§ 34. Уравнения движения твердого тела

Поскольку твердое тело обладает в общем случае шестью степенями свободы, то общая система уравнений движения должна содержать шесть независимых уравнений. Их можно представить в виде, определяющем производные по времени от двух векторов: импульса и момента тела.

Первое из этих уравнений получается просто путем суммирования уравнений для каждой из составляющих тело частиц, где — импульс частицы, a f — действующая на нее сила. Вводя полный импульс тела

и полную действующую на него силу получим:

Хотя мы определили F как сумму всех сил f, действующих на каждую из частиц, в том числе со стороны других частиц тела, фактически в F входят лишь силы, действующие со стороны внешних источников. Все силы взаимодействия между частицами самого тела взаимно сокращаются; действительно, при отсутствии внешних сил импульс тела, как и всякой замкнутой системы, должен сохраняться, т. е. должно быть F = 0.

Если U — потенциальная энергия твердого тела во внешнем поле, то сила F может быть определена путем дифференцирования ее по координатам центра инерции тела:

Действительно, при поступательном перемещении тела на SR настолько же меняются и радиус-векторы t каждой точки тела, - а потому изменение потенциальной энергии

Отметим в этой связи, что уравнение (34,1) может быть получено и как уравнение Лагранжа по отношению к координатам центра инерции

с функцией Лагранжа (32,4), для которой

Перейдем к выводу второго уравнения движения, определяющего производную по времени от момента импульса М. Для упрощения вывода удобно выбрать «неподвижную» (инер-циальную) систему отсчета таким образом, чтобы в данный момент времени центр инерции тела покоился относительно нее.

Имеем:

В силу сделанного нами выбора системы отсчета (в которой значение в данный момент времени совпадает со скоростью . Поскольку же векторы v и имеют одинаковое направление, то Заменив также на силу f, получим окончательно:

где

Поскольку момент М определен относительно центра инерции (см. начало § 33), он не меняется при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Это видно из формулы (9,5) с R = 0. Отсюда следует, что уравнение движения (34,3), полученное здесь при определенном выборе системы отсчета, тем самым, в силу галилеевского принципа относительности, справедливо в любой инерциальной системе.

Вектор называется моментом силы f, так что К есть сумма моментов всех сил, действующих на тело. Как и в полной силе F, в сумме (34,4) фактически должны учитываться лишь внешние силы; в соответствии с законом сохранения момента импульса сумма моментов всех сил, действующих внутри замкнутой системы, должна обращаться в нуль.

Момент силы, как и момент импульса, зависит, вообще говоря, от выбора начала координат, относительно которого он определен. В (34,3), (34,4) моменты определяются относительно центра инерции тела.

При переносе начала координат на расстояние а новые радиус-векторы точек тела связаны со старыми посредством а. Поэтому

или

Отсюда видно, в частности, что величина момента сил не зависит от выбора начала координат, если полная сила F = 0 (в таком случае говорят, что к телу приложена пара сил).

Уравнение (34,3) можно рассматривать как уравнение Лагранжа

по отношению к «вращательным координатам». Действительно, дифференцируя функцию Лагранжа (32,4) по компонентам вектора Q, получим:

Изменение же потенциальной энергии U при повороте тела на бесконечно малый угол равно:

откуда

так что

Предположим, что векторы F и К взаимно перпендикулярны. В этом случае всегда можно найти такой вектор а, чтобы в формуле (34,5) К обратилось в нуль, так что будет:

При этом выбор а неоднозначен: прибавление к нему любого вектора; параллельного F, не изменит равенства (34,7), так что условие даст не определенную точку в подвижной системе координат, а лишь определенную прямую линию. Таким образом, при действие всех приложенных к нему сил может быть сведено к одной силе F, действующей вдоль определенной прямой линии.

Таков, в частности, случай однородного силового поля, в котором действующая на материальную точку сила имеет вид где Е — постоянный вектор, характеризующий поле, а величина характеризует свойства частицы по отношению к данному полю. В этом случае имеем:

Предполагая, что введем радиус-вектор определенный согласно

Тогда мы получим следующее простое выражение для полного момента сил:

Таким образом, при движении твердого тела в однородном поле влияние поля сводится к действию одной силы F, «приложенной» в точке с радиус-вектором (34,8). Положение этой точки всецело определяется свойствами, самого тела; в поле тяжести, например, она совпадает с центром инерции тела.