§ 47. Уравнение Гамильтона — Якоби

В § 43 было введено понятие о действии как функции координат и времени. Было показано, что частная производная по времени от этой функции S(q,t) связана с функцией Гамильтона соотношением

а ее частные производные по координатам совпадают с импульсами. Заменив в соответствии с этим импульсы в функции Гамильтона производными мы получим уравнение

которому должна удовлетворять функция Это уравнение в частных производных первого порядка; оно называется уравнением Гамильтона — Якоби.

Наряду с уравнениями Лагранжа и каноническими уравнениями уравнение Гамильтона — Якоби также является основой некоторого общего метода интегрирования уравнений движения.

Переходя к изложению этого метода, напомним предварительно, что всякое дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка имеет решение, зависящее от произвольной функции; такое решение называют общим интегралом уравнения. В механических применениях, однако, основную роль играет не общий интеграл уравнения Гамильтона—Якоби, а так называемый полный интеграл; так называется решение дифференциального уравнения в частных производных, содержащее столько независимых произвольных постоянных, сколько имеется независимых переменных.

В уравнении Гамильтона — Якоби независимыми переменными являются время и координаты.

Поэтому для системы с s степенями свободы полный интеграл этого уравнения должен содержать s + 1 произвольных постоянных. При этом, поскольку функция S входит в уравнение только через свои производные, то одна из произвольных постоянных содержится в полном интеграле аддитивным образом, т. е. полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби имеет вид

где и А — произвольные постоянные.

Выясним теперь связь между полным интегралом уравнения Гамильтона — Якоби и интересующим нас решением уравнений движения. Для этого произведем каноническое преобразование от величин q, к новым переменным, причем функцию выберем в качестве производящей функции, а величины — в качестве новых импульсов. Новые координаты обозначим посредством Так как производящая функция зависит от старых координат и новых импульсов, мы должны пользоваться формулами (45,8) :

Но поскольку функция f удовлетворяет уравнению Гамильтона— Якоби, то мы видим, что новая функция Гамильтона обращается тождественно в нуль:

Поэтому канонические уравнения для новых переменных имеют вид откуда следует, что

(47,3)

С другой стороны, s уравнений

дают возможность выразить s координат q через время и постоянных Тем самым мы найдем общий интеграл уравнений движения.

Таким образом, решение задачи о движении механической системы методом Гамильтона — Якоби сводится к следующим операциям.

По функции Гамильтона составляется уравнение Гамильтона—Якоби и находится полный интеграл (47,2) этого уравнения. Дифференцируя его по произвольным постоянным а и приравнивая новым постоянным р, получаем систему s алгебраических уравнений

решая которую, найдем координаты q как функции времени и произвольных постоянных. Зависимость импульсов от времени можно найти затем по уравнениям .

Если мы имеем неполный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби, зависящий от меньшего чем s числа произвольных постоянных, то хотя с его помощью нельзя найти общий интеграл уравнений движения, но можно несколько упростить задачу его нахождения. Так, если известна функция S, содержащая одну произвольную постоянную а, то соотношение

дает одно уравнение, связывающее .

Уравнение Гамильтона—Якоби принимает несколько более простую форму в том случае, когда функция Н не зависит от времени явно, т. е. система консервативна. Зависимость действия от времени сводится при этом к слагаемому — Et:

(см. § 44), и подстановкой в (47,1) мы получаем для укороченного действия уравнение Гамильтона — Якоби в виде