§ 51. Точность сохранения адиабатического инварианта

Уравнение движения в форме (50,10) позволяет снова убедиться в адиабатической инвариантности переменной действия. Функция — неоднозначная функция при возвращении координаты к первоначальному значению к прибавляется целое кратное от Производная же ( - однозначная функция, так как дифференцирование производится при постоянном I и прибавляющиеся к приращения при этом исчезают.

Как и всякая однозначная функция, функция , будучи выражена через угловую переменную w, будет периодической функцией этой переменной. Среднее же (по периоду) значение производной от периодической функции обращается в нуль. Поэтому, усредняя уравнение (50,10) и вынося при этом К (при медленном изменении X) из-под знака среднего, получим

что и требовалось.

Уравнения движения (50,10), (50,11) позволяют рассмотреть и вопрос о точности, с которой сохраняется адиабатический инвариант. Поставим этот вопрос следующим образом: пусть параметр стремится при к постоянным пределам X и задано начальное (при ) значение адиабатического инварианта, и требуется найти его приращение ко времени .

Из (50,10) имеем

Как уже было указано, величина A — периодическая (с периодом ) функция переменной w; разложим ее в ряд Фурье:

(в силу вещественности коэффициенты разложения связаны при этом соотношениями ). Отсюда для производной имеем

При достаточно малом к производная w положительна (ее знак совпадает со знаком , см. (50,11)), т. е. — монотонная функция времени t. При переходе в (51,2) от интегрирования по dt к интегрированию по dw пределы останутся поэтому прежними:

Подставим сюда (51,4) и преобразуем интеграл, рассматривая в нем формальным образом w как комплексную переменную.

Предположив, что подынтегральное выражение не имеет особых точек при вещественных значениях w, сместим путь интегрирования с вещественной оси w в верхнюю полуплоскость этой переменной. При этом контур «зацепляется» за особые точки подынтегрального выражения и, огибая их, принимает вид, показанный схематически на рис. 56. Пусть ближайшая к вещественной оси особая точка, т. е. точка с наименьшей по величине (положительной) мнимой частью. Главный вклад в интеграл (51,5) возникает от окрестности этой точки, причем каждый из членов ряда (51,4) дает вклад, содержащий множитель . Сохраняя опять-таки лишь член с наименьшим по абсолютной величине отрицательным показателем (т. е. член с , найдем, что

Рис. 56

Пусть — «момент времени» (комплексное число!), отвечающий особой точке . По порядку величины совпадает, вообще говоря, с характерным временем изменения параметров системы; обозначим это время через . Порядок же величины показателя степени в (51,6) будет

Поскольку, по предположению, , то этот показатель велик. Таким образом, разность убывает экспоненциально при уменьшении скорости изменения параметров системы.

Для определения в первом приближении по (т. е. с сохранением лишь члена в показателе) можно отбросить в уравнении (50,11) малый член, содержащий , т. е. писать

причем аргумент функции полагается постоянным, скажем, равным

Тогда

(в качестве нижнего предела можно взять любое вещественное значение интересующая нас мнимая часть от этого значения не зависит)

Интеграл же (51,5) с w из (51,8) (и с одним членом ряда 51,4) в качестве принимает вид

Отсюда видно, что в качестве конкурирующих (при отборе ближайшей к вещественной оси) особых точек фигурируют особенности (полюсы, точки ветвления) функций Напомним в этой связи, что заключение об экспоненциальной малости связано с предположением, что указанные функции не имеют вещественных особых точек.

Задачи

1. Оценить для гармонического осциллятора с частотой, медленно меняющейся по закону

от значения при до при .

Решение. Понимая под параметром X саму частоту , имеем

Эта функция имеет полюсы при Вычислив интеграл найдем, что наименьшее значение происходит от одного из полюсов и равно

Для гармонического осциллятора (см. задачу к § 50), так что ряд (51,3) сводится к двум членам (с ). Поэтому для гармонического осциллятора

2. Частица совершает колебания в потенциальной яме. Определить закон изменения ее энергии под действием силы трения с малым коэффициентом а — декартова координата).

Решение. Усредним уравнение (25,13) по периоду колебаний, пренебрегая в первом приближении их затуханием. Имеем

где — адиабатический инвариант, — масса частицы. Выражая период колебаний Т через I согласно (49,8), находим

Интегрируя, получаем

Формула (1) определяет в неявном виде зависимость Для гармонического осциллятора (1) переходит в (25,5). Решение справедливо при условии —