§ 29. Резонанс в нелинейных колебаниях

Учет ангармонических членов при вынужденных колебаниях системы приводит к появлению существенно новых особенностей в резонансных явлениях.

Добавив в правой стороне уравнения (28,9) внешнюю периодическую (с частотой у) силу, получим:

(29,1)

здесь написана также сила трения с показателем затухания (предполагаемым ниже малым). Строго говоря, при учете нелинейных членов в уравнении свободных колебаний должны учитываться также члены высших порядков в амплитуде вынуждающей силы, соответствующие возможной зависимости ее от смещения х. Мы не пишем этих членов лишь с целью упрощения формул; они не меняют качественной картины явлений.

Пусть

(с малым ), т. е. мы находимся вблизи обычного резонанса. Для выяснения характера возникающего движения можно обойтись без непосредственного исследования уравнения (29,1), если воспользоваться следующими соображениями.

В линейном приближении зависимость амплитуды b вынужденного колебания от амплитуды f и частоты у внешней силы дается вблизи резонанса формулой (26,7), которую напишем в виде

Нелинейность колебаний приводит к появлению зависимости их собственной частоты от амплитуды; напишем ее в виде

где постоянная х выражается определенным образом через коэффициент ангармоничности (см. (28,13)). Соответственно этому заменяем в формуле (29,2) (точнее в малой разности ) на

Сохранив обозначение получим в результате уравнение

или

Уравнение (29,4), кубическое по отношению к 62, и его вещественные корни определяют амплитуду вынужденных колебаний. Рассмотрим зависимость этой амплитуды от частоты внешней силы при заданной амплитуде силы f.

При достаточно малых значениях амплитуда тоже мала, так что можно пренебречь в (29,4) степенями выше второй, и мы возвращаемся к зависимости (29,2), изображающейся симметричной кривой с максимумом в точке (рис. 32, а).

По мере увеличения f кривая деформируется, сохраняя сначала свой характер — с одним максимумом (рис. 32, б); последний смещается (при в сторону положительных е. Из трех корней уравнения (29,4) при этом веществен лишь один.

Рис. 32

Однако, начиная с определенного значения (которое мы определим ниже), характер кривой меняется. При каждом значении существует определенная область частот, в которой уравнение (29,4) имеет три вещественных корня; ей отвечает участок BCDE кривой на рис. 32, в.

Границы этой области определяются условием в точках D и С, Продифференцировав уравнение (29,4) по , получим:

Поэтому положение точек D и С определяется совместным решением уравнений

и (29,4); соответствующие значения оба положительны.

Наибольшее значение амплитуды достигается в точке, где При этом и из (29,4) имеем:

это значение совпадает с максимумом, даваемым зависимостью (29,2).

Можно показать (на чем мы не будем здесь останавливаться), что из трех вещественных корней уравнения (29,4) средний (т. е. участок CD кривой, изображенный на рис. 32, в штриховой линией соответствует неустойчивым колебаниям системы: любое сколь угодно слабое воздействие на систему, находящуюся в таком состоянии, привело бы к переходу к колебательному режиму, отвечающему большему или меньшему корню (т. е. участкам ВС или DE). Таким образом, реальным колебаниям системы соответствуют лишь ветви ABC и DEF, Замечательной особенностью является при этом наличие области частот, допускающих две различные амплитуды колебаний. Так, при постепенном увеличении частоты внешней силы амплитуда вынужденных колебаний будет возрастать, следуя кривой ABC. В точке С произойдет «срыв» амплитуды, которая скачком упадет до значения, отвечающего точке Е, и затем (при дальнейшем увеличении частоты) будет меняться вдоль кривой EF. Если теперь вновь уменьшать частоту, то амплитуда вынужденных колебаний будет меняться вдоль кривой FD, в точке D скачком возрастает до В и затем будет уменьшаться вдоль ВА.

Для вычисления значения замечаем, что это есть то значение f, при котором оба корня квадратного (по ) уравнения (29,5) совпадают; при весь участок CD сводится к одной точке перегиба. Приравняв нулю дискриминант квадратного уравнения (29,5), получим соответствующий корень уравнения: Подставляя эти значения и в (29,4), найдем:

Наряду с изменением характера резонансных явлений при частотах нелинейность колебаний приводит также к появлению новых резонансов, в которых колебания с частотой, близкой к возбуждаются внешней силой с частотой, существенно отличающейся от

Пусть частота внешней силы т. е.

