§ 20. Рассеяние под малыми углами

Вычисление эффективного сечения значительно упрощается, если рассматривать лишь те столкновения, которые происходят на больших прицельных расстояниях, где поле U является слабым, так что углы отклонения соответственно малы. При этом вычисление можно производить сразу в лабораторной системе отсчета, не вводя систему центра инерции.

Выберем ось по направлению первоначального импульса рассеиваемых частиц (частицы ), а плоскость — в плоскости рассеяния. Обозначив посредством импульс частицы рассеяния, имеем очевидное равенство

Для малых отклонений можно приближенно заменить на , а в знаменателе — заменить первоначальным импульсом ;

Далее, поскольку , то полное приращение импульса вдоль оси у

При этом сила:

Поскольку интеграл (20,2) уже содержит малую величину U, то при его вычислении можно в том же приближении считать, что частица вовсе не отклоняется от своего первоначального пути, т. е. движется прямолинейно (вдоль прямой ) и равномерно (со скоростью а»), Соответственно этому полагаем в (20,2)

и получаем:

Наконец, от интегрирования перейдем к интегрированию по Поскольку для прямолинейного пути то при изменении от до изменяется от до и затем снова до Поэтому интеграл по перейдет в удвоенный интеграл по от до причем заменяется на

Окончательно получим для угла рассеяния (20,1) следующее выражение:

чем и определяется искомая зависимость от при слабом отклонении. Эффективное сечение рассеяния (в -системе) получается по такой же формуле, как (18,8) (с 01 вместо ), причем можно и здесь заменить на

Задачи

1. Получить формулу (20,3) из формулы (18,4).

Решение. С целью избежать ниже фиктивно расходящихся интегралов, представим формулу (18,4) в виде

причем в качестве верхнего предела пишем большую конечную величину R, имея в виду перейти затем к пределу . Ввиду малости U разлагаем корень по степеням U, а заменяем приближенно на :

Первый интеграл после перехода к пределу дает Второй же интеграл предварительно преобразуем по частям и получаем выражение

эквивалентное формуле (20,3).

2. Определить эффективное сечение рассеяния на малые углы в полб

Решение. Согласно (20,3) имеем!

Подстановкой интеграл приводится к В-интегралу Эйлера и выражается через Г-функции

Выражая отсюда через и подставляя в (20,4), получим: