Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 51. Точность сохранения адиабатического инвариантаУравнение движения в форме (50,10) позволяет снова убедиться в адиабатической инвариантности переменной действия. Функция Как и всякая однозначная функция, функция
что и требовалось. Уравнения движения (50,10), (50,11) позволяют рассмотреть и вопрос о точности, с которой сохраняется адиабатический инвариант. Поставим этот вопрос следующим образом: пусть параметр Из (50,10) имеем
Как уже было указано, величина A — периодическая (с периодом
(в силу вещественности
При достаточно малом к производная w положительна (ее знак совпадает со знаком
Подставим сюда (51,4) и преобразуем интеграл, рассматривая в нем формальным образом w как комплексную переменную. Предположив, что подынтегральное выражение не имеет особых точек при вещественных значениях w, сместим путь интегрирования с вещественной оси w в верхнюю полуплоскость этой переменной. При этом контур «зацепляется» за особые точки подынтегрального выражения и, огибая их, принимает вид, показанный схематически на рис. 56. Пусть
Рис. 56 Пусть
Поскольку, по предположению, Для определения
причем аргумент Тогда
(в качестве нижнего предела можно взять любое вещественное значение Интеграл же (51,5) с w из (51,8) (и с одним членом ряда 51,4) в качестве
Отсюда видно, что в качестве конкурирующих (при отборе ближайшей к вещественной оси) особых точек фигурируют особенности (полюсы, точки ветвления) функций Задачи1. Оценить
от значения Решение. Понимая под параметром X саму частоту
Эта функция имеет полюсы при
Для гармонического осциллятора
2. Частица совершает колебания в потенциальной яме. Определить закон изменения ее энергии под действием силы трения Решение. Усредним уравнение (25,13) по периоду колебаний, пренебрегая в первом приближении их затуханием. Имеем
где
Интегрируя, получаем
Формула (1) определяет в неявном виде зависимость
|
1 |
Оглавление
|