В первом, линейном, приближении она возбуждает в системе колебания с той же частотой и с амплитудой, пропорциональной амплитуде силы:

(согласно формуле (22,4)). Но при учете нелинейных членов; во втором приближении, эти колебания приведут к появлению в правой стороне уравнения движения (29,1) члена с частотой Именно, подставив в уравнение

введя косинус удвоенного угла и сохраняя в правой стороне лишь резонансный член, получим:

Это уравнение отличается от уравнения (29,1) лишь тем, что вместо амплитуды силы в нем стоит выражение, пропорциональное квадрату . Это значит, что возникает резонанс такого же характера, как и рассмотренный выше резонанс на частотах у но с меньшей интенсивностью. Зависимость получается заменой (и на ) в уравнении (29 4):

Пусть теперь частота внешней силы

В первом приближении имеем:

При подстановке уравнение (29,1) мы не получим членов, имеющих характер резонансной внешней силы, как это было в предыдущем случае. Возникает, однако, резонанс параметрического типа от члена третьего порядка, пропорционального произведению Если из всех нелинейных членов сохранить лишь этот, то для получим уравнение

или

(29,10)

т. е. уравнение типа (27,8) (с учетом трения), приводящее, мы уже знаем, к неустойчивости колебаний в определенном интервале частот.

Однако для определения результирующей амплитуды колебаний это уравнение недостаточно. Установление конечной амплитуды связано с эффектами нелинейности, для учета которых в уравнении движения должны быть сохранены также нелинейные по члены:

(29,11)

Исследование этой задачи можно очень упростить, заметив следующее обстоятельство. Положив в правой стороне уравнения (29,11)

(где b — искомая амплитуда резонансных колебаний, — несущественный для дальнейшего постоянный сдвиг фазы) и представив произведение двух периодических множителей в виде суммы двух косинусов, мы получим здесь член

обычного резонансного (по отношению к собственной частоте системы ) характера. Поэтому задача снова сводится к рассмотренной в начале параграфа задаче об обычном резонансе в нелинейной системе с тем лишь отличием, что роль амплитуды внешней силы играет теперь величина (а вместо стоит ). Произведя эту замену в уравнении (29,4), получим:

Решая это уравнение относительно найдем следующие возможные значения амплитуды:

(29,12)

На рис. 33 изображена получающаяся отсюда зависимость от (для при кривые направлены в обратную сторону).

Точки В и С отвечают значениям

Слева от точки В возможно лишь значение т. е. резонанс отсутствует и колебания с частотой не возбуждаются. В интервале между В и С имеем два корня: (отрезок ВС на рис. 33) и выражение (29,13) (ветвь BE). Наконец, справа от точки С существуют все три корня (29,12) — (29,14). Однако не все эти значения отвечают устойчивому колебательному режиму.

Значение неустойчиво на участке ВС, и можно показать также, что всегда неустойчив режим, соответствующий корню (29,14) (промежуточному между двумя другими). На рис. 33 неустойчивые значения b изображены штриховой линией.

Проследим, например, за поведением первоначально «покоившейся» системы при постепенном уменьшении частоты внешней силы. До достижения точки С остается , а затем происходит «срыв» этого состояния с переходом на ветвь ЕВ, При дальнейшем уменьшении амплитуда колебаний уменьшается до нуля в точке В. При обратном же увеличении частоты амплитуда колебаний растет вдоль кривой

Рассмотренные случаи резонансов являются основными из возникающих в нелинейной колебательной системе. В более высоких приближениях появляются резонансы и на других частотах. Строго говоря, резонанс должен возникать на всякой частоте , для которой целые числа), т. е. при всяком где , q — снова целые числа.

Рис. 33

Однако с увеличением степени приближения интенсивность резонансных явлений (а также ширины областей частот, в которых они должны иметь место) столь быстро убывает, что реально могут наблюдаться лишь резонансы на частотах с небольшим значениями p и q.

Задача

Определить зависимость от резонанса на частотах у Решение. В первом приближении

Для второго приближения получаем из (29,1) уравнение

где в правой стороне равенства написан лишь член, приводящий к рассматриваемому резонансу. Положив в нем и выделяя из произведения трех косинусов резонансный член, получим в правой стороне уравнения выражение

Отсюда видно, что зависимость от получится заменой в уравнении (29,4) f на и на :

Корни этого уравнения:

На рис. 34 изображен графически характер зависимости b от (при Устойчивым режимам отвечают лишь значение (ось абсцисс) и ветвь АВ. Точке А соответствуют значения

Колебательный режим существует лишь при причем амплитуда . Поскольку состояние всегда устойчиво, то для возбуждения колебаний необходим начальный «толчок».

Рис. 34

Полученные формулы справедливы лишь при малых е. Малость обеспечивается малостью К, если при этом амплитуда силы удовлетворяет условию .