§ 44. Принцип Мопертюи

Принципом наименьшего действия движение механической системы определяется полностью: путем решения следующих из этого принципа уравнений движения можно найти как форму траектории, так и зависимость положения на траектории от времени.

Если ограничиться более узким вопросом об определении лишь самой траектории (оставляя в стороне временную часть задачи), то оказывается возможным установить для этой цели упрощенную форму принципа наименьшего действия.

Предположим, что функция Лагранжа, а с нею и функция Гамильтона не содержат времени явно, так что энергия системы сохраняется:

Согласно принципу наименьшего действия, вариация действия для заданных начальных и конечных значений координат и моментов времени (скажем, и t) равна нулю. Если же допускать варьирование конечного момента времени t при фиксированных по-прежнему начальных и конечных координатах, то имеем (ср. (43,7)):

Будем теперь сравнивать не все виртуальные движения системы, а лишь те, которые удовлетворяют закону сохранения энергии. Для таких траекторий мы можем заменить Н в (44,1) постоянной Е, что дает

Написав действие в виде (43,8) и снова заменяя Н на Е, имеем:

Первый член в этом выражении

иногда называют укороченным действием. Подставив (44,3) в (44,2), найдем:

Таким образом, укороченное действие имеет минимум по отношению ко всем траекториям, удовлетворяющим закону сохранения энергии и проходящим через конечную точку в произвольный момент времени. Для того чтобы пользоваться таким вариационным принципом, необходимо предварительно выразить импульсы, а с ними и все подынтегральное выражение в (44,4). через координаты q и их дифференциалы dq. Для этого надо воспользоваться равенствами

представляющими собой определение импульсов, и уравнением закона сохранения энергии

Выразив из последнего уравнения дифференциал dt через координаты q и их дифференциалы dq и подставив в формулы (44,6), мы выразим импульсы через q и dq, причем энергия Е будет играть роль параметра. Получающийся таким образом вариационный принцип определяет траекторию системы; этот принцип называют обычно принципом Мопертюи (хотя его точная формулировка была дана Эйлером и Лагранжем).

Произведем указанные действия в явном виде для обычной формы функции Лагранжа (5,5) как разности кинетической и потенциальной энергий:

При этом импульсы

а энергия

Из последнего равенства имеем

и, подставляя это выражение в

найдем укороченное действие в виде

В частности, для одной материальной точки кинетическая энергия

(где m — масса частицы, a dl — элемент длины траектории) и вариационный принцип для определения формы траектории

(44,10)

где интеграл берется между двумя заданными точками пространства.

В таком виде он был представлен Якоби.

При свободном движении частицы и (44,10) дает тривиальный результат

т. е. частица движется по кратчайшему пути — по прямой.

Вернемся снова к выражению для действия (44,3) и произведем на этот раз его варьирование также и по параметру Е:

Подставив это в (44,2), находим:

(44,11)

Для укороченного действия в форме (44,9) это равенство приводит к соотношению

(44,12)

которое представляет собой не что иное, как интеграл уравнения (44,8). Вместе с уравнением траектории оно полностью определяет движение.

Задача

Из вариационного принципа (44,10) получить дифференциальное уравнение траектории.

Решение. Производя варьирование, имеем:

Во втором члене учтено, что и потому ; произведя в этом члене интегрирование по частям и приравняв затем нулю коэффициент при в подынтегральном выражении, получим дифференциальное уравнение траектории

Раскрыв производную в левой стороне равенства и вводя силу можно представить это уравнение в виде

где — единичный вектор касательной к траектории. Разность есть нормальная к траектории компонента силы Производная же как известно из дифференциальной геометрии, равна где R — радиус кривизны траектории, — единичный вектор главной нормали к ней.

Заменив также на , получим:

в соответствии с известным выражением для нормального ускорения при движении по искривленной траектории.