§ 43. Действие как функция координат

При формулировке принципа наименьшего действия мы рассматривали интеграл

взятый по траектории между двумя заданными положениями которые система занимает в заданные моменты времени и При варьировании же действия сравнивались значения этого интеграла для близких траекторий с одними и теми же значениями Лишь одна из этих траекторий отвечает действительному движению — та, для которой интеграл S минимален.

Рассмотрим теперь понятие действия в другом аспекте. Именно, будем рассматривать S как величину, характеризующую движение по истинным траекториям, и сравним значения, которые она имеет для траекторий, имеющих общее начало но проходящих в момент через различные положения. Другими словами, будем рассматривать интеграл действия для истинных траекторий как функцию значений координат в верхнем пределе интегрирования.

Изменение действия при переходе от одной траектории к близкой к ней другой траектории дается (при одной степени свободы) выражением (2,5)

Поскольку траектории действительного движения удовлетворяют уравнениям Лагранжа, то стоящий здесь интеграл обращается в нуль. В первом же члене полагаем на нижнем пределе а значение обозначим просто, как Заменив также на р, получим окончательно: или в общем случае любого числа степеней свободы

Из этого соотношения следует, что частные производные от действия по координатам равны соответствующим импульсам

Аналогичным образом действие можно понимать как явную функцию времени, рассматривая траектории, начинающиеся в заданный момент времени в заданном положении , но заканчивающиеся в заданном положении в различные моменты времени . Понимаемую в этом смысле частную производную можно найти путем соответствующего варьирования интеграла. Проще, однако, воспользоваться уже известной нам формулой (43,3), поступив следующим образом.

По самому определению действия его полная производная по времени вдоль траектории равна:

С другой стороны, рассматривая S как функцию координат и времени в описанном выше смысле и используя формулу (43,3), имеем:

Сравнивая оба выражения, находим:

или окончательно:

Формулы (43,3) и (43,5) вместе можно записать в виде выражения

для полного дифференциала действия как функции координат и времени в верхнем пределе интегрирования в (43,1). Предположим теперь, что изменяются координаты (и время) не только конца, но и начала движения. Очевидно, что соответствующее изменение S будет даваться разностью выражений (43,6) на обоих концах, т. е.

Это соотношение уже само по себе показывает, что, каково бы ни было внешнее воздействие на систему во время движения, ее конечное состояние не может быть произвольной функцией начального, — возможны только такие движения, при. которых выражение в правой стороне равенства (43,7) является полным дифференциалом. Таким образом, уже самый факт существования принципа наименьшего действия, независимо от конкретного вида функции Лагранжа, накладывает на совокупность возможных движений определенные ограничения.

В частности, оказывается возможным установить ряд общих закономерностей (не зависящих от вида имеющихся внешних полей) для пучков частиц, разлетающихся из заданных точек пространства. Изучение этих закономерностей составляет предмет так называемой геометрической оптики.

Интересно отметить, что уравнения Гамильтона могут быть выведены формальным образом из условия минимальности действия, если написать последнее, на основании (43,6), в виде интеграла

и рассматривать координаты и импульсы как независимо варьируемые величины. Предполагая снова для краткости, что имеется всего одна координата (и один импульс), пишем вариацию действия

Преобразование второго члена (интегрирование по частям) дает:

На границах интегрирования мы должны положить , так что проинтегрированный член выпадает. Остающееся же выражение может быть равным нулю при произвольных независимых лишь при условии обращения в нуль подынтегральных выражений в каждом из двух интегралов:

т. е. мы получаем после деления на dt уравнения Гамильтона.