала подвижной системы координат, т. е. центра инерции тела. Ниже мы будем понимать под М момент, определенный именно таким образом.

Согласно формуле (9,6) при выборе начала координат в центре инерции тела его момент М совпадает с «собственным моментом», связанным лишь с движением точек тела относительно центра инерции. Другими словами, в определении надо заменить v на :

или в тензорных обозначениях:

Наконец, учитывая определение (32,2) тензора инерции, получаем окончательно:

Если оси направлены вдоль главных осей инерции тела, то эта формула дает:

В частности, для шарового волчка, когда все три главных момента инерции совпадают, имеем просто:

т. е. вектор момента пропорционален вектору угловой скорости и имеет одинаковое с ним направление.

В общем же случае произвольного тела вектор М, вообще говоря, не совпадает по своему направлению с вектором Q, и лишь при вращении тела вокруг какой-либо из его главных осей инерции М и имеют одинаковое направление.

Рассмотрим свободное движение твердого тела, не подверженного действию каких-либо внешних сил. Не представляющее интереса равномерное поступательное движение будем предполагать исключенным, так что речь идет о свободном вращении тела.

Как и у всякой замкнутой системы, момент импульса свободно вращающегося тела постоянен. Для шарового волчка условие М = const приводит просто к . Это значит, что общим случаем свободного вращения шарового волчка является просто равномерное вращение вокруг постоянной оси.

Столь же прост случай ротатора. Здесь тоже причем вектор Q перпендикулярен к оси ротатора. Поэтому свободное вращение ротатора есть равномерное вращение в одной плоскости вокруг направления, перпендикулярного к этой плоскости.

Закон сохранения момента достаточен и для определения более сложного свободного вращения симметрического волчка.

Воспользовавшись произвольностью выбора направлений главных осей инерции (перпендикулярных к оси симметрии волчка ), выберем ось перпендикулярной к плоскости, определяемой постоянным вектором М и мгновенным положением оси Тогда — 0, а из формул (33,2) видно, что и Это значит, что направления М, Q и оси волчка в каждый момент времени лежат в одной плоскости (рис. 46). Но отсюда в свою очередь следует, что скорости всех точек на оси волчка в каждый момент времени перпендикулярны к указанной плоскости; другими словами, ось волчка равномерно (см. ниже) вращается вокруг направления М, описывая круговой конус (так называемая регулярная прецессия волчка). Одновременно С прецессией сам волчок равномерно вращается вокруг собственной оси.

Рис. 46

Угловые скорости обоих этих вращений легко выразить через заданную величину момента М и угол наклона 0 оси волчка к направлению М. Угловая скорость вращения волчка вокруг своей оси есть просто проекция вектора на эту ось:

Для определения же скорости прецессии надо разложить вектор по правилу параллелограмма на составляющие вдоль и вдоль М. Из них первая не приводит ни к какому перемещению самой оси волчка, а потому вторая и дает искомую угловую скорость прецессии.

Из построения на рис. 46 ясно, что , а поскольку , то получаем: