§ 30. Движение в быстро осциллирующем поле

Рассмотрим движение частицы, находящейся одновременно под действием постоянного поля U и силы

меняющейся со временем с большой частотой со — функции только от координат). Под «большой» мы понимаем при этом частоту, удовлетворящую условию со где Т — порядок величины периода движения, которое частица совершала бы в одном поле U. По своей величине сила f не предполагается слабой по сравнению с силами, действующими в поле U, Мы будем, однако, предполагать малым вызываемое этой силой колебательное смещение частицы (обозначенное ниже посредством ).

Для упрощения вычислений рассмотрим сначала одномерное движение в поле, зависящем лишь от одной пространственной координаты х. Тогда уравнение движения частицы

Из характера действующего на частицу поля заранее ясно, что ее движение будет представлять собой перемещение вдоль некоторой плавной траектории с одновременными малыми осцилляциями (с частотой ) вокруг нее. Соответственно этому представим функцию x{t) в виде суммы

где представляет собой указанные малые осцилляции.

Среднее значение функции за время ее периода обращается в нуль, функция же за это время меняется очень мало. Обозначая такое усреднение чертой над буквой, имеем поэтому: , т. е. функция описывает усредненное по быстрым осцилляциям «плавное» движение частицы. Выведем уравнение, определяющее эту функцию.

Подставляя (30,3) в (30,2) и разлагая по степеням с точностью до членов первого порядка, получим:

В этом уравнении фигурируют члены различного характера — осциллирующие и «плавные»; они должны, очевидно, взаимно сокращаться в каждой из этих двух групп в отдельности.

Для осциллирующих членов достаточно написать:

остальные содержат малый множитель и потому малы по сравнению с написанными (что касается производной то она рропорциональна большой величине и потому не мала). Интегрируя уравнение (30,5) с функцией f из (30,1) (причем величина X рассматривается как постоянная), получим:

Усредним теперь уравнение (30,4) по времени (в указанном выше смысле). Поскольку средние значения первых степеней обращаются в нуль, получим уравнение

содержащее уже только функцию . Перепишем его окончательно в виде

где «эффективная потенциальная энергия» определяется посредством

Сравнивая это выражение с (30,6), легко видеть, что дополнительный (по отношению к полю U) член представляет собой не что иное, как среднюю кинетическую энергию осцилляционного движения:

Таким образом, усредненное по осцилляциям движение частицы происходит так, как если бы, помимо постоянного поля , действовало еще и дополнительное постоянное поле, квадратично зависящее от амплитуды переменного поля.

Полученный результат может быть легко обобщен на случай системы с любым числом степеней свободы, описываемой обобщенными координатами .

Для эффективной потенциальной энергии получается (вместо (30,8)) выражение

где величины (вообще говоря, — функции координат) — элементы матрицы, обратной матрице коэффициентов а, в кинетической энергии системы (см. (5,5)).

Задачи

1. Определить положения устойчивого равновесия маятника, точка подвеса которого совершает вертикальные колебания с большой частотой

Решение. Из полученной в задаче 3, в) § 5 функции Лагранжа видно, что в данном случае переменная сила

(в качестве величины x выбран угол ). Поэтому «эффективная потенциальная энергия»

Положения устойчивого равновесия отвечают минимуму этой функции. Направление вертикально вниз всегда устойчиво. При выполнении условия

устойчивым является также положение вертикально вверх

2. То же для маятника с горизонтально колеблющейся точкой подвеса. Решение. По полученной в задаче 3, б) § 5 функции Лагранжа находим и затем

Если то устойчиво положение Если же устойчивому равновесию отвечает значение