§ 41. Функция Рауса

В некоторых случаях может оказаться целесообразным при переходе к новым переменным заменить на импульсы не все обобщенные скорости, а только некоторые из них. Соответствующее преобразование вполне аналогично произведенному в предыдущем параграфе.

Для упрощения записи формул предположим сначала, что имеются всего две координаты, которые мы обозначим, как q и и произведем преобразование от переменных к переменным , где — обобщенный импульс, соответствующий координате q.

Дифференциал функции Лагранжа равен:

откуда получаем

Введем функцию (так называемую функцию Рауса)

в которой скорость q выражена через импульс при помощи равенства . Дифференциал

(41,2)

Отсюда следует, что

Подставляя последние равенства в уравнение Лагранжа для координаты , получим:

Таким образом, функция Рауса является гамильтоновой по отношению к координате q (уравнения (41,3)) и лагранжевой по отношению к координате (уравнение (41,5)).

Согласно общему определению энергия системы

Ее выражение через функцию Рауса получается путем подстановки сюда (41,1) и (41,4)

Обобщение полученных формул на случай, когда имеется по нескольку координат q и очевидно.

Применение функции Рауса может быть целесообразным, в частности, при наличии циклических координат. Если координаты -циклические, то они не входят явным образом в функцию Лагранжа, а потому и в функцию Рауса, так что последняя будет функцией только от . Но импульсы , соответствующие циклическим координатам, постоянны (это следует и из второго из уравнений (41,3), которое в этом смысле не дает ничего нового). После замены импульсов их заданными постоянными значениями уравнения (41,5)

превратятся в уравнения, содержащие только координаты так что циклические координаты тем самым исключаются полностью. Если эти уравнения решены и функции найдены, то, подставив их в правую часть уравнений

мы найдем прямым интегрированием функции .

Задача

Найти функцию Рауса симметрического волчка во внешнем поле , исключив циклическую координату — эйлеровы углы).

Решение. Функция Лагранжа

(ср. задачу 1 § 35). Функция Рауса

первый член в этом выракении представляет собой постоянную, которая может быть опущена.