Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 29. Резонанс в нелинейных колебанияхУчет ангармонических членов при вынужденных колебаниях системы приводит к появлению существенно новых особенностей в резонансных явлениях. Добавив в правой стороне уравнения (28,9) внешнюю периодическую (с частотой у) силу, получим:
здесь написана также сила трения с показателем затухания Пусть
(с малым В линейном приближении зависимость амплитуды b вынужденного колебания от амплитуды f и частоты у внешней силы дается вблизи резонанса формулой (26,7), которую напишем в виде
Нелинейность колебаний приводит к появлению зависимости их собственной частоты от амплитуды; напишем ее в виде
где постоянная х выражается определенным образом через коэффициент ангармоничности (см. (28,13)). Соответственно этому заменяем в формуле (29,2) (точнее в малой разности Сохранив обозначение
или
Уравнение (29,4), кубическое по отношению к 62, и его вещественные корни определяют амплитуду вынужденных колебаний. Рассмотрим зависимость этой амплитуды от частоты внешней силы при заданной амплитуде силы f. При достаточно малых значениях По мере увеличения f кривая деформируется, сохраняя сначала свой характер — с одним максимумом (рис. 32, б); последний смещается (при
Рис. 32 Однако, начиная с определенного значения Границы этой области определяются условием
Поэтому положение точек D и С определяется совместным решением уравнений
и (29,4); соответствующие значения Наибольшее значение амплитуды достигается в точке, где
это значение совпадает с максимумом, даваемым зависимостью (29,2). Можно показать (на чем мы не будем здесь останавливаться), что из трех вещественных корней уравнения (29,4) средний (т. е. участок CD кривой, изображенный на рис. 32, в штриховой линией соответствует неустойчивым колебаниям системы: любое сколь угодно слабое воздействие на систему, находящуюся в таком состоянии, привело бы к переходу к колебательному режиму, отвечающему большему или меньшему корню (т. е. участкам ВС или DE). Таким образом, реальным колебаниям системы соответствуют лишь ветви ABC и DEF, Замечательной особенностью является при этом наличие области частот, допускающих две различные амплитуды колебаний. Так, при постепенном увеличении частоты внешней силы амплитуда вынужденных колебаний будет возрастать, следуя кривой ABC. В точке С произойдет «срыв» амплитуды, которая скачком упадет до значения, отвечающего точке Е, и затем (при дальнейшем увеличении частоты) будет меняться вдоль кривой EF. Если теперь вновь уменьшать частоту, то амплитуда вынужденных колебаний будет меняться вдоль кривой FD, в точке D скачком возрастает до В и затем будет уменьшаться вдоль ВА. Для вычисления значения
Наряду с изменением характера резонансных явлений при частотах Пусть частота внешней силы
В первом, линейном, приближении она возбуждает в системе колебания с той же частотой и с амплитудой, пропорциональной амплитуде силы:
(согласно формуле (22,4)). Но при учете нелинейных членов; во втором приближении, эти колебания приведут к появлению в правой стороне уравнения движения (29,1) члена с частотой
введя косинус удвоенного угла и сохраняя в правой стороне лишь резонансный член, получим:
Это уравнение отличается от уравнения (29,1) лишь тем, что вместо амплитуды силы
Пусть теперь частота внешней силы
В первом приближении имеем:
При подстановке
или
т. е. уравнение типа (27,8) (с учетом трения), приводящее, Однако для определения результирующей амплитуды колебаний это уравнение недостаточно. Установление конечной амплитуды связано с эффектами нелинейности, для учета которых в уравнении движения должны быть сохранены также нелинейные по
Исследование этой задачи можно очень упростить, заметив следующее обстоятельство. Положив в правой стороне уравнения (29,11)
(где b — искомая амплитуда резонансных колебаний,
обычного резонансного (по отношению к собственной частоте системы
Решая это уравнение относительно
На рис. 33 изображена получающаяся отсюда зависимость Точки В и С отвечают значениям
Слева от точки В возможно лишь значение Значение Проследим, например, за поведением первоначально «покоившейся» системы при постепенном уменьшении частоты внешней силы. До достижения точки С остается Рассмотренные случаи резонансов являются основными из возникающих в нелинейной колебательной системе. В более высоких приближениях появляются резонансы и на других частотах. Строго говоря, резонанс должен возникать на всякой частоте
Рис. 33 Однако с увеличением степени приближения интенсивность резонансных явлений (а также ширины областей частот, в которых они должны иметь место) столь быстро убывает, что реально могут наблюдаться лишь резонансы на частотах ЗадачаОпределить зависимость
Для второго приближения
где в правой стороне равенства написан лишь член, приводящий к рассматриваемому резонансу. Положив в нем
Отсюда видно, что зависимость
Корни этого уравнения:
На рис. 34 изображен графически характер зависимости b от
Колебательный режим существует лишь при
Рис. 34 Полученные формулы справедливы лишь при малых е. Малость
|
1 |
Оглавление
|