§ 27. Параметрический резонанс

Существуют такие незамкнутые колебательные системы, в которых внешнее воздействие сводится к изменению со временем ее параметров.

Параметрами одномерной системы являются коэффициенты и k в функции Лагранжа (21,3); если они зависят от времени, то уравнение движения гласит:

Путем введения вместо t новой независимой переменной согласно это уравнение приводится к виду

Поэтому фактически, без всякого ограничения общности, достаточно рассмотреть уравнение движения вида

которое получилось бы из (27,1) при .

Вид функции задается условиями задачи; предположим, что эта функция периодическая с некоторой частотой (и периодом ). Это значит, что

а потому и все уравнение (27,2) инвариантно по отношению к преобразованию Отсюда следует, что если есть решение уравнения, то и функция тоже есть решение. Другими словами, если и - два независимых интеграла уравнения (27,2), то при замене они преобразуются линейным образом друг через друга. При этом можно выбрать таким образом, чтобы их изменение при замене t на сводилось просто к умножению на постоянный множитель

Наиболее общий вид функций, обладающих таким свойством, есть

где и — чисто периодические функции времени (с периодом Т).

Постоянные в этих функциях должны быть связаны друг с другом определенным соотношением. Действительно, умножив уравнения

соответственно на и вычтя их почленно одно из другого, получим:

или

(27,4)

Но при любых функциях вида (27,3) выражение в левой стороне этого равенства умножается на при изменении аргумента t на . Поэтому ясно, что соблюдение равенства (27,4) во всякбм случае требует, чтобы было

Дальнейшие заключения о постоянных можно сделать, исходя из факта вещественности коэффициентов уравнения (27,2). Если x(t) есть какой-либо интеграл такого уравнения, то и комплексно сопряженная функция должна удовлетворять тому же уравнению.

Отсюда следует, что пара постоянных должна совпадать с парой , т. е. должно быть либо либо и вещественны. В первом случае, учитывая (27,5), имеем постоянные по модулю равны единице.

Во втором же случае два независимых интеграла уравнения (27,2) имеют вид

с отличным от единицы положительным или отрицательным вещественным числом Одна из этих функций (первая или вторая при или ) экспоненциально возрастает со временем. Это значит, что состояние покоя системы (в положении равновесия будет неустойчивым: достаточно сколь угодно слабого отклонения от этого состояния, чтобы появившееся смещение стало быстро возрастать со временем. Это явление называется параметрическим резонансом.

Обратим внимание на то, что при строго равных нулю начальных значениях они оставались бы равными нулю и в дальнейшем в отличие от обычного резонанса (§ 22), в котором возрастание смещения со временем (пропорциональное t) происходит и от равного нулю начального значения.

Выясним условия возникновения параметрического резонанса в важном случае, когда функция мало отличается от некоторой постоянной величины и является простой периодической функцией

где постоянная (мы будем считать h положительной, чего всегда можно добиться надлежащим выбором», начала отсчета времени). Как мы увидим ниже, наиболее интенсивным образом параметрический резонанс возникает, если частота функции близка к удвоенной частоте . Поэтому положим;

где

Решение уравнения движения

будем искать в виде

где и -медленно (по сравнению с множителями ) меняющиеся функции времени.

Такой вид решения, разумеется, не является точным. В действительности функция x(t) содержит также члены с частотами, отличающимися от на целое кратное от ; эти члены, однако, высшего порядка малости по , и в первом приближении ими можно пренебречь (см. задачу 1).

Подставим (27,9) в (27,8) и произведем вычисления, сохраняя лишь члены первого порядка по . При этом предположим, что (правильность этого предположения в условиях резонанса подтвердится результатом). Произведения тригонометрических множителей разложим в суммы

и т. п. и в соответствии со сказанным выше опустить члены с частотами . В результате получим:

Выполнение этого равенства требует одновременного обращения в нуль коэффициентов при каждом из множителей sin и cos. Отсюда получаем систему двух линейных дифференциальных уравнений для функций a(t) и b{t). Следуя общим правилам, ищем решение, пропорциональное , Тогда

и условие совместности этих двух алгебраических уравнений дает:

Условие возникновение параметрического резонанса заключается в вещественности s (т. е. ). Таким образом, он имеет место в интервале

вокруг частоты

Ширина этого интервала пропорциональна , и такого же порядка осуществляющиеся в нем значения показателя усиления колебаний s.

Параметрический резонанс имеет место также при частотах изменения параметра системы, близких к значениям вида , где — любое целое число. Однако ширина резонансных областей (областей неустойчивости) с увеличением быстро уменьшается — как (см. задачу 2). Так же уменьшаются и значения показателя усиления колебаний в них.

Явление параметрического резонанса существует и при наличии слабого трения в системе, но область неустойчивости при этом несколько сужается. Как мы видели в § 25, трение приводит к затуханию амплитуды колебаний по закону . Поэтому усиление колебаний при параметрическом резонансе происходит, как (с положительным s, даваемым решением задачи без трения), а граница области неустойчивости определяется равенством . Так, используя s из (27,10), получим для резонансной области вместо (27,11) неравенства

Обратим внимание на то, что при этом резонанс оказывается возможным не при сколь угодно млой амплитуде , а лишь начиная с определенного «порога» , равного в случае (27,12)

Можно показать, что для резонансов вблизи частот величина порога пропорциональна , т. е. возрастает с увеличением .

Задачи

1. Определить границы области неустойчивости при резонансе вблизи с точностью до величин порядка .

Решение. Ищем решение уравнения (27,8) в виде

учитывая в нем (по сравнению с (27,9)) также и члены следующего порядка по Интересуясь лишь границами области яеустойчивости, предполагаем коэффициенты постоянными (в соответствии с замечанием, сделанным в сноске на стр. 110).

При подстановке в уравнение (27,8) произведения тригонометрических функций разлагаем в суммы, опуская при этом члены с частотами которые нужны были бы лишь в еще более высоком приближении. Получаем:

В членах с частотами «о сохранены величины первого и второго порядка малости, а в членах с частотами — члены первого порядка. Каждое из выражений в квадратных скобках должно обращаться в нуль в отдельности. Из двух последних имеем:

после чего из двух первых находим:

Решая это уравнение с точностью до членов порядка получим искомые граничные значения :

2. Определить границы области неустойчивости при резонансе вблизи .

Решение. Написав , получаем уравнение движения

Имея в виду, что искомые граничные значения , ищем решение в виде

учитывая в нем сразу члены двух первых порядков. Для определения границ неустойчивости снова предполагаем коэффициенты постоянными и получаем:

Отсюда находим:

и затем две границы области неустойчивости:

3. Найти условия параметрического резонанса для малых колебаний плоского маятника с колеблющейся в вертикальном направлении точкой подвеса.

Решение. По найденной в задаче 3, в) § 5 функции Лагранжа найдем для малых колебаний уравнение движения

Отсюда видно, что роль введенного в тексте параметра h играет отношение Условие (27,11), например, принимает вид