§ 36. Уравнения Эйлера

Написанные в § 34 уравнения движения относятся к неподвижной системе координат: производные в уравнениях (34,1) и (34,3) представляют собой изменения векторов Р и М по отношению к этой системе. Между тем, наиболее простая связь между компонентами вращательного момента М твердого тела и компонентами угловой скорости имеет место в подвижной системе координат с осями, направленными по главным осям инерции. Для того чтобы воспользоваться этой связью, необходимо предварительно преобразовать уравнения движения к подвижным координатам .

Пусть — скорость изменения какого-либо вектора А по отношению к неподвижной системе координат. Если по отношению к вращающейся системе вектор А не изменяется, то его изменение относительно неподвижной системы обусловлено только вращением, и тогда

(см. § 9, где было указано, что такие формулы, как (9,1), (9,2), справедливы для любого вектора). В общем случае к правой части этого равенства надо добавить скорость изменения вектора А по отношению к подвижной системе; обозначив эту скорость, как , получим:

С помощью этой общей формулы мы можем сразу переписать уравнения (34,1) и (34,3) в виде

Поскольку дифференцирование по времени производится здесь в подвижной системе координат, то мы можем непосредственно спроецировать уравнения на оси этой системы, написав

где индексы 1, 2, 3 означают компоненты по осям . При этом в первом уравнении заменяем Р на и получаем:

Предполагая оси выбранными по главным осям инерции, пишем во втором из уравнений (36,2) и т. д. и получаем:

Уравнения (36,4) называют уравнениями Эйлера.

При свободном вращении так что уравнения Эйлера принимают вид:

В качестве примера применим эти уравнения к уже рассматривавшемуся нами свободному вращению симметрического волчка. Положив имеем из третьего уравнения . После этого первые два уравнения напишем в виде

где введена постоянная величина

Умножив второе уравнение на i и сложив с первым, получим:

откуда

где А — постоянная; последнюю можно считать вещественной (это сводится к надлежащему выбору начала отсчета времени), и тогда

Этот результат показывает, что проекция угловой скорости на плоскость, перпендикулярную к оси волчка, вращается в этой плоскости с угловой скоростью и, оставаясь постоянной по величине Поскольку проекция на ось волчка тоже постоянна, то мы заключаем, что и весь вектор Q равномерно вращается с угловой скоростью и вокруг оси волчка, оставаясь неизменным по величине. Ввиду связи между компонентами векторов Q и М такое же движение (по отношению к оси волчка) совершает, очевидно, и вектор момента М.

Полученная картина представляет собой, разумеется, лишь другой аспект того же движения волчка, которое уже было рассмотрено в §§ 33 и 35 по отношению к неподвижной системе координат. В частности, угловая скорость вращения вектора М (ось Z на рис. 48) вокруг направления совпадает, в терминах эйлеровых углов, с угловой скоростью — . С помощью уравнений (35,4) имеем:

или

в согласии с (36,6).