Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ГЛАВА V. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ§ 21. Свободные одномерные колебанияОчень распространенный тип движения механических систем представляют собой так называемые малые колебания, которые система совершает вблизи своего положения устойчивого равновесия. Рассмотрение этих движений мы начнем с наиболее простого случая, когда система имеет всего одну степень свободы. Устойчивому равновесию соответствует такое положение системы, в котором ее потенциальная энергия U(q) имеет минимум; отклонение от такого положения приводит к возникновению силы
где k — положительный коэффициент (значение второй производной
для отклонения координаты от ее равновесного значения. Таким образом,
Кинетическая энергия системы с одной степенью свободы имеет в общем случае вид
В том же приближении достаточно заменить функцию
получим окончательно следующее выражение для лагранжевой функции системы, совершающей одномерные малые колебания:
Соответствующее этой функции уравнение движения гласит:
или
где введено обозначение
Два независимых решения линейного дифференциального уравнения (21,5):
Это выражение может быть написано также и в виде
Поскольку
Таким образом, вблизи положения устойчивого равновесия система совершает гармоническое колебательное движение. Коэффициент а при периодическом множителе в (21,8) называется амплитудой колебаний, а аргумент косинуса — их фазой, а есть начальное значение фазы, зависящее, очевидно, от выбора начала отсчета времени. Величина со называется циклической частотой колебаний; в теоретической физике, впрочем, ее называют обычно просто частотой, что мы и будем Аёлать в дальнейшем. Частота является основной характеристикой колебаний, не зависящей от начальных условий движения. Согласно формуле (21,6) она всецело определяется свойствами механической системы как таковой. Подчеркнем, однако, что это свойство частоты связано с предполагаемой малостью колебаний и исчезает при переходе к более высоким приближениям. С математической точки зрения оно связано с квадратичной зависимостью потенциальной энергии от координаты. Энергия системы, совершающей малые колебания, есть
или, подставив сюда (21.8) ;
Она пропорциональна квадрату амплитуды колебаний. Зависимость координаты колеблющейся системы от времени часто оказывается удобным представлять в виде вещественной части комплексного выражения
где А — комплексная постоянная; написав ее в виде
мы вернемся к выражению (21,8). Постоянную А называют комплексной амплитудой] ее модуль совпадает с обычной амплитудой, а аргумент — с начальной фазой. Оперирование с экспоненциальными множителями в математическом отношении проще, чем с тригонометрическими, так как дифференцирование не меняет их вида. При этом, пока мы производим лишь линейные операции (сложение, умножение на постоянные коэффициенты, дифференцирование, интегрирование), можно вообще опускать знак взятия вещественной части, переходя к последней лишь в окончательном результате вычислений. Задачи 1. Выразить амплитуду и начальную фазу колебаний через начальные значения Ответ:
2. Найти отношение частот Решение. Поскольку атомы изотопов взаимодействуют одинаковым образом, то
3. Найти частоту колебаний точки с массой Решение. Потенциальная энергия пружины (с точностью до малых величин высшего порядка) равна произведению силы F на удлинение
так что
4. То же, если точка m движется по окружности радиуса
Рис. 22
Рис. 23 Решение. В этом случае удлинение пружины (при
Кинетическая энергия
5. Найти частоту колебаний изображенного на рис. 2 маятника, точка подвеса которого (с массой Решение. При
Отсюда
6. Определить форму кривой, при качании вдоль которой (в поле тяжести) частота колебаний не зависит от амплитуды. Решение. Поставленному условию будет удовлетворять такая кривая, при движении вдоль которой потенциальная энергия частицы будет Но в поле тяжести
С другой стороны,
Интегрирование удобно произвести, сделав подстановку
Тогда получим:
Эти два равенства определяют в параметрическом виде уравнение искомой кривой; она представляет собой циклоиду.
|
1 |
Оглавление
|